Aritmetika Sosial (Bagian 3): Menyelesaikan Masalah Hitung Perbankan dan Koperasi

Menentukan tabungan awal, tabungan akhir, lama menabung, persentase bunga, dan besar angsuran

Dalam dunia perbankan tidak lepas dari dunia keuangan, terutama hal-hal yang berkaitan dengan tabungan, pinjam-meminjam, angsuran, dan persentase bunga. Dalam aritmetika sosial ini akan membahas tentang dunia perbankan dan koperasi.

Perlu diketahui bahwa hal-hal yang akan dibahas ini antara lain sebagai berikut.

1. Menentukan besarnya tabungan/simpanan setelah beberapa waktu dengan tabungan awal, bunga bank, dan lamanya simpanan diketahui.
2. Menentukan besarnya tabungan awal apabila simpanan akhir, bunga bank, serta waktu/lama simpanan diketahui.
3. Menentukan waktu lama menabung/menyimpan uang di bank apabila diketahui tabungan awal, tabungan akhir, dan bunga bank.
4. Menentukan persentase bunga bank apabila diketahui besarnya tabungan awal, simpanan akhir dalam waktu tertentu.
5. Menentukan besarnya angsuran setiap bulan apabila diketahui besarnya pinjaman, bunga pinjaman bank, dan lama waktu angsuran.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 1

Firda menabung di bank sebesar Rp6.000.000,00. Bank tersebut memberikan suku bunga 4% per tahun. Berapakah uang Firda di bank setelah 1,5 tahun?

Jawaban: 

Jumlah tabungan Ita

= setoran mula-mula + bunga

= M₀ + n/12 x b% x M₀

= 6.000.000 + 18/12 x 4% x 6.000.000

= 6.000.000 + 18/12  x 4% x 6.000.000

= 6.000.000 + 360.000

= 6.360.000

Jadi, jumlah uang Firda di bank setelah 1,5 tahun adalah Rp6.360.000,00.

Contoh 2

Sebuah bank menerapkan suku bunga tunggal sebesar 8% per tahun. Setelah 2,5 tahun, tabungan Arif di bank tersebut menjadi Rp5.400.000,00. Tentukan tabungan awal Arif.

Jawaban:

Tabungan akhir = tabungan awal + bunga

        Besar bunga  =  n x bunga x M

             5.400.000  = M + 2,5 x 8% x M

             5.400.000  = M + 0,2 M

             5.400.000  = 1,20M

                            M  = 5.400.000 : 1,20

                            M  = 4.500.000

Jadi, tabungan awal Arif adalah Rp4.500.000,00

Contoh 3

Bagas menabung di sebuah bank dengan suku bunga 9% pertahun. Setelah delapan bulan tabungannya berjumlah Rp636.000,00. Berapakah tabungan awal Bagas?

Jawaban:

Tabungan akhir = tabungan awal + bunga

              636.000   = tabungan awal + (9% x 8/12 x tabungan awal)

              636.000   = tabungan awal + (9% x tabungan awal)

              636.000   = 106% x tabungan awal

tabungan awal   = 100/106 x 636.000

tabungan awal   = 600.000,00

Jadi, tabungan awal Bagas adalah Rp600.000,00

Contoh 4

Satria menyimpan uang sebesar Rp600.000,00 dengan suku bunga 4% setahun (bunga tunggal). Jika ia mendapatkan bunga Rp36.000,00, tentukan lama Satria menabung.

Jawaban:

Bunga = p% x n/12 x M

            36.000     = 4% x n/12 x 600.000

            36.000     = 4 x n x 500

              9.000     = 500n

                     n     = 9.000 : 500

                     n     = 18

Jadi, satria menabung selama 18 bulan.

Contoh 5

Bu Eni menabung di bank sebesar Rp4.000.000,00. Bank memberikan bunga tunggal 4% per tahun. Setelah beberapa waktu tabungan Bu Eni menjadi Rp4.360.000,00. Berapa lama Bu Eni menabung di bank tersebut?

Jawaban:

Besar bunga = 4.360.000 – 4.000.000 =  360.000

    Bunga   = p% x n/12 x M

   360.000 = 4% x n/12 x 4.000.000

             36 = 4% x n/12 x 400

             36 = 16n/12

            36 = 4n/3

              n = 3 x 36/4

              n = 27

Jadi, lama Bu Eni menabung adalah 27 bulan.

Contoh 6

Rio menabung di bank sebesar Rp5.000.000,00 . Setelah 8 bulan tabungannya menjadi

Rp5.500.000,00. Tentukan persentase bunga bank per tahun.

Jawaban:

Bunga bank = 5.500.000 – 5.000.000 = 500.000

Bunga = b x n/12 x M

         500.000     = b x 8/12 x 5.000.000

         500.000     = b x 2/3 x 5.000.000

                      1     = b x 2/3 x 10

                      b     = 3/20

                      b     = 15/100 = 15%

Jadi, persentase bunga bank per tahun adalah 15%.

Contoh 7

Bu Ratna meminjam uang di koperasi sebesar Rp5.000.000,00 dan diangsur selama 12 bulan dengan bunga 1,5% per bulan. Tentukan besar angsuran (A) setiap bulan yang harus dibayarkan Bu Ratna.

Jawaban:

Misalkan total pinjaman adalah T

T   = pinjaman + bunga

     = 5.000.000 + 12 x 1,5% x 5.000.000

     = 5.000.000 + 900.000

     = 5.900.000

Angsuran setiap bulan

A  =  T : 12

     =  5.900.000 : 12

     = 491.666,67

Jadi, besar angsuran yang harus dibayarkan Bu Ratna setiap bulan sebesar Rp491.666,67.

Contoh 8

Pak Rizal meminjam uang di bank sebesar Rp12.000.000,00 dan akan diangsur selama 3 tahun. Jika bank tersebut memberikan bunga pinjaman 15% per tahun, tentukan besar angsuran setiap bulan.

Jawaban:

Jumlah uang yang harus diangsur selama 3 tahun atau 36 bulan

T   = pinjaman + bunga

     = 12.000.000 + 3 x 15% x 12.000.000

     = 12.000.000 + 5.400.000,00

     = 17.400.000

Besar angsuran =  17.400.000 : 36 = 483.333,33.

Jadi, besar angsuran yang dibayarkan pak Rizal setiap bulan sebesar Rp483.333,33.

Contoh 9

Bu Ratih meminjam uang di koperasi sebesar Rp2.000.000,00 dengan persentase bunga 8% per tahun. Pinjaman tersebut akan dikembalikan selama setahun dengan mengangsur setiap bulan. Tentukan besar angsuran per bulan.

Jawaban:

Misalkan P = besar pinjaman + bunga selama setahun

P  = 2.000.000 + 8% x 2.000.000

     = 2.000.000 + 160.000

     = 2.160.000

Besar angsuran selama setahun (12 kali)

A = P : 12

   =  2.160.000 : 12

   = 180.000

Jadi, besar angsuran setiap bulan sebesar Rp180.000,00.

Demikianlah sedikit materi dan konsep tentang hitun perbankan dan koperasi.

Semoga bermanfaat

Logaritma, Operasi Hitung Logaritma dan Persamaan Logaritma

Konsep Logaritma

Logaritma merupakan bentuk kebalikan dari pangkat. Jika 3² = 9 maka ³log 9 = 2. Jika bentuk 2⁵ = 32 maka ²log 32 = 5. Dari contoh diatas kitadapat mengetahui hal-hal berikut.

Jika 3ⁿ = 9 maka nilai n = 2 dan Jika 2^m = 32 maka nilai m = 5.

Nah, bagaimana jika terdapat bentuk seperti ini.

Jika 5^m = 12, tentukan nilai m

Jika 3ⁿ = 10, tentukan nilai n.

Ternyata tidak ada bilangan bulat pengganti m dan n pada permasalahan di atas bukan?

Untuk menyelesaikannya, maka digunakan konsep logaritma.

Dari kedua soal di atas, maka diperoleh nilai m dan n sebagai berikut.

Jika 5^m = 12, maka nilai m = ⁵log 12

Jika 3ⁿ = 10, maka nilai n = ³log 10

Dengan permasalahan inilah maka muncul materi tentang logaritma.

  a^c = b maka  ^alog b = c

Bentuk umum logarima  adalah adengan ^alog b disebut dengan basis (a > 0 dan b tidak sama dengan 0), dengan a disebut bilangan pokok, b disebut dengan numerus, dan c disebut dengan hasil logaritma. Khusus untuk logaritma dengan basis 10, basisnya tidak dituliskan, cukup dengan menggunakan log.

Contoh:

¹⁰log 25 cukup ditulis log 25

¹⁰log 120 cukup ditulis log 120

Sifat-Sifat Logaritma

     Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, berlaku:

^plog a = n maka pⁿ = a

dengan a > 0, p > 0, dan p ¹ 1

Sifat-sifat logaritma

1.  ^alog b = log b / log a

2.  ^alog a = 1

3.  ^plog a · ^alog q = ^plog q

5.  ^plog  (ab) = ^plog  a + ^plog  b        

6.  ^plog  (a/b) = ^plog  a – ^plog  b

7.  ^alog aⁿ = n                       

8.  ^plog a 1 = 0

9.  ^plog aⁿ = n · ^plog a

10.  ^pnlog a^m = m/n · ^plog a

11. ^plog a = ^pnlog  aⁿ

12.  p ^{plog a} = a          

Selanjutnya mari melakukan operasi hitung tantang logaritma berikut ini.

Contoh 1

Tentukan hasil dari:

a.  ²log 16

b.  ³log 81

c.   ⁵log 625

d.  ²log 0,125

e.  ⁵log 0,0016

Jawaban:

a.  ²log 16 = ²log 2⁴ = 4 ²log 2 = 4

b.  ³log 81 = ³log 3⁴ = 4 ³log 3 = 4

c.   ⁵log 625 = ⁵log 5³ = 3 ⁵log 5 = 3

d.  ²log 0,125 = ²log (1/8) =  ²log 2^-3 = -3 ²log 2 = -3

e.  ⁵log 0,0016 = ⁵log (1/625) = ⁵log 5⁴ = 4 ⁵log 5 = 4

Contoh 2

Tentukan hasil dari:

a.  ²log 20 – ²log 5

b.  ³log 12 + ³log 45 – ³log 20    

c.   ⁵log 30 + ⁵log 75 –  ⁵log 18  

d.  ²log 3 . ³log 60 + ²log 24 – ²log 15 

e.  ⁵log 75 + ⁵log 4. ⁴log 20 – ⁵log 12 

Jawaban:

a.  ²log 20 – ²log 5 = ²log (20/5)

                   = ²log 4 = ²log 2² = 2 . ²log 2 = 2

b.  ³log 12 + ³log 45 – ³log 20 = ³log (12 x 45 / 20)

                                    = ³log 27 = ³log 3³ = 3 ³log 3 = 3

c.   ⁵log 30 + ⁵log 75 –  ⁵log 18 = ⁵log (30 x 75 / 18)

                                     = ⁵log 125 = ⁵log 5³ = 3 ⁵log 5 = 3    

d.  ²log 3 . ³log 60 + ²log 24 – ²log 15 

    = ²log 60 + ²log 24 – ²log 45

    = ²log (60 x 24 / 45)

    = ²log 32 = ²log 2⁵ = 5 ²log 2 = 5

e.  ⁵log 75 + ⁵log 4. ⁴log 20 – ⁵log 12

   = ⁵log 75 + ⁵log 20 – ⁵log 12

   = ⁵log (75 x 20 / 12)

   = ⁵log 125

   = ⁵log 5³ = 3 ⁵log 5 = 3

Contoh 3

Diketahui ²log 3 = a, ²log 5 = b, ²log 7 = c. Tentukan hasil dari:

a.  ²log 30

b.  ²log 70

c.   ³log 18

d.  ³log 120

e.  ⁵log 180

Jawaban:

Dari keterangan di atas diperoleh nilai yang lain sebagai berikut.

²log 3 = a, maka ³log 2 = 1/a

²log 5 = b, maka ⁵log 2 = 1/b

²log 7 = c, maka ⁷log 2 = 1/c

³log 5 = b/a

⁵log 7 = c/b

³log 7 = c/a

a.  ²log 30 = ²log (2 x 3 x 5)

                 = ²log 2 + ²log 3 + ²log 5

                 = 1 + a + b

b.  ²log 70 = ²log (2 x 5 x 7)

                  = ²log 2 + ²log 5 + ²log 7

                  = 1 + b + c

c.   ³log 18 = ³log (2 x 3 x 3)

                  = ³log 2 + ³log 3 + ³log 3

                 = 1/a  + 1 + 1

                 = 2 + 1/a

d.  ³log 120 = ³log (2³ x 3 x 5)

                  = ³log 2³ + ³log 3 + ³log 5

                  = 3 ³log 2 + 1 + (²log 5 / ²log 3)

                  = 3 1/a + 1 + b/a

                  = 3/a + 1 + b/a

                  = 1/a (3 + a + b)

e.  ⁵log 180 = ⁵log ( 2² x 3² x 5)

                    = ⁵log 2² + ⁵log 3² + ⁵log 5

                   = 2 ⁵log 2 + 2 ⁵log 3 + ⁵log 5

                   = 2 . 1/b + 2 . a/b + 1

                   = 2/b + 2a/b + 1

Persamaan Logaritma

Jika kita mempunyai fungsi f(x) sedemikian hingga dalam logaritma mempunyai numerus suatu fungsi f(x) maka persamaan logaritma dapat dituliskan sebagai berikut.

  ^alog f(x) = c

dengan a > 0 dan f(x) > 0

Beberapa sifat logaritma yang digunakanuntuk menyelesaikan persamaan logaritma.

1.    Jika ^alog f(x) = ^alog c, maka f(x) = c

2.    Jika ^alog f(x) = ^alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan f(x)>0 dan g(x)>0

Perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 4

Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.

a.  ²log (2x + 3) = ²log 9

b.  ³log (x² + 3x - 2) = ³log 8

c.   ²log (5x - 2) = 4

d.  ³log (x² + x - 3) = 2

Jawaban:

a.  ²log (2x + 3) = ²log 9

              2x + 3 = 9

                    2x = 9 – 3

                   2x = 6

                    x = 3

b.  ³log (x² + 3x – 2) = ³log 8

               x² + 3x – 2 = 8

            x² + 3x – 10 = 0

          (x – 2)(x + 5) = 0

            x = 2 atau x = -5

c.   ²log (5x – 2) = 4

²log (5x – 4) = ²log 4²

²log (5x – 4) = ²log 16

         5x – 4 = 16

               5x = 16 + 4

               5x = 20

                 x = 20/5 = 4

d.  ³log (x² + x – 3) = 2

    ³log (x² + x – 3) = ³log 3^{2 
    3}log (x² + x – 3) = ³log 9

               x² + x – 3 = 9

            x² + x – 12 = 0

         (x + 4)(x – 3) = 0

       x = –4 atau x = 3

Contoh 5

Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.

a.  ²log (2x + 3) = ²log (x + 5)

b.  ³log (x² – 3x - 2) = ³log (2x – 4)

c.   ⁵log (2x² + 6x - 5) = ⁵log (x² + x + 1)

Jawaban:

a.  ²log (2x + 3) = ²log (x + 5)

   2x + 3 = x + 5

   2x – x = 5 – 3

         x  = 2

Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = 2 pada kedua fungsi.

f(x) = 2x + 3, maka f(2) = 2(2) + 3 = 7 > 0 (terpenuhi)

g(x) = x + 5, maka g(2) = 2 + 5 = 7 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2

b.  ³log (x² – 3x + 2) = ³log (2x + 8)

             x² – 3x + 2 = 2x + 8

             x² – 5x – 6 = 0

         (x + 1)(x – 6) = 0

         x = -1 atau x = 6

Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -1 dan x = 6 pada kedua fungsi.

Untuk x = -1

f(x) = x² – 3x + 2, maka f(-1) = (-1)² – 3(-1) + 2 = 6 > 0 (terpenuhi)

g(x) = 2x + 8, maka g(-1) = 2(-1) + 8 = 6 > 0 (terpenuhi)

Untuk x = 6

f(x) = x² – 3x + 2, maka f(6) = (6)² – 3(6) + 2 = 20 > 0 (terpenuhi)

g(x) = 2x + 8, maka g(6) = 2(6) + 8 = 20 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -1 atau x = 6.

c.   ⁵log (2x² + 6x - 5) = ⁵log (x² + x + 1)

              2x² + 6x - 5 = x² + x + 1

               x² + 5x - 6 = 0

           (x + 6)(x - 1) = 0

           x = -6 atau x = 1

Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -6 atau x = 1 pada kedua fungsi.

Untuk x = -6

f(x) = 2x² + 6x - 5, maka f(-6) = 2(-6)² + 6(-6) – 5 = 31 > 0 (terpenuhi)

g(x) = x² + x + 1, maka g(-6) = (-6)² + (-6) + 1 = 31 > 0 (terpenuhi)

Untuk x = 1

f(x) = 2x² + 6x - 5, maka f(1) = 2(1)² + 6(1) – 5 = 3 > 0 (terpenuhi)

g(x) = x² + x + 1, maka g(1) = 1² + 1 + 1 = 3 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -6 atau x = 1.

Demikianlah sedikit penjelasan tentang logaritma dan penyelesaian persamaan logaritma.

Semoga bermanfaat.