25 July 2017

Hubungan Dua Garis Lurus pada Persamaan Garis Lurus

Dalam hubungannya dengan materi garis, terdapat hubungan antargaris. Hubungan antargaris antara lain meliputi garis-garis yang sejajar, garis-garis yang berpotongan, dan garis-garis yang bersilangan.
Dalam materi persamaan garis lurus ini akan dipelajari hubungan garis yang sejajar dan garis berpotongan tegak lurus.
Dua garis sejajar dan garis berpotongan tegak lurus dapat digambarkan seperti berikut.


 Ketika ingin mengetahui kedudukan garis, maka perhatikan pada gradien dari kedua garis tersebut.
Misalkan gradien garis a = m1 dan gradien garis b = m2 maka berlaku:
1. Kedua garis sejajar jika dan hanya jika m1 = m2
2. Kedua garis berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika m1 x m2 = -1  atau m1 = -(1/m2)
Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Tentukan gradien garis yang memiliki kedudukan sebagai berikut.
1. Sejajar dengan garis y = 3x + 5
2. Sejajar dengan garis 2x + 5y = 10
3. Sejajar dengan garis 4x - 9y = 45
4. Sejajar dengan garis 6x + 3y - 15 = 0
5. Sejajar dengan garis yang melalui titik (2,1) dan (4, 9)
6. Tegak lurus dengan garis y = 5x - 12
7. Tegak lurus dengan garis 4x - 2y = 17
8. Tegak lurus dengan garis 3x + 5y = 18
9. Tegak lurus dengan garis yang melalui  titik (0,3) dan (3, 10)
10. Tegak lurus dengan garis yang melalui titik (-4,2) dan (-1, -7).

 Jawaban:
Untuk nomor 1 sampai dengan 5 kedudukan garisnya sejajar. Berarti kita mencari gradien yang sama dengan gradien garis-garis tersebut.
1. Garis y = 3x memiliki gradien 3. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah 3.
2. Garis 2x + 5y = 10 memiliki gradien -2/5. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah -2/5.
3.  Garis 4x - 9y = 45 memiliki gradien 4/9. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah 4/9.
4.  Garis 6x + 3y - 15 = 0 memiliki gradien -2. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah -2.
5.  Garis yang melaui titik (2,1) dan (4, 9) memiliki gradien 4. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah 4.

 Untuk nomor 6 sampai dengan 10 kedudukan garisnya saling tegak lurus. Berarti kita mencari gradien apabila dikalikan hasilnya -1. Atau gradien baru yang sama dengan gradien garis-garis tersebut.
6. Garis y = 5x - 12 memiliki gradien 5. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah -1/5.
7. Garis 4x - 2y = 17 memiliki gradien 2. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah -1/2.
8. Garis 3x + 5y = 18 memiliki gradien -3/5. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah 5/3.
9. Garis yang melalui  titik (0,3) dan (3, 10) memiliki gradien 7/3. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah -3/7.
10. Garis yang melalui  titik (-4,2) dan (-1, -7) memiliki gradien -3. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah 1/3.

Setelah tahu dan paham tentang cara menentukan gradien pada hubungan garis yang sejajar dan tegak lurus, mari melanjutkan tentang cara menentukan persamaan garis lurus.

Perlu diingat bahwa ketika akan menentukan persamaan garis lurus, tentukan dahulu gradien garis dan koordinat titik yang akan dilalui. Dalam menentukan persamaan garis lurus, kita akan banyak menggunakan rumus dasar y - y1 = m(x - x1).


Marilah membahas beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.
1. Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis y = 3x + 5 dan melalui titik (2, -1).
Jawaban:
Gradien garis y = 3x + 5 mempunyai gradien 3. Sehingga kita mencari persamaan garis yang bergradien 3 dan melalui titik (2, -1).
y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = 3(x - 2)
y + 1 = 3x - 6
y = 3x - 6 - 1
y = 3x - 7
Jadi,persamaan  garis yang sejajar garis y = 3x + 5 dan melalui titik (2, -1) adalah y = 3x - 7.

2. Tentukan persamaan garis yang melaui titik (-3, 2) dan sejajar dengan garis 2x + 4y - 9 = 0.
Jawaban:
Gradien garis 2x + 4y - 9 = 0 adalah -(1/2). Sehingga kita akan mencari persamaan garis lurus yang bergradien -(1/2) dan melalui titik (-3, 2)
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = -(1/2)(x - (-3))
2y - 4 = -(x + 3)
2y - 4 = -x - 3
2y + x - 4 +3 = 0
2y + x - 1 = 0 
Jadi, persamaan garis yang melaui titik (-3, 2) dan sejajar dengan garis 2x + 4y - 9 = 0 adalah 2y + x - 1 = 0. 

3. Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis y = -3x + 4 dan melalui titik (1, 5).
Jawaban:
Gradien garis y = -3x + 4 adalah -3. Gradien garis yang tegak lurus garis tersebut adalah 1/3.
Oleh karena itu, kita akan mencari persamaan garis yang bergradien 1/3 dan melalui titik (1, 5)
y - y1 = m(x - x1)
y - 5 = (1/3)(x - 1)
3y - 15 = x - 1
3y - 15 - x + 1 = 0
3y - x - 14 = 0
Jadi,  persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis y = -3x + 4 dan melalui titik (1, 5) adalah 3y - x - 14 = 0.

4. Perhatikan gambar berikut.

Tentukan persamaan garis k.
Jawaban:
Garis yang melaui titik (0,2) dan (10, 7) memiliki gradien 1/2. Garis k tegak lurus dengan garis tersebut. Sehingga gradien garis k adalah -2.
Sehingga persamaan garis k adalah garis yang melalui titik (6, 0) dan bergradiem -2.
y - y1 = m(x - x1)
y - 0 = (-2)(x - 6)
y = -2x + 6
Jadi, persamaan garis k adalah y = -2x+ 6.

5. Perhatikan gambar berikut.

 Tentukan persamaan garis h.
Jawaban :
Garis yang melaui titik (0,4) dan (6, 0) memiliki gradien -2/3. Garis h sejajar dengan garis tersebut. Sehingga gradien garis h adalah -2/3.
Sehingga persamaan garis h adalah garis yang melalui titik (4, 6) dan bergradiem -2/3.
y - y1 = m(x - x1)
y - 6 = (-2/3)(x - 4)
3(y - 6) = (-2)(x - 4)
3y - 18 = -2x + 8
3y + 2x - 18 - 8 = 0
3y + 2x - 26 = 0
Jadi, persamaan garis h adalah 3y + 2x - 26 = 0.

Demikianlah sekilas tentang cara menentukan persamaan garis lurus berkaitan dengan kedudukan dua garis.
Semoga bermanfaat.





No comments:

Post a Comment