23 March 2015

Persamaan Kuadrat, Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akarnya dan Menentukan Persamaan Kuadrat Baru



Persamaan kuadrat secara umum ditulis ax2 + bx + c = 0. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 tersebut, maka nilai dari x1 + x2 = -b/a dan x1 . x2 = c/a.
Berikut ini akan kami sampaikan tentang penyelesaian akar-akar persamaan kuadrat yang menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar.

Contoh 1



Jika a dan b merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 – 6x + 3 = 0, Tentukan nilai dari ab2 + a2b.



Jawaban:

Diketahui persamaan kuadrat 2x2 – 6x + 3 = 0 mempunyai akar-akar a dan b.

a + b = -(-6/2) = 3

ab = 3/2

ab2 + a2b   = ab(b + a)

                 = ab(a + b)

                 = 3/2 · 3

                 = 9/2

                 = 4 1/2



Contoh 2



Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 3x – 18 = 0. Tentukan nilai x12 + x22.



Jawaban:

x1 dan x2 akar-akar dari x2 – 3x – 18 = 0, sehingga:

x1 + x2 = –(-3/1) = 3

x1 · x2 = -18/1 = –18


x12 + x22   = (x1 + x2)2 – 2x1x2

                    = 32 – 2 × (–18)

                    = 9 + 36 = 45

Jadi, nilai x12 + x22 = 45.





Contoh 3

Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0 adalah a dan b. Berapakah nilai dari 1/a + 1/b?


Jawaban:

Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0 adalah a dan b.

a + b = -(-5/1) = 5

ab = 3/1= 3

1/a + 1/b = (a + b)/ab = 5/3

Jadi, nilai 1/a + 1/b = 5/3.




Bagaimana, sudah jelas dengan langkah-langkah penyelesaian di atas? 
Mari kita lanjutkan dengan cara menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akar baru persamaan mempunyai hubungan dengan akar-akar yang lama.

Contoh 4



Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 6x – 2 = 0 adalah p dan q. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p  dan 2q adalah….



Jawaban:

Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 6x – 2 = 0 adalah p dan q.

p + q = -(b/a) = -(-6/1) = 6

pq = c/a = -2/1 = -2



Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 2p dan 2q.

2p + 2q = 2 (p + q) = 2 x 6 = 12

(2p) x (2q) = 4pq = 4 x (-2) = -8



Diperoleh persamaan kuadrat baru:

x2 – (2p + 2q)x + (2p)(2q) = 0

x2 – 12x – 8 = 0


Contoh 5
Tentukan persamaan kuadrat  baru yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 4 = 0.

Jawaban:
x2 – 5x + 4 = 0 → a = 1, b = -5, c = 4
Misalkan akar-akar persamaan x2 – 5x + 4 = 0, yaitu x1 dan x2.
x1 + x2 = -(-5/1) = 5
x1x2 = 4/1 = 4
Jika akar-akar persamaan baru, yaitu p dan q maka p = x1 + 3 dan q = x2 + 3.
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3)
         = x1 + x2 + 6
         = 5 + 6
         = 11
pq = (x1 + 3)(x2 + 3)
      = x1x2 + 3x1 + 3x2 + 9
      = x1x2 + 3(x1 + x2) + 9
      = 4 + 3 5 + 9
      = 4 + 15 + 9
      = 28
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q)x + pq = 0.
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x2 – 11x + 28 = 0



Contoh 6

Persamaan kuadrat x2 – 2x + 5 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar (x1 – 2) dan (x2 – 2) adalah.

Jawaban:
x2 – 2x + 5 = 0, diperoleh a = 1, b = -2, c = 5
x1 + x2 = -b/a = -(-2)/1 = 2
x1x2 = c/a = 5/1 = 5
Jika akar-akar persamaan baru, yaitu p dan q maka p = x1 – 2 dan q = x2 – 2.
p + q = (x1 – 2) + (x2 – 2)
         = (x1 + x2 ) – 4
         = 2 – 4
         = -2
p∙q = (x1 – 2)(x2 – 2)
      = x1x2 – 2x1 – 2x2 + 4
      = x1x2 – 2(x1 + x2) + 4
      = 5 – 2 ∙ 2 + 4
      = 5 – 4 + 4
      = 5
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q)x + pq = 0.
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x2 + 2x + 5 = 0.




Contoh 7
Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan 2x2 + 8x + 5 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (3x1 - 2) dan (3x2 - 2).

  Jawaban:
  2x2 + 8x - 5 = 0
  x1 + x2 = -b/a = -8/2 = -4
  x1 . x2 = c/a =   5/2
  Misalkan m = 3x1 – 2 dan n = 3x2 - 2, maka:
  m + n      = (3x1 – 2) + (3x2 - 2)
                 = 3(x1 + x2) + 4
                 = 3(-4) + 2
                 = -10
  m x n      = (3x1 – 2) ´ (3x2 - 2)
                 = (3x1) ´ (3x2) – 3x1 + 3x2 + 4
                 = 9(x1 ´ x2) + 3(x1 + x2) + 4
                 = 9(5/2) + 3(-4) + 4
                 = 45/2 - 12 + 4
                 = 14 1/2
  Persamaan kuadrat yang akar-akarnya m = 3x1 – 2 dan n = 3x2 – 2:
  x2 - (m + n)x + (m x n) = 0
     x2 - (-10)x + 14 1/2 = 0
             2x2 + 20x + 29 = 0


Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya (3x1 - 2) dan (3x2 - 2) adalah 2x2 + 20x + 29 = 0.

Demikianlah sedikit materi tentang akar-akar persamaan kuadrat dan penyelesaian masalah menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
Semoga bermanfaat.

No comments:

Post a Comment