Cara Menentukan Rumus Barisan Bertingkat Dan Suku Ke-n

Hai sobat I-Math, pada kesempatan ini akan kita bahas cara menentukan rumus barisan dan suku ke-n pada barisan bertingkat. Barisan bertingkat berbeda dengan barisan aritmetika maupun barisan geometri. Coba cermati perbedaan antara barisan aritmetika, barisan geometri, dan barisan bertingkat.

Barisan aritmetika:

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, . . .                   memiliki beda = 3

6, 11, 21, 26, 31, 36, 41, . . .                memiliki beda = 5

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, . . .              memiliki beda = 10

Barisan geometri:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . .           memiliki rasio = 2

2, 6, 18, 54, 162, 486, 1.458, . . .          memiliki rasio = 3

3,15, 75, 375, 1.875, 9.375, . . .            memiliki rasio = 5

Kalo dicermati bentuk ketiga barisan tersebut sudah kelihatan bedanya. Pada barisan bertingkat dapat dipolakan penjumlahan dengan suku sebelumnya yang semakin bertambah/berkurang secara linear. Kemudian jika dipolakan pada tingkatan kedua, bentuknya seperti barisan aritmetika.

Jika dicermati pada rumus suku ke-n, maka diperoleh perbedaan berikut.

Rumus suku ke-n

Barisan Aritmetika : U_n = a + (n – 1)b, dengan n = 1, 2, 3, 4, . . . .

Barisan Geometri : U_n = ar^n-1, dengan n = 1, 2, 3, 4, . . . .

Barisan Bertingkat : U_n = an² + bn + c dengan n = 1, 2, 3, 4, . . . .

Nah, pada kesempatan ini akan kita pelajari cara menentukan suku ke-n dan rumus suku ke-n barisan bertingkat.

Contoh 1

Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-20 dari barisan bilangan bertingkat berikut.

a.       0, 5, 12, 21, 32, 45, . . . .

b.       6, 7, 10, 15, 22, 31, . . . .

c.       7, 14, 25, 40, 59, 84, . . .

d.       1, 4, 11, 22, 37, 56, . . .

Nah, untuk membahas atau menjawab soal di atas, perhatikan langkah-langkah berikut.

Perlu dikatahui bahwa secara umum bentuk rumus suku ke-n barisan bertingkat di atas adalah bentuk kuadrat yang ditulis Un = an² + bn + c.

Oleh karena itu yang akan kita cari adalah menentukan nilai a, b, dan c.

Bagaimana cara menentukan nilai a, b, dan c?

Perhatikan cara-cara berikut dengan mencermati skemanya.

Dengan demikian diperoleh nilai a = 1, b = 2 dan c = -3.

Jadi, rumus suku ke-n adalah U_n = n² + 2n – 3.

Selanjutnya menentukan suku ke-20 atau U₂₀. Pada saat ini nilai n diganti 20.

U₂₀ = 20² + 2(20) – 3

     = 400 + 40 – 3

     = 437

Jadi, suku ke-20 adalah 437.

Dengan demikian diperoleh nilai a = 1, b = -2 dan c = 7.

Jadi, rumus suku ke-n adalah U_n = n² - 2n + 7.

Selanjutnya menentukan suku ke-20 atau U₂₀. Pada saat ini nilai n diganti 20.

U₂₀ = 20² –  2(20) + 7

     = 400 –  40 + 7

     = 367

Jadi, suku ke-20 adalah 367.

Dengan demikian diperoleh nilai a = 2, b = 1 dan c = 4.

Jadi, rumus suku ke-n adalah U_n = 2n² + n + 4.

Selanjutnya menentukan suku ke-20 atau U₂₀. Pada saat ini nilai n diganti 20.

U₂₀ = 2(20²) + 20 + 4

     = 2(400) + 20 + 4

     = 800 + 20 + 4

     = 824

Jadi, suku ke-20 adalah 824.

Dengan demikian diperoleh nilai a = 2, b = -3 dan c = 2.

Jadi, rumus suku ke-n adalah U_n = 2n² - 3n + 2.

Selanjutnya menentukan suku ke-20 atau U₂₀. Pada saat ini nilai n diganti 20.

U₂₀ = 2(20²) -  3(20) + 2

     = 2(400) – 60 + 2

     = 800 -  60 + 2

     = 742

Jadi, suku ke-20 adalah 742.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan rumus dan suku ke-n  barisan bertingkat. Semoga bermanfaat.