Kali ini kita akan membahas tentang penerapan fungsi
turunan dalam menentukan nilai maksimum dan minimum. Misalnya permasalahan
dalam menentukan volume maksimum, luas permukaan maksimum, ketinggian maksimum,
biaya minimum dan laba maksimum.
Semua permasalahan di atas dapat
diselesaikan dengan penggunaan turunan fungsi.
Untuk lebih jelasnya perhatikan
beberapa contoh berikut.
1. Suatu
perusahaan menghasilkan x barang dengan biaya total (100.000 + 2.000x + 5x2) rupiah. Jika 200 unit barang terjual
dengan harga Rp8.000,00 per unit dan sisanya terjual dengan harga Rp6.000,00 per unit, laba maksimum yang diperoleh perusahaan
adalah . . . .
A. Rp1.050.000,00
B. Rp1.100.000,00
C. Rp1.200.000,00
D. Rp1.300.000,00
E. Rp1.500.000,00
Jawaban: B
Biaya
total: B = 100.000 + 2.000x + 5x2
Hasil penjualan:
H =
200 · 8.000 + (x – 200) 6.000
=
1.600.000 – 1.200.000 + 6.000x
=
400.000 + 6.000x
Laba:
L =
H – B
=
400.000 + 6.000x – (100.000 + 2.000x + 5x2)
=
300.000 + 4.000x – 5x2
Laba akan maksimum jika L’(x) = 0
4.000 – 10x = 0
x = 400
Laba maksimum:
L(400) = 300.000 + 4.000 · 400 – 5 · 4002
= 1.100.000
Jadi,
laba maksimum yang diperoleh perusahaan Rp1.100.000,00.
2. Sebuah kotak berbentuk prisma tanpa tutup
mempunyai alas persegi. Jika volume kotak tersebut 13.500 cm³, luas permukaan
minimum kotak yang dapat dibuat adalah . . ..
A. 2.100 cm²
B. 2.400 cm²
C. 2.700 cm²
D. 3.200 cm²
E. 3.600 cm²
3. Reaksi terhadap sebuah obat insektisida
setelah t jam disemprotkan pada tanaman dapat dinyatakan sebagai bilangan tak
negatif yang sama dengan R(t) = 12t2 – t3. Reaksi maksimum
dicapai pada saat t = . . . .
A. 2 jam
B. 4 jam
C. 6 jam
D. 8 jam
E. 12 jam
Jawaban: D
R(t) = 12t2 –
t3
Reaksi
mencapai stasioner pada saat R¢(t) = 0
R'(t) = 0
24t – 3t2 = 0
3t(8 – t) = 0
t = 0 atau t = 8
Menguji t yang menyebabkan reaksi maksimum.
R''(t) = 24 – 6t
R''(0) = 24 (minimum)
R''(8) = -24 (maksimum)
Jadi, obat
tersebut akan mencapai reaksi maksimum pada saat t = 8 jam.
4. Dari selembar
karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 60 cm akan dibuat kotak tanpa
tutup dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton seperti
gambar berikut.
Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah . . ..
A. 8.000 cm3
B. 6.000 cm3
C. 5.000 cm3
D. 4.000 cm3
E. 2.400 cm3
Jawaban: D
Dimisalkan: x = tinggi kotak
Volume kotak yang akan terjadi adalah:
V(x) =(60 –
2x)(60 – 2x) x
= x(3600 – 240x +4x2)
= 3600x – 240x2 + 4x3
Volumeakan maksimum pada saat V'(x)= 0
V'(x)=0
3600 – 480x + 12x2 = 0
3600 – 480x + 12x2 = 0
3600 – 480x + 12x2 = 0
300 – 40x + x2 = 0
x2 – 40x + 300 = 0
(x – 10)(x – 30) = 0
x =10 atau x = 30
x =30 cm tidak mungkin, karena kertas akanterpotong
habis.
Sehingga nilai x yang mungkin adalah x =10.
Volume kotak untuk x = 10
V(x) =(60 –
2x)(60 – 2x) x
V(10) =(60 –
2(10)(60 – 2(20)) x
= 40
x 40 x 10
= 4.000
Jadi, volume maksimumnya adalah
4.000 cm3.
6. Sebuah mobil
melaju dengan kecepatan setiap waktu dirumuskan dengan v(t) = 5t – 0,05t2
(v dalam m/detik). Berapakah kecepatan maksimum yang dapat dilakukan oleh mobil
tersebut?
A. 125 m/detik
B. 130 m/detik
C. 135 m/detik
D. 140 m/detik
E. 145 m/detik
Jawaban: A
Kecepatan dalam waktu tertentu dirumuskan dengan.
V(t) = 5t – 0,05t2
V’(t) =
5 – 0,1t
Luas akan maksimum jika V'(t) = 0
V'(t) = 0
5 – 0,1t = 0
0,1t = 5
t = 50
Kecepatan pada saat t = 50.
V(t) = 5(50) – 0,05(50)2
= 250 – 0,05 × 2.500
= 250 – 125
= 125
Jadi, kecepatan maksimum mobil adalah 125 m/detik.
Demikian sekilas tentang penerapan turunan fungsi dalam menentukan nilai maksimum dan minimum.
Semoga bermanfaat.
Materi Terkait
Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan
Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Relatif Pada Interval Tertutup menggunakan Turunan Fungsi
Menentukan Gradien dan Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan Fungsi
No comments:
Post a Comment