Menentukan Turunan (Differensial) Fungsi Aljabar dan sifat-sifatnya

Dalam kesempatan ini akan kami berikan cara menentukan turunan fungsi aljabar secara detail. Turunan fungsi aljabar merupakan pembahasan lebih jauh dari limit fungsi. Dengan kata lain turunan fungsi merupakan fungsi tertentu dimana nilai fungsi di setiiap titik ditentukan dengan limit selisih fungsi.

Secara umum dijelaskan sebagai berikut.
Jika dipunyai fungsi f(x) dan turunan f '(x), kedua fungsi tersebut tersebut mempunyai hubungan:

Jika dipunyai fungsi f(x) fungsi aljabar diperoleh dasar turunan sebagai berikut.

1. f(x) = xⁿ, maka f ‘(x) = nx^n-1

2. f(x) = axⁿ, maka f ‘(x) = anx^n-1

Sifat-sifat turunan fungsi aljabar
Jika diketahui k suatu konstanta, u = u(x),  v = v(x) dan masing-masing mempunyai turunan u'(x) dan v'(x), maka berlaku:
1. f(x) = u + v,   maka f'(x) = u' + v'
2. f(x)= u - v,  maka f'(x) = u' - v'
3. f(x) = uv, maka f'(x) = u'v + uv'
4. f(x) = f(u), maka f'(x) = f'(u). u'
5. f(x) = u/v, maka f'(x) = (u'v - uv')/v²

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

1.    f(x) = x³ + x²

2.    f(x) = 4x² + 5x

3.    f(x) = 3x⁵ + 4x³ – 7x²

4.    f(x) = 2x⁴ + 8x³ – x² – 9x + 1

5.    f(x) = x⁷ + 2x⁵ – 6x⁴ – 9x² + 11x

Jawaban :

1.    f’ (x) = 3x^3-1 + 2x^2-1

             = 3x² + 2x

2.    f’(x) = 4.2x^2-1 + 5x^1-1

             = 8x + 5

3.    f’ (x) = 3.5x^5-1 + 4.3x^3-1 – 7.2x^2-1

             =15x⁴ + 12x² – 14x

4.    f’ (x) = 2.4x^4-1 + 8.3x^3-1 – 2x^2-1 – 9

             = 8x³ + 24x² – 2x – 9

5.    f ‘(x) = 7.x^7-1 + 2.5x^5-1 – 6.4x^4-1 – 9.2x^2-1 + 11x^1-1

        = 7x⁶ + 10x⁴ – 24x³ – 18x + 11

Contoh di atas merupakan contoh turunan fungsi dari operasi suku-suku aljabar.
Nah, bagaimana turunan dari operasi dua fungsi aljabar (f(x)dan g(x)). Misalnya operasi perkalian dan pembagian. Mengapa hanya perkalian dan pembagian?
Perlu diketahui bahwa pada operasi penjumlahan dan pengurangan pada hakikatnya sama saja dengan operasi di atas.
Mari simak lagi turunan fungsi dari operasi aljabar berikut.

Contoh 2
Tentukan turunan fungsi berikut.

1.        F(x) = (x + 2)(2x³ – 5)

2.        F(x) = (x² + 5)(4x³ – 3x)

3.        F(x) = (x + 2)/(3x – 4)

4.        F(x) = (x² + 1)/(x² – 1)

Jawaban :

1.        F(x) = (x + 2)(2x³ – 5)

Misalkan u = x + 2,    maka u’ = 1

dan  v = 2x³ – 5, maka v’ = 6x²

f’(x) = u’v + uv’

       =1 . (2x³ – 5) + (x + 2) . 6x²

       = 2x³ – 5 + 6x³ + 12x²

       = 8x³ + 12x² – 5

2.        F(x) = (x² + 5)(4x³ – 3x)

Misalkan u = x² + 5,    maka u’ = 2x

dan  v = 4x³ – 3x, maka v’ = 12x² – 3

f’(x) = u’v + uv’

       = 2x . (4x³ – 3x) + (x² + 5).(12x² – 3)

       = (8x⁴ – 6x²) + (12x⁴ – 3x² – 15)

       = 20x⁴ – 9x² – 15

3.        F(x) = (x + 2)/(3x – 4)

Misalkan u = x + 5,    maka u’ = 1

dan  v = 3x – 4, maka v’ = 3

      

      

4.        F(x) = (x² + 1)/(x² – 1)

      Misalkan u = x² + 1,    maka u’ = 2x

      dan  v = x² – 1, maka v’ = 2x

Mari melanjutkan cara menurunkan fungsi aljabar dengan cara substitusi atau menggunakan komposisi fungsi.

Contoh 3
Tentukan turunan fungsi berikut.

1.    F(x) = (2x + 3)⁵

2.    F(x) = (3x² – 2)⁴

3.    F(x) = (x³ + 2x)⁵

 Jawaban :

1.    F(x) = (2x + 3)⁵

Misal u = 2x + 3, sehingga du/dx = u’ = 2

Y = f(x) = u⁵   Sehingga dy/du = 5u⁴

F’(x) = dy/du   .  du/dx

        = 5u⁴   .  2

        = 10u⁴

        =10 (2x + 3 )⁴

2.    F(x) = (3x² – 2)⁴

Misal u = 3x² – 4, sehingga du/dx = u’ = 6x

Y = f(x) = u⁴   Sehingga dy/du = 4u³

F’(x) = dy/du   .  du/dx

        = 4u³   .  6x

        = 24xu³

        =24(3x² – 4)³

3.    F(x) = (x³ + 2x)⁵

Misal u = x³ + 2x, sehingga du/dx = u’ = 3x² + 2

Y = f(x) = u⁵   Sehingga dy/du = 5u⁴

F’(x) = dy/du   .  du/dx

        = 5u⁴   .  (3x² + 2)

        = 5(x³ + 2x)⁴ . (3x² + 2)


Demikian sekilas tentang turunan/diferensial  fungsi aljabar.
Semoga bermanfaat.