IMATH: Progam Linear (1) : Pertidaksamaan dan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang program linear. Program linear merupakan materi matematika yang mempelajari tentang penyelesaian penyelesaian dari sistem persamaan linear untuk menentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian dari fungsi objektif yang diberikan.

Sebelum mempelajari program linear lebih lanjut, mari mempelajari dasar-dasar program linear dari akar permasalahan. Program linear mencakupbeberapa konsep materi dasar seperti, persamaan linear, sistem pertidaksamaan linear, dan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Selanjutnya, mari mempelajari tentang pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

A. Pertidaksamaan dan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Jika x dan y merupakan variabel,a,b,dan c merupakan bilangan/konstanta, pertidiksamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut: ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, dan ax + by ≥ c.
Contoh bentuk pertidaksamaan linear dua variabel.
1. 2x + 3y < 6
2. 3x + 4y > 12
3. x + y ≤ 10
4. 5x - 2y ≥ 20

Pertidaksamaan-Pertidaksamaan linear dua variabel mempunyai penyelesaian yang berupa daerah penyelesaian. Daerah penyelessaian ini merupakan titik-titik (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Perlu diperhatikan:
Dalam materi ini, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang DIARSIR.
walaupun di buku/pengajar lain justru sebaliknya. Hal ini tidak mengapa, yang jelas kita mengerti daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang ditandai dengan kesepakatan ditempat siswa belajar.

Daerah penyelesaian ini dapat digambarkan seperti berikut.
Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Jawaban:
Langkah pertama kita membuat persamaan x + y = 10 (persamaan garis lurus)
Membuat dua titik bantu.
Untuk x = 0, maka y = 10. Diperoleh titik (0, 10)
Untuk y = 0, maka x = 10. Diperoleh titik (10, 0)
Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan x + y ≤ 10.

Gambar yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 10. Untuk mengecek/menyelidiki kebenarannya sebgai berikut.
Daerah yang diarsir memuat (0,0). Jika (0,0) kita substitusikan ke x + y ≤ 10 akan diperoleh
0 + 0 ≤ 10. Hal ini sebuah pernyataan yang benar.

Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.
Jawaban:
Langkah pertama kita membuat persamaan 2x + 3y = 18 (persamaan garis lurus)
Membuat dua titik bantu.
Untuk x = 0, maka y = 6. Diperoleh titik (0, 6)
Untuk y = 0, maka x = 9. Diperoleh titik (9, 0)
Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.

Perlu diketahui,titik (0,0) tidak memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18, karena 2(0) + 3(0) ≥ 18 sebuah pernyataan yang salah. Jadi, daerah yang memuat (0, 0) tidak diarsir.

Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2x + 3y ≥ 18.

2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Kita tahu bahwa pada materi yang lalu dibahas sistem persamaan linear dua variabel. Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear dua variabel adalah gabungan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel yang variabel-variabelnya saling berkaitan (variabelnya sama). Dengan demikian dari sistem pertidaksamaan tersebut diperoleh penyelesaian dari kedua atau lebih pertidaksamaan itu.
Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear dua veriabel.
ax + by ≤ c
px + qy ≤ r
Tanda ketidaksamaan dapat meliputi ≤, ≥, <, >.

Perhatikan contoh sistem pertidaksamaan dan penyelesaiannya berikut.
Contoh 1
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.

x + y ≤10
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0,
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (10, 0) dan (0,10).
Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (12, 0) dan (0,8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan di atas. sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

Contoh 2
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≥ 8
5x + 3y ≥ 30
x ≥ 0,
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 8 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (8, 0) dan (0,8).
Persamaan 5x + 3y = 30 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (6, 0) dan (0,10).
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan di atas sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

Contoh 3
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≤ 12
2x + 5y ≥ 40
x ≥ 0,
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 12 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (12, 0) dan (0,12).
Persamaan 2x + 5y = 40 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (20, 0) dan (0, 8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan x + y ≤ 12 sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 12.
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan 2x + 5y ≥ 40 sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 5y ≥ 40.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

Demikian penjelasan tentang Pertidaksamaan dan Sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Berikutnya akan dibahas tentang progam linear di segmen berikutnya sebagai materi terkait dari materi ini.