Menentukan Suku Ke-n dan Jumlah n Suku Pertama Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri

A.   Pola Barisan Bilangan

Pola barisan  bilangan memiliki arti suatu susunan bilangan yang memiliki bentuk teratur atau suatu bilangan yang tersusun dari beberapa bilangan lain yang membentuk suatu pola.

Contoh pola barisan bilangan

1.    Pola bilangan genap : 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . .

       Rumus : U_n = 2n

2.    Pola bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . .

       Rumus : U_n = 2n - 1

3.    Pola bilangan persegi  : 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . .

       Rumus : U_n = n²

4.    Pola bilangan kubik : 1, 8, 27, 64, 125, . . . .

       Rumus : U_n = n³

5.    Pola bilangan persegi panjang : 2, 6, 12, 20, 30, . . . .

       Rumus : U_n = n(n + 1)

6.    Pola bilangan segitiga : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, . . . . .

       Rumus : U_n =(1/2)n(n + 1)

 

B. Barisan dan Deret Aritmetika

 Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki pola setiap bilangan berurutan memiliki selisih sama. Jika setiap barisan bilangan memiliki suku pertama a dan beda = b, maka:

Rumus suku ke-n adalah : .

 

Rumus jumlah n suku pertama adalah:

 

C. Barisan dan Deret Geometri

 Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki pola setiap bilangan berurutan memiliki rasio sama. Jika setiap barisan bilangan memiliki suku pertama a dan rasio = r, maka:

Rumus suku ke-n adalah: 

 

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

 

 

Menentukan suku ke-n jika diketahui jumlah suku-sukunya dirumuskan:

 

 

 

 

Contoh soal dan Pembahasan:

1. Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan Suku ke-18.

Jawaban:

Diketahui : a = 5 dan b = 3

Rumus suku ke-n:

Un = a + (n - 1)b

 U18 = 5 + (18-1)3

= 5 + (17)(3)

= 5 + 51

=56

Jadi, suku ke-18 adalah 56.

 

2. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4 = 18 dan suku ke-10 = 36. Tentukan suku ke-30.

Jawaban:

U4 = 18 maka a + 3b = 18        . . .(1)

U10 = 36 maka a + 9b = 36      . . .(2)

Eliminasi a pada kedua persamaan

 a + 3b = 18        . . .(1)

a + 9b = 36      . . .(2)

______________________ _

-6b  = -18

b = 3

Substitusikan b = 3 ke persamaan a + 3b = 18, maka:

a + 3(3) = 18, sehingga a + 9 = 18, dan akhirnya a = 9.

Rumus umum barisan menjadi: 

Un = 9 + (n - 1)3 atau Un = 3n + 6.

Dengan demikian suku ke-30 dapat dicari sebagai berikut.

U30 = 3(30) + 6

       =  90 + 6

       = 96

Jadi, suku ke-30 adalah 96.

3. Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-10 = 34 dan suku ke-15= 54. Tentukan  jumlah 8 suku pertama.

Jawaban:

U10 = 34 maka a + 9b = 34        . . .(1)

U15 = 54 maka a + 14b = 54      . . .(2)

Eliminasi a pada kedua persamaan

 a + 9b = 34       . . .(1)

a + 14b = 54      . . .(2)

______________________ _

-5b  = -20

b =4

Substitusikan b = 4 ke persamaan a + 9b = 34, maka:

a + 9(4) = 34, sehingga a + 36 = 34, dan akhirnya a = -2.

Rumus umum barisan menjadi: 

Jumlah 8 suku pertama dapat dicari sebagai berikut.

Sn = (n/2) (2a + (n-1)b)

S8 = (8/2) (2(-2) + (8-1)4)

= 4(-4 + 28)

= 4(24)

= 96

Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 96.

4. Diketahui deret aritmetika dengan jumlah n suku pertama dirumuskan Sn = n^2 + 5n + 4 . Tentukan suku ke 5.

Jawaban:

Un = Sn - S(n-1)

= 5^2 + 5(5) + 4 -(4^2 + 5(4) + 4)

= (25 + 25 + 4) - ( 16 + 20 + 4)

= 54 - 40

= 14

Jadi, suku ke- 5 adalah 14.

 

5.  Seorang karyawan menerima bonus tahunan pertama sebesar Rp2.000.000,00. Setiap tahun bonus yang diterima akan naik Rp150.000,00. Jumlah bonus yang diterima karyawan selama 10 tahun?

     Jawaban :

Permasalahan tersebut merupakan bentuk deret aritmetika dengan suku awal = a = 2.000.000 dan beda = b = 150.000.

Jumlah 10 suku pertama (S₁₀) dapat dihitung sebagai berikut.

   Sn    = (n/2)(2a + (n – 1)b)

   S10 = (n/2)(2(2.000.000) + 9(150.000))

         = 5(4.000.000 + 1.350.000)

         = 5(5.350.000)

         = 26.750.000

Jadi, jumlah bonus yang diterima karyawan selama 10 tahun sebanyak Rp26.750.000,00.

6. Diketahui suku ke-2 dan suku ke-6 suatu barisan geometri adalah 14 dan 224. Tentukan Suku ke-10 barisan tersebut.

     Jawaban:

     Barisan geometri : U_n = ar^n-1

     Diketahui: U₂ = ar = 14

     U₆ = ar⁵ = 224

     Menentukan nilai rasio (r)

     ar⁵ = 224          ar x r⁴ = 224

                              14 x r⁴ = 224

                              r⁴ = 224/14 = 16

                              r = 2

     U₁₀ = ar⁹    = ar x r⁸

                      = 14 x 2⁸

                      = 14 x 246

                      = 3.584

     Jadi, suku ke-10 adalah 3.584.

7. Diketahui deret geometri dengan suku ke-4 = 24 dan suku ke-7 adalah 192. Tentukan jumlah 10 suku pertama.

     Jawaban:

     Barisan geometri : U_n = ar^n-1

     Diketahui:

     U₄ = ar³ = 24

     U₇ = ar⁶ = 192

    

     Menentukan nilai r

     U7/U4 = 196/24    r³ = 8  

                                  r = 2

     ar³ = 24

      a(2)³  = 24

     8a  = 24

     a  = 3

     Jumlah 10 suku pertama deret geometri 

 

  Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 3.096.

8. Sebuah sel membelah diri menjadi empat setiap 20 menit. Jika mula-mula terdapat 3 sel, Berapa banyak sel setelah 2 jam?

    

     Jawaban:

     Permasalahan tentang barisan geometri.

     Barisan geometri : U_n = ar^n-1

     Diketahui:

     suku awal (a) = 20 dan rasio (r) = 4

     2 jam = 120 menit = 6 × 20 menit

     Sehingga n = 6

     U₆ = ar⁵ = 3 × 4⁵

                  = 3 × 1.024

                  = 3.072

     Jadi, banyak sel setelah 2 jam adalah  3.072.

Demikian sedikit materi tentang barisan dan deret aritmetika dan geometri.
Semoga bermanfaat.