Menyelesaikan Masalah Akar-AKar Persamaan Kuadrat Berkaitan dengan Nilai Diskriminan

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan Kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a tidak sama dengan 0.

Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

1.      Memfaktorkan,

       ax² + bx + c = 0 diubah menjadi  (ax + p)(ax + q)/a, dengan p + q = b dan pq = ac. Sehinga diperoleh x₁ = -p/2 dan x₂ =-q/2 .

2.      Melengkapkan kuadrat, bentuk persamaan kuadrat diubah ke bentuk (x + p)² = q.

3.      Menggunakan rumus abc.

      

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar dari persamaan Kuadrat  ax² + bx + c = 0 mempunyai berbagai jenis dipandang dari nilai Diskriminan (D = b² – 4ac).

(i)  D > 0, mempunyai akar real.
(ii) D = 0, mempunyai akar kembar real.
(iii) D < 0, tidak mempunyai akar real.

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 maka diperoleh:

Jika x₁ + x₂ = -b/a dan  x₁ x₂ = c/a.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Misalkan x₁ dan x₂ merupakan akar-akar  persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Jika p dan q merupakan akar-akar yang baru dalam x₁ dan x₂, persamaan kuadrat yang baru adalah x² - (p + q)x + pq = 0.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

1. Jika p dan q merupakan akar-akar  persamaan kuadrat x² + 5x + 8 = 0. Tentukan nilai dari pq² + p²q.
Jawaban:
Persamaan kuadrat x² + 5x + 8 = 0, mempunyai a = 1, b = 5 dan c = 8. Persamaan tersebut mempunyai akar-akar p dan q. Sehingga diperoleh:
p + q = -b/a = -5/1 = 5
pq = c/a = 8/1 = 8
Dengan demikian:
pq² + p²q = pq (q + p)
               = (8)(5)
               = 40
Jadi, nilai pq² + p²q = 40. 

2. Jika p dan q merupakan akar-akar  persamaan kuadrat x² - 3x + 6 = 0. Tentukan nilai dari 2p² + 2q².
Jawaban:
Persamaan kuadrat x² - 3x + 6 = 0, mempunyai a = 1, b = -3 dan c = 6. Persamaan tersebut mempunyai akar-akar p dan q. Sehingga diperoleh:
p + q = -b/a = -(-3)/1 =3
pq = c/a = 6/1 =6
Dengan demikian:
2p² + 2q² = 2{(p + q)² - 2pq}
               = 2{(3²) - 2(6)}
               = 2{9 - 12}
               = 2(-3)
               =-6

Jadi, nilai 2p² + 2q² = -6.

3. Jika persamaan kuadrat 2x² - 8x + 2m + 1= 0 mempunyai akar-akar kembar,Tentukan nilai m.
Jawaban:

Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar kembar adalah nilai diskriminan sama dengan 0  (D = 0).
b² - 4ac = 0
8² - 4. 2. (2m + 1) = 0
        64 - 16m - 8 = 0
                   16m = 56
                       m = 7/2 
Jadi, nilai m = 7/2.

4. Jika persamaan kuadrat x² - px + 3p - 8 = 0 mempunyai akar-akar real dan berlainan,tentukan nilai batas-batas nilai p.
Jawaban:

Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar real dan berlainan adalah nilai diskriminan lebih dari 0(D > 0).
b² - 4ac > 0
p² - 4. 1. (3p - 8) > 0
        p² - 12p + 32 > 0
        (p - 4)(p - 8) > 0
        p < 4 atau p > 8
Jadi, batasan nilai p adalah p < 4 atau p > 8.

5. Jika persamaan kuadrat x² - 5x + 12 = 0 mempunyai akar-akar p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar 2p + 1)dan (2q + 1)
Jawaban:

Persamaan kuadrat x² - 5x + 12 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = -5 dan c = 12.
Akar-akar persamaannya p dan q.
p + q = -b/a = -(-5)/1 = 5
pq = c/a = 12/1 = 12 
Menentukan persamaan kuadrat yang mempunyai akar (2p + 1)  dn (2q + 1)
(2p + 1)  + (2q + 1) = 2(p + q) + 2= 2(5) + 2 = 12
(2p + 1)(2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 
                         = 4pq + 2(p + q) + 1 

                         = 4(12) + 2(5) + 1 
                         = 48 + 10 + 1
                         = 59
 Persamaan kuadrat baru:
x² -((2p+1)+(2q+1))x + (2p+1)(2q+1) = 0  
 x² - 12x + 59 = 0
 Jadi, persamaan kudrat baru adalah x² - 12x + 59 = 0.