Program Linear (2) : Nilai Optimum Pada Permasalahan Program Linear

Dalam kesempatan ini akan dilanjutkan materi tentang program linear.
Dalam kesempatan ini akan dibahas sampai tuntas tentang permasalahan-permassalahan program linear.
Adapun yang akan dibahas di sini antara lain tentang menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel, Memodelkan sistem pertiddaksamaan linear dua variabel dari permasalahan sehari-hari, dan menentukan penyelesaiaannya.

 

A. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif dari Daerah Penyelesaian SPtLDV


Dalam menentukan nilai optimum dari fungsi objektif, biasanya beberapa hal yang diketahui dalan soal adalah berupa grafik penyelesaian atau bentuk/model sistem pertidaksamaan linear dua variabelnya. Kita disuruh menentukan nilai optimum dari fungsi objektif yang diketahui.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh 1.
Perhatikan grafik dan daerah penyelesaian dari SPLDV berikut.

 

Tentuan nilai maksimum Z = 2x + 5y dari daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) pada gambar di atas.

Jawaban:

Berdasarkan gambar di atas diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.

   3x + 2y  ≤ 24       . . . (1)

   x + 2y  ≤ 12         . . . (2)

     x ≥ 0, y ≥ 0

Menentukan koordinat titik B (titik potong kedua grafik).

3x + 2y  = 24

   x + 2y  = 12

----------- -

         2x  = 12

         x  = 6

Substitusikan x = 6 ke dalam persamaan (2).

x + 2y = 12  maka    6 + 2y   = 12

                                        2y   = 6

                                          y   = 3

Jadi, koordinat titik B(6, 3).

Uji titik pojok

Titik Pojok	f(x, y) = 2x + 5y
A(0, 6) B(6, 3) C(8, 0)	2 · 0 + 5 · 6 = 30 2 · 6 + 5 · 3 = 27 2 · 8 + 5 · 0 = 16

Jadi, nilai maksimumnya adalah 30.

 Contoh 2.

Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif F = 3x + 4y dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 36 dan x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0.

Jawaban:

 Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 36 dan x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat digambarkan sepertidi bawah ini.

 Selanjutnya, menentukan koordinat titik potong kedua garis pada grafik.

Misalkan titik potong kedua garis adalah titik B.

Dengan cara eliminasi y dari kedua persamaan garis diperoleh pengerjaan berikut.

4x + 3y  = 36

3x + 3y  = 30   __

--------------

          x  = 6

Substitusikan x = 6 ke persamaan  x + y = 10, sehingga 6 + y = 10, diperoleh   y  = 4.

Jadi, koordinat titik B(6, 4).

Untuk menentukan nillai maksimum dari fungsi objektif, kita gunakan Uji titik pojok terhadap fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y

Titik Pojok	F(x, y) = 3x + 4y
A(10, 0) B(6, 4) C(0, 9)	3 ·10 + 4 · 0 = 30 3 · 6 + 4 · 4 = 34 3 · 0 + 4 · 9 = 36 (maksimum)

Jadi, nilai maksimumnya adalah 36.

B. Menentukan atau Membuat Model Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)  dari Permasalahan Sehari-hari (Kontekstual)

Berikut ini akan kami berikan cara membuat model matematika (dalam bentuk SPLDV) dari permasalahan sehari-hari. Dalam hal ini yang menjadi kunci dalam pemodelan adalah pemisalan variabel-variabel dalam bentuk x dan y, kata-kata ketidaksamaan seperti " paling banyak", "tidak lebih", "sekurang-kurangnya" atau paling sedikit. Kata-kata tersebut dapat disimbolkan dengan tanda ketidaksamaan.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut,

Contoh 3

Seorang pengusaha kue akan memproduksi kue donat dengan biaya Rp1.250,00 per buah dan kue brownies dengan harga Rp1.500,00 per buah. Pengusaha roti tersebut mempunyai modal Rp1.500.000,00 dan mampu memproduksi 1.150 kue setiap harinya. Jika x menyatakan banyak kue donat dan y menyatakan banyak kue brownis, tentukan model matematika yang tepat dari permasalahan di atas. 

Jawaban:

Misalkan x = banyak kue 

               y = banyak kue brownis

Menentukan model matematika

(i) Dilihat dari modal dan biaya produksi (maksimal  Rp1.500.000,-)

1.250x + 1.500y   ≤ 1.500.000

              5x + 6y   ≤ 6.000

(ii) Dilihat dari kemampuan produksi (banyak roti), minimal 1.250 roti    

x + y ≥ 1.150

(iii)   x ≥ 0

(iv)   y ≥ 0

Jadi, model sistem pertidaksamaannya adalah 5x + 6y   ≤ 6.000, x + y ≥ 1.150,  x ≥ 0,  y ≥ 0.


Contoh 4

Sebuah rumah sakit memerlukan paling sedikit 15.000 unit kalori dan 12.000 unit protein setiap harinya. Setiap 1 kg daging sapi mengandung 500 unit kalori dan 300 unit protein. Sedangkan setiap 1 kg ikan segar mengandung 500 unit kalori dan 400 unit protein. Jika x menyatakan banyaknya daging sapi (dalam kg) dan y menyatakan banyaknya ikan segar (dalam kg), Tentukan model permasalahan di atas.

Jawaban:

Misalkan:   x = banyak daging sapi (dalam kg)

                 y = banyak ikan segar (dalam kg)

	Unit Kalori	Unit Protein
Daging sapi (x) Ikan segar (y)	500x 300y	300x 400y
	15.000	12.000

Model sistem pertidaksamaan linear

(i)      Dilihat dari unit kalori yang dibituhkan

         500x + 300y   ≥ 15.000

                 5x + 3y   ≥ 150

(ii)    Dilihat dari unit protein yang dibuthkan

          300x + 400y   ≥ 12.000

                 3x + 4y   ≥ 120

(iii)   x ≥ 0

(iv)   y ≥ 0

Jadi, model sistem pertidaksamaannya adalah  5x + 3y   ≥ 150,  3x + 4y   ≥ 120, x ≥ 0, y ≥ 0.

C. Menyelesaikan Permasalahan Sehari-hari (Kontekstual)  Menggunakan Konsep Program Linear
Pada Bagian terakhir pada materi program linear kali ini adalah menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan program linear. Penyelesaian masalah keseharian ini merupakan gabungan dari beberapa materi yang sudah dijelaskan dari awal. 

Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linear (menentukan nilai optimum) yang berkaitan keseharian.

1. Tentukan model matematika

2. Buat dalam bentuk grafik untuk melihat daerah penyelesaian

3. Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian

4. Tentukan nilai pojok-pojok tersebut

5. Tentukan nilai optimumnya (maksimum / minimum)

Lebih jelasnya perhatikan contoh permasalahan berikut.

Contoh 5

Pak Dahlan akan menambah dagangan helmnya. Dengan keterbatasan tempat, helm jenis A dan jenis B tidak melebihi 50 helm. Harga pembelian helm jenis A Rp120.000,00 dan harga helm jenis B Rp90.000,00. Dari penjualan helm-helm tersebut diperoleh keuntungan Rp30.000,00 untuk setiap helm jenis A dan Rp25.000,00 untuk setiap helm jenis B. Jika model pedagang tersebut Rp5.400.000,00, Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Jawaban:

Misalkan:   x = banyak helm jenis A

                 y = banyak helm jenis B

Model sistem pertidaksamaan

x + y ≤ 50  . . . (1)

120.000x + 90.000y  ≤ 5.400.000

           4x + 3y           ≤ 180   . . . (2)

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 25.000y

Grafik sistem pertidaksamaan

 

Menentukan titik potong B.

  x + y = 50          × 4  4x + 4y   = 200

4x + 3y = 180    × 1  4x + 3y   = 180

                               ---------------------- -

                                              y      = 20

Substitusikan y = 20 ke dalam persamaan (1)

x + 20 = 50  atau  x = 50 – 20

                             x = 30

Diperoleh titik B(30, 20)

Uji titik pojok

	f(x, y) = 30.000x + 25.000y
(0, 50) (30, 20) (45, 0)	30.000 × 0 + 25.000 × 50 = 1.250.000 30.000 × 30 + 25.000 × 20 = 1.400.000 30.000 × 45 + 25.000 × 0 = 1.350.000

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Pak Dahlan sebesar Rp1.400.000,00.

Progam Linear (1) : Pertidaksamaan dan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang program linear. Program linear merupakan materi matematika yang mempelajari tentang penyelesaian penyelesaian dari sistem persamaan linear untuk menentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian dari fungsi objektif yang diberikan.

Sebelum mempelajari program linear lebih lanjut, mari mempelajari dasar-dasar program linear dari akar permasalahan. Program linear mencakupbeberapa konsep materi dasar seperti, persamaan linear, sistem pertidaksamaan linear, dan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Selanjutnya, mari mempelajari tentang pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

A. Pertidaksamaan dan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Jika  x dan y merupakan variabel,a,b,dan c merupakan bilangan/konstanta, pertidiksamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut: ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, dan ax + by ≥ c.
Contoh bentuk pertidaksamaan linear dua variabel.
1. 2x + 3y < 6
2. 3x + 4y > 12
3. x + y ≤ 10
4. 5x - 2y ≥ 20

Pertidaksamaan-Pertidaksamaan linear dua variabel mempunyai penyelesaian yang berupa daerah penyelesaian. Daerah penyelessaian ini merupakan titik-titik (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Perlu diperhatikan:
Dalam materi ini, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang DIARSIR.
walaupun di buku/pengajar lain justru sebaliknya. Hal ini tidak mengapa, yang jelas kita mengerti daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang ditandai dengan kesepakatan ditempat siswa belajar.

Daerah penyelesaian ini dapat digambarkan seperti berikut.
Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Jawaban:
Langkah pertama kita membuat persamaan x + y = 10 (persamaan garis lurus)
Membuat dua titik bantu.
Untuk x = 0, maka y = 10. Diperoleh titik (0, 10)
Untuk y = 0, maka x = 10. Diperoleh titik (10, 0)
Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan x + y ≤ 10.

Gambar yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 10. Untuk mengecek/menyelidiki kebenarannya sebgai berikut.
Daerah yang diarsir memuat (0,0). Jika (0,0) kita substitusikan ke x + y ≤ 10 akan diperoleh
0 + 0 ≤ 10. Hal ini sebuah pernyataan yang benar.



Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.
Jawaban:
Langkah pertama kita membuat persamaan 2x + 3y = 18 (persamaan garis lurus)
Membuat dua titik bantu.
Untuk x = 0, maka y = 6. Diperoleh titik (0, 6)
Untuk y = 0, maka x = 9. Diperoleh titik (9, 0)
Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.

 Perlu diketahui,titik (0,0) tidak memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18, karena 2(0) + 3(0) ≥ 18 sebuah pernyataan yang salah. Jadi, daerah yang memuat (0, 0) tidak diarsir.

 Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2x + 3y ≥ 18.


 2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

 Kita tahu bahwa pada materi yang lalu dibahas sistem persamaan linear dua variabel. Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear dua variabel adalah gabungan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel yang variabel-variabelnya saling berkaitan (variabelnya sama). Dengan demikian dari sistem pertidaksamaan tersebut diperoleh penyelesaian dari kedua atau lebih pertidaksamaan itu.
Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear dua veriabel.
ax + by ≤ c
px + qy ≤ r
Tanda ketidaksamaan dapat meliputi ≤, ≥, <, >.

Perhatikan contoh sistem pertidaksamaan dan penyelesaiannya berikut.
Contoh 1
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.

x + y ≤10
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0, 
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (10, 0) dan (0,10).
Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (12, 0) dan (0,8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan di atas. sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

 
Contoh 2
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≥ 8
5x + 3y ≥ 30
x ≥ 0, 
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 8 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (8, 0) dan (0,8).
Persamaan 5x + 3y = 30 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (6, 0) dan (0,10).
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan di atas sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

Contoh 3
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≤ 12
2x + 5y ≥ 40
x ≥ 0, 
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 12 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (12, 0) dan (0,12).
Persamaan 2x + 5y = 40 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (20, 0) dan (0, 8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan x + y ≤ 12 sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 12.
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan 2x + 5y ≥ 40 sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 5y ≥ 40.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

 

 Demikian penjelasan tentang Pertidaksamaan dan Sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Berikutnya akan dibahas tentang progam linear di segmen berikutnya sebagai materi terkait dari materi ini.

 

 

Kunjungi Link di bawah ini.
Program Linear Untuk Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan (2)