Menentukan Gradien Garis dan Persamaan Garis Lurus

Berikut ini akan kami berikan sedikit penjelasan materi dan rumus-rumus yang berkaitan dengan persamaan garis lurus.

 1.    Gradien Persamaan Garis Lurus
Bentuk-bentuk persamaan garis lurus antara lain sebagai berikut.
ax + by + c = 0, atau
ax + by = c, atau
y = mx + c,
dengan:    x dan y adalah variabel
              a, b, c, dan m adalah konstanta
Gradien suatu garis lurus ditentukan sebagai berikut.
a.    Garis yang melalui titik (0, 0) dan (x, y) mempunyai gradien m = y/x .
b.    Garis melalui (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) mempunyai gradien m = (y₂ - y₁)/(x₂ – x₁) .
c.    Garis dengan persamaan y = mx + c mempunyai gradien m.
d.    Garis dengan persamaan ax + by = c atau ax + by + c = 0 mempunyai gradien m = -a/b.

Menentukan Persamaan Garis
1.    Kedudukan Dua Garis
Kedudukan dua garis sebagai berikut.
Misalkan garis g: ax + by = c, gradien = m1 = -a/b
Misalkan garis h: px + qy = r , gradien = m2 = -p/q
a.    Garis g sejajar garis h jika m1 = m2.
b.    Garis g berimpit dengan garis h jika  ada hubungan a/p = b/q = c/r .
c.    Garis g berpotongan tegak lurus dengan garis h jika m1 × m2 = –1.

Contoh:
Diketahui tiga buah garis dengan persamaan sebgai berikut.
Garis g : 2x  + y = 2
Garis k : 3x - 6y = 10
Garis l : 4x + 2y = 5
Tentukan kedudukan garis garis tersebut terhadap garis lainya.
Jawaban:
Garis - garis tersebut dapat ditentukan gradiennya:
Gradien garis g adalah -2 
Gradien garis k adalah 1/2
Gradien garis l= -2
Berdasarkan nilai gradien tersebut, dapat ditentukan kedudukan antargaris.
Garis g dan l sejajar (karena gradiennya sama)
Garis g tegak lurus dengan garis k
Garis k tegak lurus degan garis l.





2.    Persamaan Garis
Cara menentukan persamaan garis yang diketahui unsur-unsurnya sebagai berikut.
a.    Persamaan garis dengan gradien m melalui (0, 0) adalah y = mx.
b.    Persamaan garis yang melalui (x₁, y₁) dan bergradien m adalah y – x₁ = m(x – x₁).
c.    Persamaan garis yang melalui (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) adalah  = (y - x₁)/(y₂ -y1) = (x - x₁)/(x₂- x₁).

 Perhatikan contoh-contoh berikut yang berkaitan dengan persamaan garis lurus.

Contoh Soal.
1. Tentukan gradien dari persamaan garis lurus berikut.
a. y = 3x + 5
b. 2x + y = 9
c. 3x - 4y - 12 = 0
d. 4x + 2y + 11 = 0  
e. 2x + 5y - 15 = 0

Jawaban :
a. ingat persamaan garis lurus y = mx + c, m = gradien
   y = 3x + 5, memiliki gradien  m = 3.
b. 2x + y = 9 bisa diubah dahulu menjadi y = -2x + 9.
  Jadi gradiennya adalah m = -2.
c.  Garis 3x - 4y - 12 = 0,memiliki nilai  a = 3 dan b = -4.
   Gradien garis = m = -a/b = -3/(-4) = 3/4.
d.  Garis 4x + 2y + 11 = 0,memiliki nilai  a = 4 dan b = 2.
   Gradien garis = m = -a/b = -4/2 = -2.
e.  Garis 2x - 5y - 15 = 0,memiliki nilai  a = 2 dan b = -5.
   Gradien garis = m = -a/b = -2/(-5) = 2/5.


2. Tentukan persamaan garis lurus yang bergradien 3 dan melalui titik (2, 4).
 Jawaban:
Diketahui gradien garis = m = 3,  dan melalui titik (x₁, y₁)= (2,4).
Persamaan garis lurus:
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
y = 3x - 2
atau 
y - 3x + 2 = 0
Jadi, persamaan garisnya adalah  y - 3x + 2 = 0.


3. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar garis y = 2x - 5 dan melali titik (3, -1).
Jawaban :
misalkan kita mencari persamaan garis h.
Gradien garis y = 2x -  5 adalah 2.
Garis h sejajar garis y =2x - 5. Sehingga garis h bergradien sama dengan gradien garis y = 2x -5, yaitu m = 2.
Persamaan garis h. (melalui titik (3, -1) dan m = 2) 
y - y₁ = m(x - x₁)
y - (-1) = 2 (x - 3)
y + 1 = 2x - 6
y = 2x - 7
atau 
y - 2x + 7 = 0
Jadi, persamaan garisnya adalah y - 2x + 7 = 0.

4. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik  (1, 2) dan (-3, 4).
Jawaban:
Langkah pertama menentukan gradien garis terlebih dahulu.
m= (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (4 - 2)/(-3 - 1)= 2/(-4) = -1/2
Langkah kedua:
Menentukan persamaan garis yang diketahui gradiennya dan salah satu titik tersebut. 
Ambil saja titiknya (1, 2).
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 2 = -1/2 (x - 1)
2y - 4 = -(x -1)
2y - 4 = -x + 1
x + 2y -5 = 0


Jadi, persamaan garisnya adalah x + 2y - 5 = 0.