8 July 2018

Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)


Kali ini kita akan membahas tentang akar-akar suku banyak (polinomial), khususnya jumlah dan hasil kali akar-akar pada suku banyak (polinomial). Secara umum persamanan suku banyak berderajat n ditulis:
P(x) = 0, atau
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . . + a1x1 + ao = 0.


Misalkan terdapat sebuah suku banyak (polinomial) P(x) dengan bentuk  P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . . + a1x1 + ao, (x – k) adalah faktor dari P(x) jika k adalah akar  atau penyelesaian dari persamaan P(k) = 0.

Teorema:
Jika suku banyak P(x) berderajat n, maka persamaan polinomial P(x) memiliki maksimum n buah akar atau penyelesaian.

Seperti pada persamaan kuadrat, pada suku banyak berderajat n juga terdapat permasalahan tentang jumlah/selisih dan hasil kali akar-akar persamaan.
Berikut hubungan antara jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan pada suku banyak (polinomial).

A. Persamaan Suku Banyak Berderajat Dua

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan ax2 + bx + c, maka diperoleh bentuk persamaan:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), atau dengan membagi kedua ruas diperoleh:




B. Persamaan Suku Banyak (Polinomial) Berderajat Tiga

Jika x1 , x2, dan x3 adalah akar-akar dari persamaan ax3 + bx2 + cx + d, maka diperoleh bentuk persamaan:
ax3 + bx2 + cx + d  = a(x – x1)(x – x2)(x – x3), atau dengan membagi kedua ruas diperoleh:




C. Persamaan Suku Banyak (Polinomial) Berderajat Empat

Jika x1 , x2, x3, dan x4 adalah akar-akar dari persamaan ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, maka diperoleh bentuk persamaan:
ax3 + bx2 + cx + d  = a(x – x1)(x – x2)(x – x3)(x – x4), atau dengan membagi kedua ruas diperoleh:




Untuk lebih jelasnya menggunakan rumus-rumus di atas, perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Contoh Soal 1
Diketahui suku banyak  x3 + 3x2 - 12x + 18 memiliki akar x1, x2, dan x3.
Tentukan nilai :



a.   (x1 + x2 + x3)2 =  x12 + x22 + x32 + 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
      x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
    x12 + x22 + x32 = (-3)2 - 2(-12)
                         = 9 + 24
                         = 33
    Jadi, nilai dari x12 + x22 + x32 = 34.





Contoh Soal 2
Diketahui suku banyak  x4 - 3x3 + mx2 + nx - 12 memiliki akar x1, x2, x3, dan x4. Jika pasangan dua akar pertama saling berlawanan dan akar yang ketiga adalah dua kali akar keempat. Tentukan nilai m dan n.
Penyelesaian:
x4 - 3x3 + mx2 + nx - 12 memiliki akar x1, x2, x3, dan x4
Diperoleh nilai a = 1, b = -3, c = m, d = n, dan e = -12.
Diketahui :
Pasangan dua akar pertama saling berlawanan, berarti x1 = - x2. Dengan demikian x1 + x2 = 0.
Akar yang ketiga adalah dua kali akar keempat, berarti x3 = 2x4.
Gunakan hasil penjumlahan akar.




Gunakan akar-akar ini untuk menentukan nilai m dan n.
P(x) = x4 - 3x3 + mx2 + nx - 12
x = 1 dan x = 2 merupakan akar-akar, sehingga P(1) = 0 dan P(2) = 0.
P(1) = 0
(1)4 – 3(1)3 + m(1)2 + n(1) – 12 = 0
                  1 – 3 + m + n – 12 = 0
                                   m + n = 14    ...(1)

P(2) = 0
(2)4 – 3(2)3 + m(2)2 + n(2) – 12 = 0
            16 – 24 + 4m + 2n – 12 = 0
                         4m + 2n – 20 = 0
                                4m + 2n = 20
                                  2m + n = 10    ...(2)

Gunakan substitusi
  m + n = 14
2m + n = 10 -
-m = 4, sehingga nilai m = -4.
Akhirnya diperoleh nilai n = 18.

Jadi, nilai m dan n berturut-turut -4 dan 18.

Demikianlah materi tentang permasalahan jumlah dan hasil kali akar-akar pada suku banyak. 
Semoga bermanfaat.


Artikel Terkait

Menggunakan Teorema Sisa Dalam Pembagian Suku Banyak

Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian pada Suku Banyak dengan Cara Horner

Teorema Sisa : Pembagian Suku Banyak oleh Suku Berderajat Dua (Kuadrat)

 

 



 



No comments:

Post a Comment