Dalam
kesempatan ini kita akan membahas tentang persamaan lingkaran dan persamaan
garis singgung lingkaran. Persamaan lingkaran dan persamaan garis singgung
lingkaran merupakan materi pelajaran untuk tingkat SMA/MA. Nah, dalam
kesempatan mari mengingat kembali dan menguatkan pemahaman tentang persamaan
lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran.
Persamaan
lingkaran merupakan bentuk aljabar yang diterapkan dalam bidang kartesius. Hal
ini lebih mudah karena antara lingkaran dan bidang kartesius memiliki konteks
sama yaitu bidang datar. Perlu diketahui pula bahwa lingkaran memiliki dua
unsur pokok yang harus diketahui, yaitu titik pusat dan jari-jari. Dua unsur
inilah yang menjadi kunci dalam menentukan persamaan lingkaran.
Bentuk
umum persamaan lingkaran sebagai berikut.
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r.
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r
Bentuk
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Bisa
dijabarkaan sebagai berikut.
(x
– a)2 + (y – b)2 = r2
x2
– 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2
+ y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0
dengan
memisalkan
A
= -2a, B = -2b, dan C = a2 + b2 - r2
Diperoleh:
Untuk
lebih jelasnya mempelajari persamaan lingkaran
dan persamaan garis singgung lingkaran, perhatikan beberapa contoh dan
pembahasan berikut ini.
Contoh Soal dan Pembahasan
1.
Tentukan persamaan lingkaran yang
bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan.
Jawaban :
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2
= r2.
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 6:
x2
+ y2 = 62
x2
+ y2 = 36
Jadi,
persamaan lingkaran yang bertitik pusat
di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan adalah x2 + y2 = 36.
2.
Tentukan persamaan lingkaran yang
bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan.
Jawaban :
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2
= r2.
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 9:
x2
+ y2 = 92
x2
+ y2 = 81
Jadi,
persamaan lingkaran yang bertitik pusat
di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan adalah x2 + y2 = 81.
3.
Tentukan persamaan lingkaran yang
bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7.
Jawaban :
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2
= r2.
Dalam
kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung
jarak titik pusat (0, 0) dengan garis y = 7. Jarak antara titik (0,0) dengan
garia y = 7 adalah 7 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 7
satuan.
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 7:
x2
+ y2 = 72
x2
+ y2 = 49
Jadi,
persamaan lingkaran yang bertitik pusat
di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7 adalah x2 + y2 = 49.
4.
Tentukan persamaan lingkaran yang
bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10.
Jawaban :
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2
= r2.
Dalam
kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung
jarak titik pusat (0, 0) dengan garis x = -10. Jarak antara titik (0,0) dengan
garia x = -10 adalah 10 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 10
satuan.
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 10:
x2
+ y2 = 102
x2
+ y2 = 100
Jadi,
persamaan lingkaran yang bertitik pusat
di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10 adalah x2 + y2 = 100.
5.
Tentukan persamaan lingkaran yang
bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan.
Jawaban :
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 +
(y – b)2 = r2.
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (1, 2) dan berjari-jari 5:
(x
– 1)2 + (y – 2)2 = 52
(x2
– 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 25
x2
– 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0
x2
+ y2 – 2x – 4y – 20 = 0
Jadi,
persamaan lingkaran yang bertitik pusat
di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan adalah x2 + y2 – 2x –
4y – 20 = 0.
6.
Tentukan persamaan lingkaran yang
bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan.
Jawaban :
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 +
(y – b)2 = r2.
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8:
(x
+ 4)2 + (y – 3)2 = 82
(x2
+ 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 64
x2
+ 8x + 16 + y2 – 6y + 9 – 64 = 0
x2
+ y2 + 8x – 6y – 39 = 0
Jadi, persamaan
lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3)
dan berjari-jari 8 satuan adalah x2 + y2 + 8x – 6y – 39 =
0.
7.
Tentukan persamaan lingkaran yang
bertitik pusat di (0, 0) dan melalui titik (-5, 12).
Jawaban :
Dalam
menentukan persamaan lingkaran, unsur-unsur yang harus diketahui adalah titik
pusat dan jari-jari. Pada soal di atas, jari-jari lingkaran belum diketahui.
Perlu diingat bahwa jari-jari adalah jarak titik pusat ke titik pada sekeliling
lingkaran. Dengan demikian kita bisa menghitung jari-jari lingkaran dengan
menentukan jarak titik (0, 0) ke titik (-5, 12).
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 13:
x2
+ y2 = 132
x2
+ y2 = 169
Jadi,
persamaan lingkaran yang bertitik pusat
di (0, 0) dan melalui titik (-5, 12) adalah x2 + y2 = 169.
8.
Tentukan persamaan lingkaran yang
bertitik pusat di (4, 1) dan melalui titik (8, -2).
Jawaban :
Dalam
menentukan persamaan lingkaran, unsur-unsur yang harus diketahui adalah titik
pusat dan jari-jari. Pada soal di atas, jari-jari lingkaran belum diketahui.
Perlu diingat bahwa jari-jari adalah jarak titik pusat ke titik pada sekeliling
lingkaran. Dengan demikian kita bisa menghitung jari-jari lingkaran dengan
menentukan jarak titik (4, 1) ke titik (8, -2).
Persamaan
lingkaran yang berpusat di (4, 1) dan berjari-jari 5:
(x
- 4)2 + (y – 1)2 = 52
(x2
- 8x + 16) + (y2 – 2y + 1) = 25
x2
- 8x + 16 + y2 – 2y + 1 – 25 = 0
x2
+ y2 - 8x – 2y – 8 = 0
Jadi,
persamaan lingkaran yang bertitik pusat
di (4, 1) dan melalui titik (8, -2) adalah x2 + y2 - 8x –
2y – 8 = 0.
Demikianlah
sekilas materi tentang Persamaan lingkaran.
Untuk
mempelajari materi tantang persamaan garis singgung lingkaran, klik tautan di
bawah ini.
Cara Menentukan Persamaan Garis SInggung Lingkaran x2+ y2 + Ax + By – C = 0
No comments:
Post a Comment