Menyelesaikan masalah dengan KPK dan FPB (3)

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) banyak digunakan dalam memecahkan masalahan keseharian. Berikut ini akan diberikan cara menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan KPK dan FPB

Soal no.1

Lampu A berkedip setiap 5 detik. Lampu B berkedip setiap 4 detik. Lampu C berkedip setiap 6 detik. Ketiga lampu tersebut berkedip bersamaan setiap .... detik

a.   20 
b.   30
c.   40 
d.   60 
Jawaban : d

Permasalahan  di atas tentang KPK. Untuk itu mari menyelesaikan dan menentukan KPK bilangan-bilangan itu.

4   = 2²

5   = 5

6   = 2 × 3

KPK     = 2² × 3 × 5 = 60

Jadi, Ketiga lampu tersebut berkedip bersamaan setiap 60 detik.

 Soal no.2

Susi, Riko, dan Tini berturut-turut mengunjungi perpustakaan setiap 4 hari, 6 hari, dan 8 hari sekali. Jika pada tanggal 15 Juli 2014 mereka bertemu di perpustakaan, pada tanggal berapa mereka bertemu di perpustakaan yang akan datang?

a.   8 Agustus 2014

b.   9 Agustus 2014

c.   10 Agustus 2014

d.   11 Agustus 2014

Jawaban: a

Permasalahan tentang KPK

4   = 2²

6   = 2 × 3

8   = 2³

KPK = 2³ × 3 = 24

Susi, Riko, Tini akan bertemu 24 hari sehari. Dua puluh empat hari setelah tanggal 15 Juli 2014 adalah 8 Agustus 2014.

Trik menentukan tanggal.
Tanggal = (n + tanggal sekarang) - lama hari bulan Juli
             = (24 + 14) - 31
             = 8 sgustus

Soal no.3

Rida, Sita, dan Dewi mengikuti kursus menari di sanggar yang sama. Rida berlatih setiap 6 hari sekali. Sita berlatih setiap 4 hari sekali. Dewi berlatih setiap 8 hari sekali. Jika pada tanggal 17 Oktober 2014 mereka berlatih bersama-sama di sanggar tersebut, mereka berlatih bersama-sama sebelumnya pada tanggal . . . .

a.   11 Oktober 2014

b.   5 Oktober 2014

c.    13 September 2014

d.   23 September 2014

Jawaban: d

Permasalahan tentang KPK

KPK dari 4, 8, dan 6 adalah 24. Mereka (Rida, Sita, dan Dewi) berlatih bersama-sama 24 hari sebelum tanggal 17 Oktober 2014, yaitu tanggal (30 + 17) – 24 September 2014 atau tanggal 23 September 2014.

Soal no.4

Citra, Dina, dan Elsa mengikuti kursus menyanyi di tempat yang sama. Citra mempunyai jadwal berlatih setiap 4 hari sekali, Dina setiap 8 hari sekali, dan Elsa setiap 5 hari sekali. Pada tanggal 6 November 2015 mereka datang bersamaan. Mereka akan datang bersamaan lagi pada tanggal . . . .

a.   26 November 2015

b.   16 Desember 2015

c.    18 Desember 2015

d.   26 Desember 2015

Jawaban: b

Permasalahan KPK

KPK dari 4, 8, dan 5 adalah 40.

40 hari setelah tanggal 6 November 2015 adalah tanggal (6 + 40 – 30) Desember 2014 atau 16 Desember 2015.

Jadi, mereka akan berlatih bersama pada tanggal 16 Desember 2015.

Permasalahan tentang FPB

Soal no.5

Ibu akan membagikan 84 kue donat dan 56 kue bolu kepada beberapa tetangganya. Setiap tetangga diharapkan memperoleh jumlah dan jenis yang sama banyak. Ibu bisa membagikan sebanyak-banyaknya kepada . . . tetangga.

a.   28

b.   30

c.    32

d.   35

Jawaban: a

Permasalahan di atas tentang FPB
Mari menentukan FPB dari bilangan-bilangan tersebut.

84  = 2 × 2 × 3 × 7

56  = 2 × 2 × 2 × 7

FPB     = 2 × 2 × 7 = 28

Jadi, ibu dapat membagikan sebanyak-banyaknya kepada 28 tetangga.

Soal no.6

Vika mempunyai 36 pita merah, 48 pita kuning, dan 60 pita emas. Pita-pita tersebut akan digunakan untuk menghias beberapa kado dengan jumlah dan jenis sama banyak untuk setiap kado. Vika akan menghias kado sebanyak-banyaknya. Pita emas yang digunakan untuk menghias sebuah kado sebanyak . . . pita.

a.   12

b.   6

c.    5

d.   4

Jawaban: c

Permasalahan tentang FPB

36       = 2 × 2 × 3 × 3

48       = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

60       = 2 × 2 × 3 × 5

-------------------------------

FPB     = 2 × 2 × 3 = 12

Banyak pita emas yang digunakan sebuah kado adalah 60 : 12 = 5 pita.

Soal no.7

Dalam acara seminar diikuti oleh 90 guru Matematika dan 72 guru IPA. Dalam sesi diskusi, panitia meminta agar dibentuk kelompok diskusi. Masing-masing kelompok terdiri atas guru-guru fengan jenis guru mapel dan jumlah jumlah sama banyak. Panitia akan membuat sebanyak-banyaknya kelompok tersebut. Banyak guru Matematika setiap kelompok ada . . . .

a.   5 guru

b.   6 guru

c.    8 guru

d.   18 guru

Jawaban: a

Permasalahan di atas adalah permasalahan FPB
Mari menentukan FPB dari bilangan-bilangan tersebut.

72       = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

40       = 2 × 3 × 3 × 5

-------------------------------

FPB     = 2 × 3 × 3 = 18

Terbentuk 18 kelompok

Banyak guru Matematika pada setiap kelompok = 90 : 18 = 5 orang.

Demikian sedikit gambaran tentang cara menentukan dan menyelesaikan masalah tentang KPK dan FPB dalam permasalahan sehari-hari.
Semoga bermanfaat.

Faktor, Kelipatan, Faktor Prima, Faktorisasi Prima, KPK dan FPB (2)

Dalam kesempatan ini kita akan membahas dan belajar tentang Faktor prima, faktorisasi prima, Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan Faktor persekutuan terbesar (FPB) menggunakan faktorisasi prima.

 
Faktorisasi Prima dan Faktor Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Bilangan prima = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . .

Faktorisasi prima adalah penjabaran suatu bilangan menjadi perkalian-perkalian bilangan prima. Jadi, dengan perkalian beberapa bilangan prima diperoleh hasil boilangan itu.

Contoh 

6 = 2 x 3          (2 dan 3 adalah bilangan prima)

20 = 2 x 2 x 5  (2 dan 5 adalah bilangan prima)

45 = 3 x 3 x 5  (3 dan 5 adalah bilangan prima)

70 = 2 x 5 x 7  (2, 5, dan 7 adalah bilangan prima)

Bentuk bentuk di atas merupakan contoh faktorisasi prima dari suatu bilangan.

Faktor Prima adalah bilangan-bilangan prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
Misalkan pada faktorisasi prima di atas.
6 memiliki faktor prima 2 dan 3 .
20 memiliki faktor prima 2 dan 5.
45 memiliki faktor prima 3 dan 5.
70 memiliki faktor prima 2, 3, dan 5.

Untuk bilangan-bilangan yang kecil, mungkin mudah untuk membuat faktorisasi prima. Namun untuk bilangan yang besar perlu pemikiran yang lebih. Pada kesempatan ini mari membuat faktorisasi bilangan yang lebih besar. Caranya dengan pohon faktor. Prinsip pohon faktor adalah pembagian bilangan sampai dengan bilangan prima pada ujung-ujungnya.

Perhatikan cara berikut. 

Faktorisasi prima dari 48
48 = 2 x 2 x 2x 2 x 3 = 2⁴ x 3
Faktor prima = 2 dan 3

Faktorisasi prima dari 90
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x5
Faktor prima = 2, 3 dan 5

Faktorisasi prima dari 140
140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 2² x 5 x 7
Faktor prima = 2, 5 dan 7

Faktorisasi prima dari 240
240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2⁴ x 3 x 5
Faktor prima = 2, 3 dan 5








Menentukan  FPB menggunakan Faktorisasi Prima
 
Langkah-langkah menentukan FPB
1. Tulislah semua faktorisasi prima dari setiap bilangan
2. Pilihlah bilangan faktor yang sama dan kalikanlah
3. Pada bilangan faktor yang ada pangkatnya, pilihlah bilangan dengan pangkat terkecil

Contoh:
Tentukan FPB dari 60 dan 36

60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3² 
FPB = 2² x 3 = 12 (pada bilangan 3 dipilih pangkat terkecil yaitu 3)

Cara kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan

FPB = 2 x 2 x 3 = 12






Tentukan FPB dari 120 dan 300
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2³ x 3 x 5
300 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 2² x 3 x 5² 
FPB = 2² x 3 x 5 = 60 (pada bilangan 2 dan 5 dipilih pangkat terkecil yaitu 2² dan 5)

Cara Kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan
FPB = 2² x 3 x 5 = 60





Menentukan  KPK menggunakan Faktorisasi Prima
 
Langkah-langkah menentukan FPB
1. Tulislah semua faktorisasi prima dari setiap bilangan
2. Tulislah semua bilangan faktor yang sama
3. Jika ada bilangan faktor yang berpangkat, pilihlah bilangan dengan pangkat terbesar, kemudian kalikanlah


Contoh:
Tentukan KPK dari 30 dan 48
30 = 2 x 3 x 5
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁴ x 3

KPK = 2⁴ x 3 x 5 = 240 (pada bilangan 2 dipilih pangkat terbesar yaitu 2⁴ )

Cara kedua

Bagilah dengan  bilangan prima terkecil/termudah
Pilihlah pembagi yang bisa membagi kedua bilangan
Bagilah sampai selesai, hasilnya 1-1
KPK = 2⁴ x 3 x 5 = 240

Tentukan KPK dari 45, 60, dan 75
45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
75 = 3 x 5 x 5 = 3 x 5² 

KPK = 2² x 3² x 5² = 900 (pada bilangan 2, 3, dan 5 dipilih pangkat terbesar)

Cara kedua

KPK = 2² x 3² x 5² = 900







Demikian sedikit penjelasan tentang faktorisasi prima, faktor prima, KPK dan FPB.
Semoga bermanfaat.


Untuk mempelajari permasalahan dan penyelesaian masalah keseharian menggunakan KPK dan FPB, lanjutkan dengan KLIK di bawah ini.

Penyelesaian Permasalahan tentang KPK dan FPB

Menentukan Faktor, Faktor Prima, Kelipatan dan Faktor Persekutuan, KPK, dan FPB

Kelipatan
Kelipatan adalah bilangan loncat yang dimulai dari bilangan loncat terkecil (bilangan kelipatan) dengan setiap loncatan sama panjang/jarak/satuannya. 0 tidak termasuk dalam anggota kelipatan.
Contoh:
Bilangan kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .
Bilangan kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, . . .
Bilangan kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, . . .


Faktor
Faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Misalnya ada bilangan 10. Faktor dari bilangan 10 adalah bilangan yang membagi habis bilangan 10 tersebut. Faktor dari 10 adalah1, 2, 5, dan 10, sebab bilangan-bilangan tersebut membagi habis 10.
Contoh:

Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12

Faktor 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Faktor 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40





Kelipatan Persekutuan
Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatan-kelipatan yang sama dan dimiliki oleh kedua bilangan tersebut. Jika terdapat tiga bilangan, maka kelipatan persekutuan dari ketiga bilangan adalah kelipatan-kelipatan sama yang dimiliki oleh ketiga bilangan tersebut Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh
Tentukan kelipatan persekutuan dari 3 dan 5.
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, . . .
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, . . . .
Kelipatan persekutuaan = 15, 30, 45, 60, . . . .

Tentukan kelipatan persekutuan dari 6 dan 8
Kelipatan 6 =6,12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,  78, . . .
Kelipatan 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,. . . .
Kelipatan persekutuan = 24, 48, 72,. . . .


Faktor Persekutuan
Faktor persekutuan dari dua bilangan adalah faktor-faktor yang dimiliki oleh kedua bilangan tersebut. Jika ada dua bilangan yang masing-masing memiliki faktor-faktornya, maka faktor persekutuan dari dua bilangan tersebut dipilih faktor-faktor yang sama.
Contoh
Tentukan faktor persekutuan dari 24 dan 30
Faktor dari 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor dari 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Faktor persekutuan 24 dan 30 adalah 1,2, 3, 6

Tentukan faktor persekutuan dari 36 dan 60
Faktor dari 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Faktor dari 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Faktor persekutuan 36 dan 60 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12

Tentukan faktor persekutuan dari 50, 75 dan 200
Faktor dari 50 = 1, 2, 5, 10, 25, 50
Faktor dari 75 = 1, 3, 5, 15, 25, 75
Faktor dari 200 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 50, 100, 200
Faktor persekutuan dari 50, 75 dan 200 adalah 1, 5, 25


Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
KPK adalah bilangan kelipatan persekutuan dua atau tiga bilangan yang paling kecil.
Langkah-langkah menentukan KPK dari dua/tiga bilangan.
1. Tulislah kelipatan masing-masing bilangan
2. Tulislah kelipatan-kelipatan persekutuannya.
3. Pilihlah kelipatan yang terkecil. Itulah KPK-nya.

Contoh
Tentukan KPK dari 6 dan 9.
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, . . . .
Kelipatan 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81,. . . .
Kelipatan Persekutuan = 18, 36, 54, 72, . . ..
KPK = 18

Tentukan KPK dari 2, 3, dan 5
Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, . . .
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39,. . . .
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, . . . .
Kelipatan persekutuan = 30, 60, 90, . . . .
KPK = 30

Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
KPK adalah bilangan faktor persekutuan dua atau tiga bilangan yang paling besar.
Langkah-langkah menentukan FPB dari dua/tiga bilangan.
1. Tulislah faktor masing-masing bilangan
2. Tulislah faktor-faktor persekutuannya.
3. Pilihlah faktor yang terbesar. Itulah FPB-nya.

Contoh:
Tentukan FPB dari 24 dan 40
Faktor dari 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor dari 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Faktor persekutuan = 1, 2, 4, 8
FPB = 8

Tentukan FPB dari 36 dan 48
Faktor dari 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Faktor dari 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Faktor persekutuan = 1, 2, 3, 4, 6, 12
FPB = 12


Tentukan FPB dari 30, 45 dan 75
Faktor dari 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Faktor dari 45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45
Faktor dari 75 = 1, 3, 5, 15, 25, 75
Faktor persekutuan = 1, 3, 5
FPB = 5


Untuk mempelajari  Faktorisasi prima, faktor prima, KPK dan FPB menggunakan cara faktorisasi prima, bukalah link di bawah ini.

Faktorisasi prima, faktor prima, KPK dan FPB (2)