SOAL STANDAR UJIAN SEKOLAH DAN UJIAN NASIONAL (UN) SMA_Akar-Akar Persamaan Kuadrat

  

Pada artikel kali ini akan membahas mengenai contoh soal tentang persamaan kuadrat dan pembahasannya.

Persamaan kuadrat dan akar-akar persamaan merupakan soal-soal yang sering keluar dalam ujian sekolah dan ujian nasional, atau dalam istilah sekarang adalah soal asesmen akhir jenjang. Soal-soal ujian sekolah dan ujian nasional sekarang ini  makin berkembang dan semakin bervariasi. Selain itu tingkat kesulitan dinaikkan lebih tinggi levelnya. Walaupun demikian, para siswa tidak perlu takut dan khawatir.

Kali ini akan kami berikan beberapa contoh soal standar ujian sekolah dan ujian nasional Matematika tentang persamaan kuadrat dan akar-akar persamaan kuadrat.

 

Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal persamaan kuadrat dan akar-akarnya lengkap dengan pembahasan dan jawabannya:

 

Soal 1

Perhatikan persamaan kuadrat berikut

x² + 4x – 32 = 0

Jika x₁ merupakan bilangan positif dan x₂ merupakan bilangan negatif, nilai 2x₁ + x₂ adalah ....

A.    12

B.    10

C.    2

D.   0

E.   -2

 

Pembahasan: D

Mula-mula, kamu harus memfaktorkan persamaan kuadrat pada soal

x² + 4x – 32 = 0

⇔ (x + 8)(x – 4)=0

⇔ x = -8 atau x = 4

Di soal tertulis bahwa x₁ merupakan bilangan positif dan x₂ merupakan bilangan negatif. Artinya, x₁ = 4 dan x₂ = -8. Dengan demikian, 2x₁ + x₂ = 2(4) + (-8) = 0

Jadi, nilai 2x₁ + x₂ adalah 0.

 

Soal 2

Persamaan kuadrat x² + 6x – 15 = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Nilai dari p² + q² adalah ....

A.    -30

B.    -6

C.    6

D.   36

E.   66

 

Pembahasan: E

x² + 6x – 15 = 0 mempunyai akar-akar p dan q.

Pada x² + 6x – 15 = 0 memiliki nilai a = 1, b = 6 dan c = -15.

p + q = -b/a = -6/1 = -6

pq = c/a = -15/1 = -15

p² + q² = (p + q)² - 2pq

           = (-6)² - 2(-15)

           = 36 - (-30)

           = 36 + 30

           = 66

Jadi, nilai p² + q² adalah 66.

 

Soal 3

Persamaan kuadrat 2x² - 2(p - 4)x + p = 0 mempunyai akar-akar kembar. Nilai dari 2p + 1 adalah ....

A.    5

B.    7

C.    12

D.   16

E.   18

 

Pembahasan: A

2x² - 2(p - 4)x + p = 0 mempunyai akar-akar kembar.

Syarat persamaan ax² + bx + c = 0 memiliki akar kembar adalah D = b² - 4ac = 0.

Pada 2x² - 2(p - 4)x + p = 0 memiliki nilai a = 2, b = -2(p - 4) dan c = p.

b² - 4ac = 0

 (-2(p - 4))² - 4(2)(p) = 0

  (-2p + 8)² - 4(2)(p) = 0

  4p² - 32p + 64 - 8p = 0

        4p² - 40p + 64 = 0

          p² - 10p + 16 = 0

           (p - 2)(p - 8) = 0

          p = 2 atau p = 8

Menentukan nilai 2p + 1

untuk p = 2 , 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5

untuk p = 2 , 2(8) + 1 = 16 + 1 = 17

Jadi, jawaban yang benar pilihan A.

 

Soal 4

Amir berencana membeli sebidang lahan yang luasnya 80 m². Oleh karena suatu hal, si pemilik tanah tidak memberitahu Amir ukuran panjang dan lebarnya. Namun, ia hanya memberi tahu jumlah panjang dan lebarnya, yaitu 21 m. Pernyataan yang benar adalah . . . .

A.   Panjang lahan adalah 12 meter.

B.   Lebar lahan adalah 10 meter.

C.   Keliling lahan adalah 48 meter.

D.   Selisih panjang dan lebar lahan adalah 11 meter.

E.   Selisih panjang dan lebar lahan adalah 12 meter.

Pembahasan: D

 

Misalkan, pada persegi panjang ukuran panjang disimbolkan p dan lebar l.

p + l = 21 m ⇔ l = 21 – p   … (1)

Luas = p × l = 80    … (2)

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2)

p × l = 80

p × (21 – p) = 80

21p - p² = 80

21p - p² - 80 = 0

-p² + 21p - 80 = 0

p² - 21p + 80 = 0

(p - 5)(p - 16) = 0

p = 5 atau p = 16

ukuran panjang harus lebih panjang dari lebarnya.

maka: p = 16 dan l = 5

Menentukan Keliling

K  = 2x (p + l)

   = 2 x (16 + 5)

   = 2 x 21

   = 42 m

Jadi, keliling lahan adalah 42 meter dan selisih panjang dan lebarnya adalah 11 meter.

 

Soal 5

Persamaan kuadrat x² – 7x + 12 = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar 2p + 3 dan 2q + 3 adalah ....

A.    x² + 24x + 99 = 0

B.    x² + 20x + 99 = 0

C.    x² – 20x + 99 = 0

D.    x² – 24x + 98 = 0

E.    x² – 24x – 99 = 0

 

Pembahasan: C

x² – 7x + 12 = 0 mempunyai akar-akar p dan q.

Pada x² – 7x + 12 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -7 dan c = 12.

p + q = -b/a = -(-7/1) = 7

pq = c/a = 12/1 = 12

Persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar 2p + 3 dan 2q + 3:

x² – [(2p + 3)+(2q + 3)]x + (2p + 3)(2q + 3) = 0

Menentukan nilai (2p + 3)+(2q + 3)

(2p + 3)+(2q + 3) = 2p + 2q + 6

                           = 2(p + q) + 6

                           = 2(7) + 6

                           = 14 + 6

                           = 20

Menentukan nilai (2p + 3)(2q + 3)

(2p + 3)(2q + 3)   = 4pq + 6p + 6q + 9

                           = 4pq + 6(p + q) + 9

                           = 4(12) + 6(7) + 9

                           = 48 + 42 + 9

                           = 99

Jadi, persamaan kuadrat baru: x² – 20x + 99 = 0

 

Demikianlah materi tentang soal standar ujian sekolah dan ujian nasional tentang persamaan kuadrat dan akar-akar persamaan kuadrat.

Semoga bermanfaat.