Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

Kali ini kita akan membahas tentang akar-akar suku banyak (polinomial), khususnya jumlah dan hasil kali akar-akar pada suku banyak (polinomial). Secara umum persamanan suku banyak berderajat n ditulis:

P(x) = 0, atau

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + . . . . + a₁x₁ + a_o = 0.

Misalkan terdapat sebuah suku banyak (polinomial) P(x) dengan bentuk  P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + . . . . + a₁x₁ + a_o, (x – k) adalah faktor dari P(x) jika k adalah akar  atau penyelesaian dari persamaan P(k) = 0.

Teorema:

Jika suku banyak P(x) berderajat n, maka persamaan polinomial P(x) memiliki maksimum n buah akar atau penyelesaian.

Seperti pada persamaan kuadrat, pada suku banyak berderajat n juga terdapat permasalahan tentang jumlah/selisih dan hasil kali akar-akar persamaan.

Berikut hubungan antara jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan pada suku banyak (polinomial).

A. Persamaan Suku Banyak Berderajat Dua

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan ax² + bx + c, maka diperoleh bentuk persamaan:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), atau dengan membagi kedua ruas diperoleh:

B. Persamaan Suku Banyak (Polinomial) Berderajat Tiga

Jika x₁ , x₂, dan x₃ adalah akar-akar dari persamaan ax³ + bx² + cx + d, maka diperoleh bentuk persamaan:

ax³ + bx² + cx + d  = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃), atau dengan membagi kedua ruas diperoleh:

C. Persamaan Suku Banyak (Polinomial) Berderajat Empat

Jika x₁ , x₂, x₃, dan x₄ adalah akar-akar dari persamaan ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, maka diperoleh bentuk persamaan:

ax³ + bx² + cx + d  = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄), atau dengan membagi kedua ruas diperoleh:

Untuk lebih jelasnya menggunakan rumus-rumus di atas, perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Diketahui suku banyak  x³ + 3x² - 12x + 18 memiliki akar x₁, x₂, dan x₃.

Tentukan nilai :

a.   (x₁ + x₂ + x₃)² =  x₁² + x₂² + x₃² + 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)

      x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² - 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)

    x₁² + x₂² + x₃² = (-3)² - 2(-12)

                         = 9 + 24

                         = 33

    Jadi, nilai dari x₁² + x₂² + x₃² = 34.

Contoh Soal 2

Diketahui suku banyak  x⁴ - 3x³ + mx² + nx - 12 memiliki akar x₁, x₂, x₃, dan x₄. Jika pasangan dua akar pertama saling berlawanan dan akar yang ketiga adalah dua kali akar keempat. Tentukan nilai m dan n.

Penyelesaian:

x⁴ - 3x³ + mx² + nx - 12 memiliki akar x₁, x₂, x₃, dan x₄

Diperoleh nilai a = 1, b = -3, c = m, d = n, dan e = -12.

Diketahui :

Pasangan dua akar pertama saling berlawanan, berarti x₁ = - x₂. Dengan demikian x₁ + x₂ = 0.

Akar yang ketiga adalah dua kali akar keempat, berarti x₃ = 2x₄.

Gunakan hasil penjumlahan akar.

Gunakan akar-akar ini untuk menentukan nilai m dan n.

P(x) = x⁴ - 3x³ + mx² + nx - 12

x = 1 dan x = 2 merupakan akar-akar, sehingga P(1) = 0 dan P(2) = 0.

P(1) = 0

(1)⁴ – 3(1)³ + m(1)² + n(1) – 12 = 0

                  1 – 3 + m + n – 12 = 0

                                   m + n = 14    ...(1)

P(2) = 0

(2)⁴ – 3(2)³ + m(2)² + n(2) – 12 = 0

            16 – 24 + 4m + 2n – 12 = 0

                         4m + 2n – 20 = 0

                                4m + 2n = 20

                                  2m + n = 10    ...(2)

Gunakan substitusi

  m + n = 14

2m + n = 10 -

-m = 4, sehingga nilai m = -4.

Akhirnya diperoleh nilai n = 18.

Jadi, nilai m dan n berturut-turut -4 dan 18.

Demikianlah materi tentang permasalahan jumlah dan hasil kali akar-akar pada suku banyak. 
Semoga bermanfaat.


Artikel Terkait

Menggunakan Teorema Sisa Dalam Pembagian Suku Banyak

Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian pada Suku Banyak dengan Cara Horner

Teorema Sisa : Pembagian Suku Banyak oleh Suku Berderajat Dua (Kuadrat)