Menggunakan Integral dalam Menghtung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Setelah mempelajari integral tentu, mari kita melanjutkan materi tentang penerapan integral dalam menentukan luas daerah yang dibatasi kurva. Ketika kita mempunyai sebuah kurva y = f(x), tentunya terdapat suatu daerah yang terletak dibawah atau di atas kurva. Jika kita membatasi daerah tersebut dengan sumbu X atau sumbu Y maka akan diperoleh daerah yang terbatas.Dalam hal ini dapat dihitung luasnya.

Ada lagi daerah yang dibatasi oleh dua kurva. Daerah tersebut juga dapat dihitung luasnya. Hanya saja bentuk daerah yang dibatasi tersebut tidak teratur. Bentuk-bentuk tersebut dapat digambar seperti berikut.

Bagaimana cara menghitung  luas daerah tersebut. Kita akan menghitung berbagai bentuk daerah yang dibatasi kurva tersebut dengan menggunakan integral.

1. Jika terdapat kurva dengan persamaan y = f(x), luas daerah yang berada dibawah kurva dan dibatasi oleh sumbu X, garis x = a, dan garis x = b dirumuskan sebagai berikut.

 

2. Jika terdapat kurva dengan persamaan y = f(x), luas daerah yang berada dibawah kurva dan dibatasi oleh sumbu X dirumuskan sebagai berikut. Titik a dan b merupakan titik potong kurva terhadap sumbu X.

 

 

3. Jika terdapat kurva dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x), luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut adalah sebagai berikut.

 

 

Kedua kurva berpotongan di titik x = a dan x = b.
Jika dalam permasalahan  diketahui kedua persamaan fungsinya, maka untuk mencari titik perpotongan kedua kurva dengan menyamakan kedua fungsi tersebut (f(x) = g(x)). Dari langkah tersebut, maka akan diperoleh nilai x-nya.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.

1. Tentukan luas daerah dibawah kurva y = 4x + 1 dan dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 5.

2. Tentukan luas daerah dibawah kurva y = -x² – 3x + 4 dan di atas sumbu X.

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = (x + 2)² – 9 dan dibatasi sumbu X.

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = 2 – x.

5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 10 - x² dan y = (x – 2)².

 Jawaban:

1. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x + 1 dan dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 5. Perlu diketahui ahwa batas sumbu Y, sama artinya dengan batas x = 0. Sehingga batasan nilai x adalah 0 ≤ x ≤ 5.

Luasnya adalah :

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x + 1 , sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 5 adalah 55 satuan luas.

2. Luas daerah dibawah kurva y = -x² – 3x + 4 dan di atas sumbu X

Langkah pertama kita menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X. Tujuannya untuk menentukan batas bawah dan batas atas (sebagai batas integral).

Titik potong terhadap sumbu X (y = 0)

 -x² – 3x + 4 = 0

x² + 3x - 4 = 0

(x + 4)(x – 1) = 0

x = -4 atau x = 1

Sehingga x = 1 sebagai  batas bawah dan x = 5 sebagai batas atas untuk integral.

3.  Diketahui kurva y = (x + 2)² – 9 dan dibatasi sumbu X.

y = (x + 2)² – 9 atau y = (x² + 4x + 4) – 9 atau y = x² + 4x – 5.

Kurva tersebut memotong di sumbu X (y = 0) dengan cara berikut.

x² + 4x - 5 = 0

(x + 5)(x – 1) = 0

x = -5 atau x = 1

Gambar

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = 2 – x.

 Sebelum menentukan luasnya,mari kita tentukan titik potong kedua grafik/kurva tersebut. Titik potong tersebut untuk menentukan batas bawah dan batas atas dari bentuk integralnya.

y₁ = y₂

x²  = 2 – x

x²  + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = -2 atau x = 1

Gambar kedua kurva sebagai berikut.

 

 

 

5. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 10 - x² dan y = (x – 2)²

Sebelum menentukan luasnya,mari kita tentukan titik potong kedua grafik/kurva tersebut. Titik potong tersebut untuk menentukan batas bawah dan batas atas dari bentuk integralnya.

y₁ = y₂

10 - x²  = (x – 2)²

10 - x²  = x²  - 4x + 4

2x²  - 4x - 6 = 0

x²  - 2x - 3 = 0

(x + 1)(x – 3) = 0

x = -1 atau x = 3

Gambar dari kedua kurva sebagai berikut.

 

 

 Jadi,luas yang dibatasi kedua kurva tersebut adalah 22 2/3 satuan luas.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva menggunakan integral.

Semoga bermanfaat.

Materi Terkait
Integral untuk Menghitung Volume Benda Putar (1)