30 May

Menentukan Hasil Penjumlahan Barisan Bilangan Bulat


Kali ini kita akan membahas  cara menentukan hasil penjumlahan banyak bilangan bulat. Materi ini merupakan perluasan dari penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.
Misalnya:
1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + 13 – 15 + ......+ 61 – 63 + 65 = . . . .
37 + 32 + 27 +  ... + 7 + 2 + (-3) + (-8) + (-13) + ... + (-38) = . . . .
-50 – 48 – 46 – 44 - .... – 2 – 0 + 2 + 4 + 6 + ... + 36 = . ..

Ada beberapa alternatif penyelesaian dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan bilangan bulat di atas.
Mari menyelesaikan soal-soal di atas dengan cara penalaran mudah berikut ini.

Permasalahan 1:



Langkah pertama kita kelompokkan dahulu menjadi penjumlahan dua bilangan yang berdekatan.

(1 – 3)  +   (5 – 7)  +   (9 – 11)   +  (13 – 15)   + ......+   (61 – 63)   +  65

    1             2              3                4                              n

Coba kita hitung ada berapa kelompok penjumlahan?


Perhatikan bilangan pertama pada kotak penjumlahan tersebut.
1 – 3       kelompok ke-1
5 – 7       kelompok ke-2
9 – 11     kelompok ke-3
13 – 15   kelompok ke-4
....
61 – 63   kelompok ke-30

Dengan demikian pola penjumlahan dapat ditulis:

   –2   +     –2      +   –2      +      –2      + ......+   –2    +  65

    1          2            3              4                       30

Sehingga hasil penjumlahan ditulis
= 30 x (-2) + 65
= -60 + 65
= 5
Kesimpulannya adalah:
1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + 13 – 15 + ......+ 61 – 63 + 65 = 5




Permasalahan 2:

Menentukan hasil 37 + 32 + 27 +  ... + 7 + 2 + (-3) + (-8) + (-13) + ... + (-38)

Langkah pertama kita kelompokkan dahulu menjadi dua barisan bilangan.
Kemudian kita susun menjadi dua baris sedemikian hingga setiap bilangan dapat dipasangkan.
Langkah kedua:
Susunlah dua kelompok menjadi susunan berikut ini.
   37  +   32  +   27   +  22   +   17   +  12   +   7   +   2    +
(-38) + (-33) + (-28) + (-23) + (-18) + (-13) + (-8) + (-3)
________________________________________________  +
 (-1) +  (-1) +  (-1)  +  (-1)  +  (-1)  +  (-1)  +  (-1) + (-1)

= 8 x (-1)
= -8

Kesimpulannya adalah:
37 + 32 + 27 +  ... + 7 + 2 + (-3) + (-8) + (-13) + ... + (-38) = -8.


Permasalahan 3:

Menentukan hasil -50 – 48 – 46 – 44 - .... – 2 – 0 + 2 + 4 + 6 + ... + 36

Langkah pertama kita kelompokkan dahulu menjadi dua barisan bilangan.
Kemudian kita susun menjadi dua baris sedemikian hingga setiap bilangan dapat dipasangkan.
Langkah kedua:
Susunlah dua kelompok menjadi susunan berikut ini.
  -50    –48     –46     –44      -42    ....   -12     -10     -8
  36    + 34    + 32   +  30   +  28  + ....   -2      -4      -6
________________________________________________  +
 (-14) +(-14) +(-14) +(-14) +(-14) +...+ (-14)  + (-14) + (-14)

   1         2        3        4         5      ...                           n

Banyaknya bilangan (-14) dapat dihitung dengan cara berikut
n = (36 – (-6)) : 2 + 1
= (42 :2) + 1 = 21 + 1 = 22
Sehingga ada sebanyak 22 bilangan (-14)
Dengan demikian hasil penjumlahannya adalah
= 22 x (-14)
= -308

Kesimpulannya adalah:
-50 – 48 – 46 – 44 - .... – 2 – 0 + 2 + 4 + 6 + ... + 36 = -308.

Demikianlah sedikit penjelasan cara-cara menjumlah banyak bilangan bulat yang mempunyai pola tertentu.

Semoga bermanfaat.

29 May

Menentukan Angka Satuan Pada Bilangan Pangkat Tinggi


Dalam kesempatan ini kita akan mempelajari cara menentukan angka satuan pada bilangan berpangkat, terutama pangkat bilangan yang besar.
Misalnya : 3283, 61001, 72019, dan 95005
Bagaimana cara menentukan angka satuan dari bilangan pangkat seperti diatas?
Nah kali ini akan kami berikan tips dan cara menentukan angka satuan pada bilangan berpangkat besar.
Kami akan memberikan langkah-langkah yang mudah dipahami dan mudah dipelajari untuk bilangan-bilangan setipe lainnya.

Simak beberapa contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan angka satuan pada bilangan 3283.
Jawaban:
Sebelum menjawab soal di atas, perhatikan pola angka satuan dari bilangan 3 berpangkat kecil berikut.
31 = 3           angka satuan = 3
32 = 9           angka satuan = 9
33 =27           angka satuan = 7
34 = 81          angka satuan = 1
35 = 243        angka satuan = 3
36 = 729        angka satuan = 9
37 = 2.187     angka satuan = 7
38 = 6.561     angka satuan = 1

Jika diurutan dari pangkat 1, 2, 3, 4 dan seterusnya, maka angka satuan memiliki pola 3-9-7-1-9-3-9-7-1-3- .... dan seterusnya.
Misalnya pangkatnya adalah n. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.
n = 1 , maka angka satuannya adalah 3
n = 2 , maka angka satuannya adalah 9
n = 3 , maka angka satuannya adalah 7
n = 4 , maka angka satuannya adalah 1
n = 5 , maka angka satuannya adalah 3
n = 6 , maka angka satuannya adalah 9
n = 7 , maka angka satuannya adalah 7
n = 8 , maka angka satuannya adalah 1
.........
.........
Jadi, untuk k = 0, 1, 2, 3...
3 pangkat n = 4k (34k)memiliki angka satuan 1
3 pangkat n = 4k + 1 (34k+1)memiliki angka satuan 3
3 pangkat n = 4k + 2 (34k+2)memiliki angka satuan 9
3 pangkat n = 4k + 3 (34k+3)memiliki angka satuan 7
Dengan demikian untuk menentukan angka satuan pada bilangan 3283 dengan caa berikut.
Ingat 283 = 4 × 70 + 3 (membentuk pola 4k + 3), sehingga mempunyai angka satuan 7.
Jadi, 3283 memiliki angka satuan 7.

Dengan pola-pola di atas kita dapat menemukan angka satuan bilangan 3 berpangkat besar berikut.
31.000 = 34×250 ,  memiliki angka satuan 1
32.275 = 34×568+3 ,  memiliki angka satuan 7
33.001 = 34×750+1 ,  memiliki angka satuan 3
35.114 = 34×1.278+2 ,  memiliki angka satuan 9

Cobalah untuk menentukan angka satuan dari 312.345 dan 3456.789.




Contoh 2
Tentukan angka satuan pada bilangan 72.019.
Jawaban:
Sebelum menjawab soal di atas, perhatikan pola angka satuan dari bilangan 7 berpangkat kecil berikut.
71 = 7               angka satuan = 7
72 = 49             angka satuan = 9
73 = 343            angka satuan = 3
74 = 2.401         angka satuan = 1
75 = 16.807       angka satuan = 7
76 = 117.649      angka satuan = 9
77 = 823.543      angka satuan = 3
78 = 2.470.629   angka satuan = 1

Jika diurutan dari pangkat 1, 2, 3, 4 dan seterusnya, maka angka satuan memiliki pola 7-9-3-1-9-7-9-3-1-7- .... dan seterusnya.
Misalnya pangkatnya adalah n. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.
n = 1 , maka angka satuannya adalah 7
n = 2 , maka angka satuannya adalah 9
n = 3 , maka angka satuannya adalah 3
n = 4 , maka angka satuannya adalah 1
n = 5 , maka angka satuannya adalah 7
n = 6 , maka angka satuannya adalah 9
n = 7 , maka angka satuannya adalah 3
n = 8 , maka angka satuannya adalah 1
.........
.........
Jadi, untuk k = 0, 1, 2, 3...
7 pangkat n = 4k (74k) memiliki angka satuan 1
7 pangkat n = 4k + 1 (74k+1) memiliki angka satuan 7
7 pangkat n = 4k + 2 (74k+2) memiliki angka satuan 9
7 pangkat n = 4k + 3 (74k+3) memiliki angka satuan 3
Dengan demikian untuk menentukan angka satuan pada bilangan 72.019 dengan caa berikut.
Ingat 2.019 = 4 × 504 + 3 (membentuk pola 4k + 3), sehingga mempunyai angka satuan 3.
Jadi, 72.0193 memiliki angka satuan 3.

Dengan pola-pola di atas kita dapat menemukan angka satuan bilangan 7 berpangkat besar berikut.
71.000 = 74×250 ,  memiliki angka satuan 1
72.275 = 74×568+3 ,  memiliki angka satuan 3
73.001 = 74×750+1 ,  memiliki angka satuan 7
75.114 = 74×1.278+2 ,  memiliki angka satuan 9

Cobalah untuk menentukan angka satuan dari 754.321 dan 7987.654.

Demikianlah sekilas cara menentukan angka satuan pada bilangan berpangkat tinggi.
Dengan cara yang sama tentunya anda bisa menentukan untuk angka-angka bilangan pokok lainnya.

Salam sukses.