25 September

Cara Menentukan Titik Balik Maksimum dan Minimum Grafik Fungsi Trigonometri Menggunakan Turunan Fungsi


Dalam kesempatan ini akan kita bahas tentang kegunaan  turunan fungsi trigonometri dalam menentukan titik balik dari sustu kurva fungsi trigonometri. Perlu diingat bahwa turunan (Derivatif) fungsi salah satu kegunaannya adalah untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi. Jadi, jika terdapat suatu fungsi tertentu, maka untuk mencari titik optimumnya dapat menggunakan turunan fungsi.
Dalam konteks kali ini kita akan bahas secara khusus tentang fungsi trigonometri, yaitu menggunakan turunan fungsi.



Jika diketahui suatu grafik fungsi trigonometri y = f(x), maka nilai x pada titik balik grafik fungsi trigonometri dapat dicari  dengan menentukan y' = 0 atau f'(x) = 0.
Jika diperoleh x1 sebagai titik balik, dan f''(x) adalah turunan kedua dari f(x) maka:
1.  Titik (x1, f(x1)) merupakan titik balik maksimum apabila f''(x1) < 0.
2.  Titik (x1, f(x1)) merupakan titik balik minimum apabila f''(x1) > 0.

Nah, bagaimana cara menemukan titik  balik maksimum dan minimum fungsi suatu grafik fungsi trigonometri?
Marilah simak beberapa contoh dan pembahasannya berikut.

Contoh 1
Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin x + cos x, untuk 0o < x < 360o

Jawaban:
Diketahui y = sin x + cos x
Maka turunannya adalah y ' = f'(x) = cos x - sin x
Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.
Sehingga diperoleh:




Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.
y ' = f'(x) = cos x - sin x , maka
y '' = f''(x) = -sin x - cos x





Contoh 2
Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 2x,  untuk 0o < x < 360o

Jawaban:
Diketahui y = sin 2x
Maka turunannya adalah y ' = f'(x) = 2 cos 2x
Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.
Sehingga diperoleh:
2 cos 2x = 0
cos 2x = 0
cos 2x = cos 90o dan cos 270o
(i) 2x = 90o + k.360o
     x = 45o + k.180o
untuk k = 0, maka x = 45o
untuk k = 1, maka x = 225o

ii) 2x = 270o + k.360o
     x = 135o + k.180o
untuk k = 0, maka x = 135o
untuk k = 1, maka x = 315o

Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikanya ke persamaan fungsi awal.
Untuk x = 45o, maka y = sin 2(45o) = sin 90o = 1. Diperoleh titik balik (45o, 1).
Untuk x = 135o, maka y = sin 2(135o) = sin 270o = -1. Diperoleh titik balik (135o, -1).
Untuk x = 225o, maka y = sin 2(225o) = sin 450o = 1. Diperoleh titik balik (225o, 1).
Untuk x = 315o, maka y = sin 2(315o) = sin 630o = -1. Diperoleh titik balik (315o, -1).

Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.
y ' = f'(x) = 2 cos 2x, maka
y '' = f''(x) = -4 sin 2x

Untuk x = 45o maka y '' = f''(45o) =  -4 sin 2(45o)
                                  = -4 sin 90o
                                  = -4  (negatif) 
Sehingga, (45o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.

Untuk x = 135o maka y '' = f''(135o) =  -4 sin 2(135o)
                                    = -4 sin 270o
                                    = 4  (positif) 
Sehingga, (135o, -1) titik merupakan titik balik minimum.

Untuk x = 225o maka y ''    = f''(225o) =  -4 sin 2(225o)
                                  = -4 × sin (450o)
                                  = -4  × sin 90o
                                  = -4  × (1)
                                  = 4   (negatif) 
Sehingga, (225o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.

Untuk x = 315o maka y '' = f''(315o) =  -4 sin 2(315o)
                                    = -4 sin 630o
                                    = -4 sin 270o
                                    = -4 × (-1)
                                    = 4  (positif) 
Sehingga, (315o, -1) titik merupakan titik balik minimum.



Contoh 3
Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 3x – cos 3x,  untuk 0o < x < 360o

Jawaban:
Diketahui y = sin 3x – cos 3x
Maka turunannya adalah y ' = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x
Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.
Sehingga diperoleh:
3cos 3x + 3sin 3x = 0
cos 3x + sin 3x = 0
sin 3x = -cos 3x

 


tan 3x = -1 = tan 135o
 Sehingga
 3x = 135o + k.180o
     x = 45o + k.60o
untuk k = 0, maka x = 45o
untuk k = 1, maka x = 105o
untuk k = 2, maka x = 165o
untuk k = 3, maka x = 225o
untuk k = 4, maka x = 285o
untuk k = 5, maka x = 345o


Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikan sudut-sudut tersebut ke persamaan fungsi awal.
Fungsi awal y = sin 3x – cos 3x
 
 
 


Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.
y ' = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x, maka
y '' = f''(x) = -9sin 3x + 9cos 3x
               = 9{-sin 3x + cos 3x}



 



Demikianlah sekilas materi turunan trigonometri dalam penggunaannya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum.
Semoga bermanfaat

No comments:

Post a Comment