25 August 2015

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)



1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (dalam x dan y):

ax + by = cdx + ey = f
dengan a, b, c, d, e, dan f merupakan bilangan nyata.
Misalnya:
2x + y = 10
3x + 2y = 17 



2.  Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Menyelesaikan Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dapat dilakukan dengan beberapa metode berikut.

a.      Metode grafik, yaitu dengan mencari titik potong kedua garis  yang memiliki          persamaanpada sistem tersebut pada koordinat Kartesius.

b.      Metode substitusi, yaitu dengan mengganti salah satu variabel pada persamaan dengan variabel yang lain.

c.      Metode eliminasi, yaitu dengan menghilang­kan salah satu variabelnya.

d.     Metode gabungan eliminasi dan substitusi.


3. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel merupakan himpunan pasangan ber­urutan dua variabel yang memenuhi sistem per­samaan tersebut.

Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan cara menyelesaikan SPLDV dari bentuk soal cerita.

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1
Nunik membeli 1 kg daging sapi dan 2 kg ayam potong dengan harga Rp94.000,00. Nanik membeli 3 kg ayam potong dan 2 kg daging sapi dengan harga Rp167.000,00. Jika harga 1 kg daging dinyatakan dengan x dan harga 1 kg ayam dinyatakan dengan y, sistem persamaan linear dua variabel yang berkaitan dengan pernyataan di atas adalah . . . .
A.     x + 2y = 94.000 dan 3x + 2y = 167.000
B.     x + 2y = 94.000 dan 2x + 3y = 167.000
C.     2x + y = 94.000 dan 3x + 2y = 167.000
D.     2x + y = 94.000 dan 2x + 3y = 167.000

Jawaban: B
Harga 1 kg daging sapi    = x rupiah
Harga 1 kg ayam potong = y rupiah
Harga 1 kg daging sapi dan 2 kg ayam potong Rp94.000,00, berarti: x + 2y = 94.000.
Harga 3 kg ayam potong dan 2 kg daging sapi Rp167.000,00 berarti:
3y + 2x = 167.000
2x + 3y = 167.000
Jadi, sistem persamaannya x + 2y = 94.000 dan 2x + 3y = 167.000

 



Contoh 2
Jika x dan y adalah penyelesaian dari sistem persamaan 7x + 2y = 19 dan 4x – 3y = 15, nilai 3x – 2y adalah . . . .
A.     –9                                  C.     7
B.     –3                                  D.     11

Jawaban: D
Eliminasi y:
7x + 2y = 19    × 3       21x + 6y = 57
4x – 3y = 15    × 2       8x – 6y    = 30
                                –––––––––––– +
                                          29x = 87
                                             x = 3
Substitusi x = 3 ke persamaan 7x + 2y = 19:
    7(3) + 2y = 19
       21 + 2y = 19
             2y = –2
              y = –1
3x – 2y = 9 – (–2) = 9 + 2 = 11
Jadi, nilai 3x – 2y adalah 11.


Contoh 3

Harga 4 buah compact disk dan 5 buah kaset Rp200.000,00, sedangkan harga 2 buah compact disk dan 3 buah kaset yang sama Rp110.000,00. Harga 6 buah compact disk dan 5 buah kaset adalah . . . .
A.     Rp150.000,00             C.     Rp350.000,00
B.     Rp250.000,00             D.     Rp450.000,00

Jawaban: B
Misalkan   x = harga 1 buah compact disk
               y = harga 1 buah kaset
Harga 4 buah compact disk dan 5 buah kaset Rp200.000,00, diperoleh persamaan:
4x + 5y = 200.000
Harga 2 buah compact disk dan 3 buah kaset yang sama Rp110.000,00, diperoleh persamaan:
2x + 3y = 110.000
Diperoleh sistem persamaan:
  4x + 5y = 200.000    . . . (1)
  2x + 3y = 110.000    . . . (2)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).
4x + 5y = 200.000        × 1       4x + 5y = 200.000
2x + 3y = 110.000        × 2       4x + 6y = 220.000
                                              ––––––––––––––– –
                                                     –y = –20.000
                                                       y = 20.000
Substitusikan y = 20.000 ke persamaan (2).
2x + 3y = 110.000
     2x + 3(20.000) = 110.000
          2x + 60.000 = 110.000
                          2x = 110.000 – 60.000
                          2x = 50.000
                            x =  25.000
Diperoleh x = 25.000 dan y = 20.000.
Harga 6 buah compact disk dan sebuah kaset
= 6x + 5y
= 6 × 25.000 + 5 × 20.000
= 150.000 + 100.000
= 250.000
Jadi, harga 6 buah compact disk dan 5 buah kaset Rp250.000,00.





Contoh 4
Rani membeli 2 kg jeruk dan 3 kg mangga seharga Rp44.000,00, sedangkan Rina membeli 5 kg jeruk dan 4 kg mangga seharga Rp82.000,00. Jika Rini membeli jeruk dan mangga masing-masing 1 kg dan 2 kg, harga yang dibayar Rini adalah . . . .
         A.  Rp18.000,00
         B.  Rp24.000,00
         C.  Rp26.000,00
         D.  Rp28.000,00

Jawaban : C
  Misalkan:   x = harga 1 kg jeruk
                 y = harga 1 kg mangga
 Bentuk sistem persamaannya :
2x + 3y = 44.000
5x + 4y = 82.000
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).
2x + 3y = 44.000     × 5      10x + 15y = 220.000
5x + 4y = 82.000     × 2       10x + 8y = 164.000
                                            ––––––––––––––– –
                                                  7y = 56.000
                                                    y = 8.000
Substitusikan y = 8.000 ke dalam  persamaan (1).
2x + 3y = 44.000
              2x + 3(8.000) = 44.000
                2x + 24.000 = 44.000
                              2x = 44.000 – 24.000
                              2x = 20.000
                               x = 10.000
Diperoleh x = 10.000 dan y = 8.000.
Harga 1 kilogram jeruk dan 2 kilogram mangga
= x + y
= 10.000 + 16.000
= 26.000
Jadi,  Rini membayar sebesar Rp26.000,00

Demikian contoh soal dan pembahasan mengenai langkah-langkah penyelesaian SPLDV dalam permasalahan sehari-hari.

1 comment: