Cara Membuktikan Rumus atau Pola dengan Cara Induksi Matematika

Keabsahan rumus-rumus dalam matematika tentunya sudah dibuktikan secara benar dan dapat dipertanggungjawabkan. Sebab dengan rumus tersebut maka segala perhitungan akan menjadi lebih singkat dan tepat.

Dalam pembuktian rumus-rumus matematika tentunya menggunakan cara/metode yang tepat, artinya bentuk rumus yang dibuktikan harus menggunakan cara pembuktian yang tepat.

Ada pembuktian rumus/teorema menggunakan gambar (geometri), ada yang menggunakan pemisalan, ada yang menggunakan pendekatan ilmiah, atau ada yang menggunakan induksi matematika.

Kali ini kita akan membuktikan suatu rumus menggunakan metode induksi matematika.

Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan asli n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada nilai n. Adapun yang akan dibuktikan sebagai berikut.

1. P(1) benar, dan
2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.

Jadi, setelah P(1), P(k), dan P(k+1) benar, maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Langkah-langkah membuktikan dengan cara induksi matematika.

Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

Langkah 1 : Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

Langkah 2 : Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

Contoh:

P(k) = 2k + 3, maka P(k + 1) = 2(k + 1) + 3

                                          = 2k + 2 + 3

                                          = 2k + 5

P(k) = 3k² – 7k + 1, maka P(k + 1) = 3(k + 1)² – 7(k + 1) + 1

                                                  = 3(k² + 2k + 1) – 7k – 7 + 1

                                                  = 3k² + 6k + 3 - 7k – 7 + 1

                                                  = 3k² – k – 3

Dalam matematika banyak sekali rumus-rumus yang berkaitan dengan n.

Bagaimana membuktikan kebenaran rumus dengan induksi matematika?

Simak beberapa contoh pembuktian induksi matematika berikut.

Demikianlah sekilas cara membuktikan suatu rumus atau pola dengan induksi metematika.

Sekarang coba kalian buktikan rumus pola berikut dengan induksi matematika.