INDUKSI MATEMATIKA : Pengertian, Prinsip, Pembuktian dengan Cara Induksi Matematika

Keabsahan rumus-rumus dalam matematika tentunya sudah dibuktikan secara benar dan dapat dipertanggungjawabkan. Sebab dengan rumus tersebut maka segala perhitungan akan menjadi lebih singkat dan tepat.

Dalam pembuktian rumus-rumus matematika tentunya menggunakan cara/metode yang tepat, artinya bentuk rumus yang dibuktikan harus menggunakan cara pembuktian yang tepat.

Ada pembuktian rumus/teorema menggunakan gambar (geometri), ada yang menggunakan pemisalan, ada yang menggunakan pendekatan ilmiah, atau ada yang menggunakan induksi matematika.

Kali ini kita akan membuktikan suatu rumus menggunakan metode induksi matematika.

Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan asli n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada nilai n. Adapun yang akan dibuktikan sebagai berikut.

1. P(1) benar, dan
2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.

Jadi, setelah P(1), P(k), dan P(k+1) benar, maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Langkah-langkah membuktikan dengan cara induksi matematika.

Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

Langkah 1 : Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

Langkah 2 : Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

Contoh:

P(k) = 2k + 3, maka P(k + 1) = 2(k + 1) + 3

                                          = 2k + 2 + 3

                                          = 2k + 5

P(k) = 3k² – 7k + 1, maka P(k + 1) = 3(k + 1)² – 7(k + 1) + 1

                                                  = 3(k² + 2k + 1) – 7k – 7 + 1

                                                  = 3k² + 6k + 3 - 7k – 7 + 1

                                                  = 3k² – k – 3

Dalam matematika banyak sekali rumus-rumus yang berkaitan dengan n.

Bagaimana membuktikan kebenaran rumus dengan induksi matematika?

Simak beberapa contoh pembuktian induksi matematika berikut.

Demikianlah sekilas cara membuktikan suatu rumus atau pola dengan induksi metematika.

Sekarang coba kalian buktikan rumus pola berikut dengan induksi matematika.

Pembuktian (Bukti) Rumus Pythagoras Pada Segitiga Siku-Siku

Kali ini kita akan membahas tentang rumus Pythagoras. Yang kita bahas kali ini adalah bagaimana membuktikan adanya rumus Pythagoras yang terdapat pada segitiga siku-siku.

Kalian tahu bahwa segitiga siku-siku dan Rumus Pythagoras memiliki bentuk seperti berikut.

Rumus Pythagoras adalah a² + b² = c²

Mengapa Rumus Pythagoras dapat dipastikan seperti di atas?

"Jika suatu segitiga berbentuk segitiga siku-siku dengan sisi a, b, dan c (sisi miring) maka berlaku hubungan a² + b² = c² .

Atau dengan kata lain

 "Jika pada segitiga yang memiliki sisi a, b, dan c berlaku hubungan a² + b² = c² maka segitiga itu berbentuk segitiga siku-siku".

Nah, dengan kepastian ini maka perlu adanya pembuktian-pembuktian Rumus Pythagoras yang dapat dipertanggungjawabkan dan dapat diterima oleh akal kita. Baik pembuktian secara aljabar maupun geometri.

Kali ini akan dibahas pembuktian Rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku secara sederhana dan gampang diterima oleh akal kita.

Pembuktian Rumus Pythagoras 1

Misalkan empat segitiga siku-siku tersebut kita susun seperti gambar di bawah ini.

 

Dengan bentuk di atas kita peroleh persegi besar dengan panjang sisi a + b.

Di dalam persegi tersebut juga terdapat persegi kecil (persegi putih) dengan panjang sisi c.

Perhatikan bahwa luas persegi besar (L) = s × s = (a + b) × (a + b),

atau

Jumlahan luas persegi kecil ditambah 4 kali luas segitiga

L = c × c + 4 × (1/2) × a × b

Dengan menyamakan kedua rumus tersebut diperoleh hubungan:

(a + b) × (a + b) = c × c + 4 × (1/2) × a × b

a² + ab + ba + b² = c² + 2 × ab

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

         a² + b² = c²

Jadi, terbukti bahwa Rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku adalah a² + b² = c².

Pembuktian Rumus Pythagoras 2

Misalkan dua segitiga siku-siku tersebut kita susun seperti gambar di bawah ini.

Hasil yang diperoleh berupa trapasium siku-siku.

Mari kita tunjukkan Bukti Rumus Pythagoras.

Trapesium di atas memiliki panjang sisi sejajar a dan b. Tinggi trapesium adalah a + b.

Perhatikan bahwa luas trapesium (L) = (1/2) × (a + b) × t atau ditulis:

L =  (1/2) × (a + b) × (a + b),

Luas trapesium dapat dicari dengan Jumlahan luas segitiga siku-siku (sisi c) ditambah 2 kali luas segitiga (sisi adan b)

L = (1/2) × c × c + 2 × (1/2) × a × b

Dengan menyamakan kedua rumus tersebut diperoleh hubungan:

(1/2) × (a + b) × (a + b) = (1/2) × c × c + 2 × (1/2) × a × b

Kedua ruas dikali 2, diperoleh

(a + b) × (a + b) = c × c + 2 × a × b

a² + ab + ba + b² = c² + 2 × ab

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

         a² + b² = c²

Jadi, terbukti bahwa Rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku adalah a² + b² = c².

Pembuktian Rumus Pythagoras 3

Pembuktian Rumus Pythagoras kali ini menggunakan konsep kesebangunan pada segitiga. Masih ingat kan?

Segitiga siku-siku di atas kita buat dengan menambahkan garis tinggi di dalam segitiga tersebut.

Perhatikan gambar berikut.

 

 Jadi, terbukti bahwa Rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku adalah a² + b² = c².

Demikianlah sekilas pembuktian (bukti) adanya Rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku.

Semoga Bermanfaat.