Melakukan Operasi Hitung Bilangan Berpangkat Rasional

Dalam kesempatan  ini kita akan  belajar cara melakukan operasi hitung berpangkat rasional. Apa maksudnya berpangkat rasional utu? Berpangkat rasional dapat diartikan sebagai bilangan yang memiliki pangkat bentuk pecahan.

contoh:

Bilangan di atas memiliki pangkat berupa bilangan pecahan. Kita tahu bahwa suatu billangan pangkat bulat positif dapat diartikan sebagai perkalian berulang sebanyak nilai pangkatnya. Nah, bagaimana cara menyelesaikan bentuk soal tersebut?

Caranya adalah mengubah bilangan pokok menjadi bilangan berpangkat, lalu disederhanakan.

Coba kita simak penyelesaian berikut.

 

Kalau dicermati secara seksama, sebenarnya sangat mudah menyelesaikan bilangan berpangkat rasional.

Selanjutnya mari melakukan operasi hitung bilangan berpangkat rasional, lalu menentukan sifat-sifatnya.

Perhatikan operasi berikut.

 

 

Demikianlah sedikit penjelasan tentang pengerjaan hitung bilangan berpangkat rasional.

Semoga bermanfaat.

 

Menentukan Pola Angka pada Bilangan Berdigit Banyak

Setelah mempelajari pola di atas, mari mempelajari tentang pola barisan angka-angka. Pola barisan angka-angka dapat dikatakan sebagai deretan angka-angka yang memiliki pola tertentu.

Misalnya:

1.   2345234523452345. . . .

2.   11223311223311223311 . . .  .

3.   987651234987651234987651234 . . . .

Barisan angka-angka di atas membentuk pola.

Coba kita simak bilangan-bilangan diatas.

1. Bilangan 2345234523452345. . . .

Jika dicermati barisan angka-angka di atas terjadi pengulangan di setiap setelah 4 digit.

Lebih jelasnya dapat ditulis: 2345 2345 2345 2345 . . .

Keterangan

Angka digit ke 1 sama dengan angka pada digit ke-5,9,13,17, dan seterusnya.

Angka digit ke 2 sama dengan angka pada digit ke-6,10,14,18, dan seterusnya.

Angka digit ke 3 sama dengan angka pada digit ke-7,11, 15,19, dan seterusnya.

Angka digit ke 4 sama dengan angka pada digit ke-8,12, 16, 20, dan seterusnya.

Secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut.

Angka digit ke-p sama dengan Angka pada digit ke-(4n + p), n = 1, 2, 3, ...

2. Bilangan 11223311223311223311. . . .

Jika dicermati barisan angka-angka di atas terjadi pengulangan di setiap setelah 6 digit.

Lebih jelasnya dapat ditulis: 112233 112233 112233 112233 . . .

Keterangan

Angka digit ke 1 sama dengan angka pada digit ke-7,13,19, 25, dan seterusnya.

Angka digit ke 2 sama dengan angka pada digit ke-8,14, 20, 26, dan seterusnya.

Angka digit ke 3 sama dengan angka pada digit ke-9,15, 21, 27, dan seterusnya.

Angka digit ke 4 sama dengan angka pada digit ke-10,16, 22, 28, dan seterusnya.

Angka digit ke 5 sama dengan angka pada digit ke-11,17, 23, 29, dan seterusnya.

Angka digit ke 6 sama dengan angka pada digit ke-12,18, 24, 30, dan seterusnya.

Secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut.

Angka digit ke-p sama dengan Angka pada digit ke-(6n + p), n = 1, 2, 3, ...

3. Bilangan 987651234987651234987651234. . . .

Jika dicermati barisan angka-angka di atas terjadi pengulangan di setiap setelah 9 digit.

Lebih jelasnya dapat ditulis: 987651234 9876512349 87651234 . . . .

Keterangan

Angka digit ke 1 sama dengan angka pada digit ke-10, 19, 28, 37, dan seterusnya.

Angka digit ke 2 sama dengan angka pada digit ke-11, 20, 29, 38, dan seterusnya.

Angka digit ke 3 sama dengan angka pada digit ke-12, 21, 30, 39, dan seterusnya.

Angka digit ke 4 sama dengan angka pada digit ke-13, 22, 31, 40, dan seterusnya.

Angka digit ke 5 sama dengan angka pada digit ke-14, 23, 32, 41, dan seterusnya.

Angka digit ke 6 sama dengan angka pada digit ke-15, 24, 33, 42, dan seterusnya.

Angka digit ke 7 sama dengan angka pada digit ke-16, 25, 34, 43, dan seterusnya.

Angka digit ke 8 sama dengan angka pada digit ke-17, 26, 35, 44, dan seterusnya.

Angka digit ke 9 sama dengan angka pada digit ke-18, 27, 36, 45, dan seterusnya.

Secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut.

Angka digit ke-p sama dengan Angka pada digit ke-(9n + p), n = 1, 2, 3, ..

Nah, sekarang kita coba menentukan pola secara umum dari barisan angka-angka yang berpola.

Coba cermati ketiga pola di atas.

(1) Jika pada barisan angka-angka terjadi pengulangan setiap 4 digit, maka

Angka digit ke-p sama dengan Angka pada digit ke-(4n + p), n = 1, 2, 3, ...

(2) Jika pada barisan angka-angka terjadi pengulangan setiap 6 digit, maka

Angka digit ke-p sama dengan Angka pada digit ke-(6n + p), n = 1, 2, 3, ...

(3) Jika pada barisan angka-angka terjadi pengulangan setiap 9 digit, maka

Angka digit ke-p sama dengan Angka pada digit ke-(9n + p), n = 1, 2, 3, ...

Dari ketiga bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa:

Jika terdapat barisan angka-angka yang memiliki pola pengulangan setiap k digit, maka angka digit ke-p sama dengan angka pada digit ke-(kn + p), n = 1, 2, 3, ...

Lebih jelasnya perhatikan beberapa problem solving berikut.

Permasalahan 1

Perhatikan bilangan 18265182651826518265...

Tentukan angka pada digit ke-123 dan ke-564

Jawab:

Pada bilangan pada soal dapat dibuat seperti berikut.

18265 18265 18265 18265... (pengulangan setiap 5 digit)

Digit ke-1 = 1

Digit ke-2 = 8

Digit ke-3 = 2

Digit ke-4 = 6

Digit ke-5 = 5

Ingat:

123 = (5 x 24) + 3

Artinya digit ke-123 sama dengan digit ke-3.

Jadi, angka pada digit ke-123 adalah 2.

564 = (5 x 112) + 4

Artinya digit ke-564 sama dengan digit ke-4.

Jadi, angka pada digit ke-564 adalah 4.

Permasalahan 2

Perhatikan bilangan 18,2379540237954023795402379540...

Tentukan angka pada digit ke-200 dan ke-525

Jawab:

Pada bilangan pada soal dapat dibuat seperti berikut.

18, 2379540 2379540 2379540 2379540... (pengulangan khusus pada desimal pecahan setiap 7 digit)

Pada digit bilangan bulat ada 2 agka (2 digit)

Coba cermati pada desimal pecahannya.

Digit ke-1 = 2

Digit ke-2 = 3

Digit ke-3 = 7

Digit ke-4 = 9

Digit ke-5 = 5

Digit ke-6 = 4

Digit ke-7 = 0

Ingat:

Dalam menentukan digit ke-200, sama artinya dengan menentukan digit ke-198 (200 – 2) pada angka-angka desimal yang menempati di belakang koma. Dua digit bilangan bulat (bilangan 18) tidak ikut pengulangan

198 = (7 x 28) + 2

Artinya digit ke-198 desimalnya sama dengan digit ke-2.

Angka pada digit ke-198 desimalnya adalah 3.

Jadi, angka yang ke-200 adalah 3.

Dalam menentukan digit ke-525, sama artinya dengan menentukan digit ke-523 (525 – 2) pada angka-angka desimal yang menempati di belakang koma. Dua digit bilangan bulat (bilangan 18) tidak ikut pengulangan

523 = (7 x 74) + 5

Artinya digit ke-523 desimalnya sama dengan digit ke-5.

Angka pada digit ke-523 desimalnya adalah 5.

Jadi, angka yang ke-525 adalah 5.

Demikian sekilas materi tentang pola barisan angka-angka.

Semoga bermanfaat.

Menentukan Pola Bilangan dan Menentukan Angka Berikutnya

Kali ini kita akan membahas  tentang pola bilangan. Pola bilangan merupakan pelajaran di kelas 8 yang menggunakan kurikulu 2013 terbaru.

Nah, pola bilangan yang kita bahas kali ini adalah barisan bilangan yang mempunyai pola tertentu. Sehingga memiliki rumus bentuk maupun urutan angka-angka yang sudah terpola.

Contoh:

1.       1, 3, 5, 7, 9, . . .  . ( pola bilangan ganjil)

2.       200, 190,180, 170, . . .   (pola bilangan kelipatan 10 menurun dari 200)

3.       2, 6, 18, 54, . . . .  (pola bilangan dikalikan 3 dengan bilangan sebelumnya)

4.       2, 4, 10, 11, 18, 18, . . . (Suku ganjil ditambah 8, suku genap ditambah 7)

5.       -11, -7, -6, -12, -1, -17, 4, . . . . (Suku ganjil ditambah 5, suku genap dikurang 5)

Dari pola-pola bilangan di atas dan setelah menentukan rumus polanya, maka kita akan mudahmenentukan bilangan berikutnya. Pada prinsipnya kita harus jeli menentukan pola tersebut. Perhatikan hubungan antar bilangan yang berdekatan atau hubungan antara bilangan suku genap atau suku ganjil.

Perlu dicermati pula temukan operasi hitung yang sesuai antara bilangan tersebut sehingga berlaku pada bilangan-bilangan di barisan itu.

Perhatikan contoh permasalahan berikut.

Permasalahan 1

Isilah dua bilangan berikut sehingga membentuk pola bilangan yang benar.

1.   4, 10, . . . , . . ., 28, 34, 40

2.   101, 95, . . ., . . ., 77, 71, 65

3.   7, 13, 11, . . ., . . ., 21, 19, 25, 23, 29

4.   3.645, 1.215, . . ., . . ., 45, 15, 5

Penyelesaian

1.  Cermati pola bilangan 4, 10, . . . , . . ., 28, 34, 40.

Pada suku pertama dan kedua memiliki hubungan bahwa suku kedua merupakan suku pertama di tambah 6.

Pada suku terakhir merupakan suku sebelumnya ditambah 6.

Dengan demikian dipastikan bahwa pola barisan itu adalah penambahan 6 pada berikutnya.

Jadi, pola bilangannya adalah 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40

2.  Cermati pola bilangan 101, 95, . . ., . . . , 77, 71, 65.

Pada suku pertama dan kedua memiliki hubungan bahwa suku kedua merupakan suku pertama di kurangi 6.

Pada suku terakhir merupakan suku sebelumnya dikurangi 6.

Dengan demikian dipastikan bahwapola barisan itu adalah pengurangan 6 pada berikutnya.

Jadi, pola bilangannya adalah 101, 95, 89, 83, 77, 71, 65.

3.  Cermati pola bilangan 7, 13, 11, . . ., . . ., 21, 19, 25, 23, 29.

Pada suku pertama dan kedua memiliki hubungan bahwa suku kedua merupakan suku pertama ditambah 6. Namun suku berikutnya dikurangi 2 (tidak berpola).

Coba perhatikan suku ganjil dan suku genap.

Suku ganjil : 7, 11, . . ., 19, 23  (pola ditambah 4)

Suku genap : 13, . . . , 21, 25, 29 (pola ditambah 4)

Dengan demikian dipastikan bahwa pola barisan itu adalah setiap suku genap ditambah 4 dan suku ganjil ditambah 4. Dimulai dari suku pertamadan suku kedua.

Jadi, pola bilangannya adalah 7, 13, 11, 17, 15, 21, 19, 25, 23, 29.

4.  Cermati pola bilangan 3.645, 1.215, . . ., . . ., 45, 15, 5.

Pada suku pertama dan kedua memiliki hubungan bahwa suku kedua merupakan suku pertama dibagi 3.

Pada suku terakhir merupakan suku sebelumnya dibagi 3.

Dengan demikian dipastikan bahwa pola barisan itu adalah pembagian dengan 3 pada berikutnya.

Jadi, pola bilangannya adalah 3.645, 1.215, 405, 135, 45, 15, 5.

Permasalahan 2

Tentukan dua bilangan berikutnya.

1.   2, 3, 4, 6, 6, 12, 8, ..., ...

2.   3, 6, 11, 18, 27, ..., ...

3.   81, 80, 27, 40, 9, ..., ...

4.   1, 3, 4, 9, 9, 27, 16, ..., ...

Penyelesaian

1.  Cermati pola bilangan 2, 3, 4, 6, 6, 12, 8, ..., ....

Pada suku ganjil : ditambah dengan 2

Pada suku genap : dikali dengan 2.

Jadi, pola bilangannya adalah 2, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 24, 10.

2.  Cermati pola bilangan 3, 6, 11, 18, 27, ..., ...

Hubungan setiap suku adalah:

Suku ke-1 = 1² + 2 = 3

Suku ke-2 = 2² + 2 = 6

Suku ke-3 = 3² + 2 = 11

Suku ke-4 = 4² + 2 = 18

Suku ke-5 = 5² + 2 = 27

Sehingga suku berikutnya adalah:

Suku ke-6 = 6² + 2 = 38

Suku ke-7 = 7² + 2 = 51

Jadi, pola bilangannya adalah 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51.

3.  Cermati pola bilangan 81, 80, 27, 40, 9, ..., ...

Pada suku ganjil : dibagi 3

Sehingga : 81, 27, 9, 3

Pada suku genap : dibagi 2.

Sehingga : 80, 40, 20

Jadi, pola bilangannya adalah 81, 80, 27, 40, 9, 20, 3.

4.  Cermati pola bilangan 1, 3, 4, 9, 9, 27, 16, ..., ...

Pada suku ganjil : dikuadratkan

Sehingga : 1, 4, 9, 16, 25

Pada suku genap : dikalikan 3.

Sehingga : 3, 9, 27, 81

Jadi, pola bilangannya adalah 1, 3, 4, 9, 9, 27, 16, 81, 25.

Demikianlah sekilas materi tentang pola bilangan dan cara menentukan polanya.

Semoga bermanfaat.