IMATH: Himpunan, Himpunan Bagian, Diagram Venn, dan Operasi pada Himpunan

A. Himpunan

Himpunan adalah sekelompok/sekumpulan objek yang memiliki ciri, identitas, sifat, atau karakter yang sudah jelas/pasti.

Cara menyatakan himpunan:

1. Mendaftarkan semua anggotanya (metode enumerasi/tabulasi)

Contoh:

a. A = {1, 3, 5, 7}

b. B = {a, e, i, o, u}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya (metode deskripsi)

Contoh:

a. A = himpunan bilangan ganjil kurang dari 8

b. B = himpunan huruf vokal dalam huruf abjad

3. Menuliskan notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat).

Contoh:

a. A = {x, x < 8 x bilangan ganjil}

b. B = {y, y merupakan huruf vokal}

B. Himpunan Semesta dan Himpunan Bagian

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat seluruh objek atau anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan dengan S.

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B yang disimbolkan dengan A ⊂B jika semua anggota A juga menjadi anggota B.

Jika banyaknya anggota suatu himpunan adalah n maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan itu adalah 2ⁿ.

Contoh:

A = {1, 3, 5, 7, 9}

Himpunan semesta dari A antara lain:

S = { Himpunan bilangan ganjil}

S = { Himpunan bilangan asli kurang dari 10}

C. Diagram Venn

Diagram Venn merupakan bentuk lain dari penyajian suatu himpunan dengan cara menggunakan gambar. Adapun semua anggota dari himpunan semesta ditunjukan dengan noktah atau titik dalam suatu gambar persegi panjang. Adapun ketentuan dalam membuat diagram venn dalam adalah sebagai berikut :

1. Himpunan semesta dinyatakan dalam persegi panjang. Simbol S untuk semesta disimpan di pojok kiri atas.

2. Setiap himpunan yang dibicarakan selain (himpunan kosong)digambarkan dengan kurva tertutup.

3. Setiap anggota ditunjukan dengan noktah (titik).

4. Jika anggotanya sangat banyak maka cukup ditulis himpunannya saja

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10}

A = { 2, 3, 5, 7}

B = {4, 6, 8, 10}

A dan B merupakan himpunan bagian dari S.

C. Komplemen Himpunan

Misalkan A suatu himpunan. Komplemen dari A adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A. Komplemen A disimbolkan A′ atau A^C.

A′ atau A^C dibaca komplemen himpunan A.

A′= {x | x ∉A}

Jika A merupakan himpunan bagian dari S (semesta), maka A^C dapat digambarkan sebagai berikut.

D. Operasi pada Himpunan

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya menjadi anggota A dan menjadi anggota B.

A n B dibaca irisan himpunan A dan B.

Diagram Venn

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B.

A u B dibaca gabungan himpunan A dan B.

Diagram Venn.

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A, tetapi bukan anggota dari B. Dalam notasi himpunan dapat dituliskan:

Diagram Venn

Jika dalam operasi himpunan terdapat himpunan A dan B dengan masing-masing himpunan memiliki anggota sebanyak n(A) dan n(B), diperoleh hubungan berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Perhatikan kumpulan/kelompok objek berikut. Kemudian, tunjukkan manakah yang merupakan himpunan atau tidak.
a. kumpulan siswa kelas VII SMP Negeri 1 Karanganyar.
b. Kumpulan siswa berbadan besar.
c. Komunitas mahasiswa pecinta alam.
d. Kelompok pedagang kaki lima di kecamatan Waru.
e. Kelompok siswa yang pandai Matematika.

Jawaban:
a. Kumpulan siswa di atas termasuk himpunan, sebab kriteria dan ciri yang masuk dalam kelompok tersebut sangat jelas.

b. Kumpulan siswa di atas bukan himpunan, sebab kriteria dan ciri siswa relatif (belum ada batasannya). Berbadan besar itu bukan ukuran yang pasti.

c. Kumpulan mahasiswa di atas termasuk himpunan, sebab kriteria dan ciri siswa sangat jelas, yaitu mahasiswa pecinta alam (Mapala). Selain angota Mapala tidak masuk anggota.

   d. Kumpulan pedagang kaki lima di atas termasuk himpunan, sebab kriteria dan ciri siswa sangat jelas, yaitu pedagang kaki lima. Selain angota Pedagag kaki lima dilarang masuk anggota.


e. Kumpulan siswa di atas bukan himpunan, sebab kriteria dan ciri siswa yang pandai itu relatif (belum ada batasannya).

2. Tentukan himpunan semesta dari himpunan-himpunan berikut.
a. P = {sapi, kambing, kerbau, kuda}
b. Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
c. T = {trapesium, jajargenjang, persegi, persegi panjang, layang-layang, belah ketupat}

Jawaban :
a. S = {hewan berkaki empat}
S = {hewan pemakan rumput/tumbuhan)
S = {hewan yang menghasilkan daging}
b. S = { bilangan genap kurang dari 20}
    S = { bilangan kelipatan dua}
S = {bilangan faktor dari 120}
c. S = {bangun datar segi empat}
S = {bangun datar yang mempunyai 4 sisi}

3.    Diketahui himpunan S = {Bilangan Asli kurang dari 20}. Himpunan P, Q dan R merupakan himpunan bagian dari S. P = {Bilangan kelipatan 2 kurang dari 20}, Q = {Bilangan kelipatan 3 kurang dari 20} dan R = {faktor dari 24}.
Tentukan:
a. Nyatakan P, Q, dan R dengan dengan mendata anggotanya.
b. P u Q (P gabungan Q)
c. P u R (P gabungan R)
d. P n Q (P irisan Q)
e. Q n R (Q irisan R)
f. P n Q n R
g. P u Q u R
h. P u Q n R
i. P - Q
j. Q - P
k. (P - R)' (' = komplemen)

Jawaban :
a. Langkah pertama kita tentukan dahulu anggota setiap himpunan dengan cara mendata anggotanya.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
R = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}

b. P u Q (Tulislah semua anggota baik di dalam himpunan P maupun Q)
    P u Q = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}

c. P u R (Tulislah semua anggota himpunan P dan himpunan R)
    P u R = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

d. P n Q ( Tulislah semua anggota himpunan yang dimiliki P dan juga dimiliki Q)
P n Q = {6, 12, 18}

e. Q n R (Tulislah semua anggota yang dimiliki oleh Q dan juga dimiliki R)
    Q n R = {3, 6, 12}

f. P n Q n R = (P n Q) n R
= {6, 12, 18} n {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
= {6, 12}

g. P u Q u R = (P u Q) u R
= {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18} u {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}

h. P u Q n R = (P u Q) n R
   = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18} n {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
   = {2, 3, 4, 6, 8, 12}

i. P - Q (Tulislah semua anggota himpunan P yang bukan anggota Q}
   P - Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} - {3, 6, 9, 12, 15, 18}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}

j. Q - P (Tulislah semua anggota himpunan Q yang bukan anggota P}
   Q - P = {3, 6, 9, 12, 15, 18} - {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
           = {3, 9, 15}

k. (P - R)' (Tulislah semua anggota selain dari (P - R))
Kita tentukan dahulu anggota P - R
   P - R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} - {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
   = {14, 16, 18}
(P - R)' = Himpunan yang anggotanya selain anggota P - R
              = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}- {14, 16, 18}
              = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19}

4.

Dari 40 orang anggota karang taruna, 21 orang gemar tenis meja, 27 orang gemar bulutangkis, dan 15 orang gemar tenis meja dan bulu tangkis. Banyak anggota karang taruna yang tidak gemar tenis meja maupun bulu tangkis adalah . . . .

A. 6 orang

B. 7 orang

C. 12 orang

D. 15 orang

Jawaban:

Misalkan:

M = {orang yang gemar tenis meja}

P = {orang yang gemar bulu tangkis}