Fungsi dan Komposisi Fungsi

Komposisi Fungsi adalah proses atau operasi yang menggabungkan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi. Kita mendefinisikan fungsi sebagai serangkaian operasi yang beroperasi pada serangkaian nilai dan memberikan keluaran yang diinginkan. Misalkan f adalah fungsi, katakanlah fungsi yang menggambar sketsa buah yang namanya kita masukkan, di sini, nama yang kita berikan adalah nilai masukan dan sketsa buah adalah nilai keluaran. Demikian pula, bayangkan fungsi lain g yang mewarnai sketsa yang diberikan.

 

Sekarang komposisi fungsi mengambil dua fungsi dan menjadikannya satu fungsi, kita mendefinisikan fungsi ini sebagai g[f(nama buah)].

Dalam hal ini : f(nama buah) adalah fungsi pertama

                     g(sketsa buah) adalah fungsi kedua

                     g[f(nama buah)] adalah komposisi kedua fungsi ini

Mari pelajari tentang Komposisi Fungsi, perhitungannya, domain, dan rentangnya secara terperinci dalam artikel ini.

 

Apa itu Komposisi Fungsi?

Komposisi fungsi adalah pembuatan atau pembentukan fungsi kompleks menggunakan fungsi sederhana. Misalkan kita mengambil dua fungsi f(x) dan g(x) yang keduanya mengambil x sebagai nilai input dan memberikan output spesifik, maka komposisi fungsi f(x) dan g(x) ketika f(x) pertama kali dihitung adalah g(f(x)) atau (g∘f)(x). Jika g(x) pertama kali dihitung, maka komposisinya f(x) dan g(x) adalah f(g(x)). Kita dapat memahami konsep ini dengan contoh berikut,

 

Contoh:

Diketahui f(x) = 4x dan g(x) = 2x + 3. Tentukan komposisi g(f(x)) dan f(g(x)).

Jawab:

g(f(x)) = 2f(x) + 3

          = 2(4x) + 3

          = 8x + 3

Jadi, g(f(x)) = 8x + 3

 

f(g(x)) = 4g(x)

           = 4(2x + 3)

           = 8x + 12

Jadi, f(g(x)) = 8x + 12

 

Nah, beda hasilnya ‘kan?

 Perhatikan bahwa g(f(x)) tidak sama dengan f(g(x)), keduanya bisa atau tidak bisa sama tergantung pada fungsi f(x) dan g(x). Komposisi suatu fungsi juga disebut fungsi dari suatu fungsi. Jadi, kita dapat mengatakan bahwa,

 Untuk f(g(x)) dapat dimaknai g(x) adalah input dari fungsi f(x).

Untuk g(f(x)) dapat dimaknai f(x) adalah input dari fungsi g(x).

Kita dapat memahami konsep ini dengan bantuan gambar di bawah ini. 

Simbol Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi direpresentasikan menggunakan simbol ∘. Kita juga dapat merepresentasikan komposisi fungsi hanya dengan menggunakan tanda kurung (). Untuk dua fungsi yang diberikan f(x) dan g(x) kita dapat menemukan komposisi fungsi dengan menggunakan rumus berikut.

 

(f∘g)(x) = f(g(x))

 

Fungsi di atas dibaca sebagai “f dari g dari x”. Di sini, pertama x diteruskan ke g(x) yang memberikan jawaban dalam x, lalu jawaban diteruskan ke f(x) untuk menemukan komposisi fungsi yang diinginkan.

 

(g∘f)(x) = g(f(x))

 

Fungsi di atas dibaca sebagai “g dari f dari x”. Di sini, pertama x diteruskan ke f(x) yang memberikan jawaban dalam x , lalu jawaban diteruskan ke g(x) untuk menemukan komposisi fungsi yang diinginkan.

 

Contoh:

Jika f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 4x² cari, f(g(x)) dan g(f(x)).

Jawaban:

f(g(x)) = 3g(x)+ 2

           = 3(4x²) + 2

           = 12x² + 12

Jadi, f(g(x)) = 12x + 12

 

g(f(x)) = 4(f(x)²)

          = 4(3x + 2)²

          = 4(9x² + 12x + 4)

=36x² + 48x + 16

Jadi, g(f(x)) = 36x² + 48x + 16

 

Demikianlah materi sekilas fungsi dan komposisi fungsi yang kami sampaikan.

Semoga Bermanfaat.

Barisan Dan Deret Geometri

 Deret geometri adalah jenis deret khusus. Deret ini adalah deret yang setiap sukunya (kecuali suku pertama) dikalikan dengan bilangan konstan untuk mendapatkan suku berikutnya. Yaitu, untuk mendapatkan suku berikutnya dalam deret geometri, kita harus mengalikannya dengan bilangan yang tetap (dikenal sebagai rasio), dan untuk menemukan suku sebelumnya dalam deret tersebut, kita hanya perlu membagi suku tersebut dengan rasio yang sama.

Berikut ini adalah contoh deret geometri:

 3, 6, 12, 24, 48, ...... memiliki rasio 2.

 2, 6, 18, 54, 162, ...... memiliki rasio 3.

 

Rasio persekutuan deret geometri dapat berupa negatif atau positif tetapi tidak boleh 0. Di sini, kita mempelajari rumus deret geometri berikut:

Suku ke-n deret geometri

Rumus rekursif deret geometri

Jumlah deret geometri berhingga

Jumlah deret geometri tak terhingga

Deret geometri dapat berhingga atau tak terhingga. Di sini kita akan mempelajari lebih lanjut tentang masing-masing rumus deret geometri yang disebutkan di atas beserta bukti dan contohnya.

 

Apa itu Deret Geometri?

Deret geometri adalah jenis deret khusus yang rasio setiap dua suku yang berurutan adalah konstanta. Rasio ini dikenal sebagai rasio umum deret geometri. Dengan kata lain, dalam deret geometri, setiap suku dikalikan dengan konstanta yang menghasilkan suku berikutnya. Jadi, deret geometri berbentuk:

a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, … ,  di mana 'a' adalah suku pertama dan 'r' adalah rasio.

Rasio umum dapat berupa angka positif atau negatif.

Ada dua jenis deret geometri berdasarkan jumlah suku di dalamnya yaitu Deret geometri berhingga dan deret geometri tak hingga.

 

Deret Geometri Berhingga

Deret geometri berhingga adalah deret geometri yang memuat suku-suku berhingga. Yaitu, suku terakhirnya didefinisikan.

Misalnya 2, 6, 18, 54, ...., 1.458 adalah deret geometri berhingga yang suku terakhirnya adalah 1.458.

 

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang memuat suku-suku tak hingga jumlahnya. Yaitu, suku terakhirnya tidak terdefinisi (tidak terbatas).

Misalnya: 2, −4, 8, −16, ... adalah deret tak hingga yang suku terakhirnya tidak terdefinisi (tidak tahu angka terakhir).

 

Rumus Deret Geometri

Berikut adalah daftar semua rumus deret geometri.

Untuk deret geometri apapun : a, ar, ar², ar³, ...

Suku ke-n, U_n = ar^{n - 1}

Jumlah n suku pertama, 

BAHAS SOAL SKPD TIU CPNS _ MATEMATIKA DASAR (Soal Cerita)

 Berikut ini akan kita bahas beberapa contoh soal tes CPNS Matematika Dasar yang modelnya sering keluar. Soal Tes SKPD TIU CPNS Matematika Dasar ini sebenarnya soal yang pernah diajarkan di SMP.

Yuk, kita bahas beberapa soal ini, semoga Anda bisa mengerjakan soal pada saat menjalani test yang sesungguhnya.

 

Soal 1.

Sebuah barang dibeli dengan mendapat untung 15 persen. Jika untung yang diperoleh sebesar Rp21.000,00 maka harga jual barang tersebut adalah...

A. Rp161.000,00

B. Rp160.000,00

C. Rp155.000,00

D. Rp151.000,00

E. Rp140.000,00

 

Jawaban: A

Tips:

Jika barang yang dijual untung 15%, berarti persentase harga jualnya 100% + 15% = 115%.

Sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut.

Kalau 15% senilai Rp21.000,00

Kalau 115% senilai berapa? (yang ditanyakan (Hj))

Cara hitung:

Soal 2.

Perbandingan uang Mawar dan Melati adalah 3 : 7. Jika uang Melati Rp210.000,00 maka berapakah selisih uang keduanya?

A. Rp90.000,00

B. Rp190.000,00

C. Rp120.000,00

D. Rp130.000,00

E. Rp150.000,00

 

Jawaban: C

Tips:

Nilai pembanding Mawar = 3

Nilai pembanding Melati = 7, adapun uangnya Rp210.000,00

Selisih pembanding = 7 – 3 = 4, berapa nilai uangnya?

Cara hitung:

Soal 3.

Pada awal tahun 2014, sebuah supermarket menjual pakaian dengan diskon besar-besaran. Ayah membeli kemeja dengan mendapat diskon 10 persen dari harga awal dan diskon tambahan 30 persen dari harga kemeja setelah didiskon 10 persen. Jika Ayah membayar dengan harga Rp126.000,00 harga kemeja tersebut sebelum ada diskon adalah...

A. Rp175.000,00

B. Rp176.400,00

C. Rp180.000,00

D. Rp200.000,00

E. Rp315.000,00

Jawaban: D

Tips:

Jika ada persentase diskon, maka pikirkan persentase yang harus dibayar.

Misal: jika barang didiskon 25%, maka yang kita pikirkan membayar 75%.

jika barang didiskon 20%, maka yang kita pikirkan membayar 80%.

Paham Yaaa....

Fokus pada soal.

Kemeja didiskon (1) sebesar 10%, berarti membayar 90%.

Kemudian didiskon (2) sebesar 30%, berarti membayar 70%.

Jadi setelah didiskon sebanyak dua kali maka, membayar sebesar = 90% x 70%.

 

Cara hitung:

Diketahu harga setelah didiskon Rp126.000,00

Ingat rumus ini:

Persentase membayar x Harga jual Mula-mula = Harga yang dibayar

Berarti:

Demikian Tiga contoh Soal Cerita yang sering keluar dalam tes SKD TIU CPNS.

Masih banyak tipe soal yang lain yang bisa untuk latihan.

Semoga bermanfaat.

MAU BUKU UNTUK LATIHAN?

SILAKAN BELI DISINI

atau di sini

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi naik dan turun adalah fungsi dalam kalkulus yang nilai f(x) bertambah dan berkurang masing-masing seiring bertambahnya nilai x. Turunan fungsi f(x) digunakan untuk memeriksa perilaku fungsi naik dan turun. Fungsi dikatakan naik jika nilai f(x) bertambah seiring bertambahnya nilai x dan fungsi dikatakan turun jika nilai f(x) turun seiring bertambahnya nilai x.

 

Pada artikel kali ini, kita akan mempelajari konsep fungsi naik dan turun, sifat-sifatnya, representasi grafis, dan teorema untuk menguji fungsi naik dan turun beserta contohnya untuk pemahaman yang lebih baik.

 

Apa yang dimaksud dengan Fungsi Naik dan Fungsi Turun?

Fungsi naik dan turun adalah fungsi yang grafiknya masing-masing bergerak ke atas dan ke bawah jika kita bergerak ke arah sisi kanan sumbu x. Fungsi naik dan turun disebut juga fungsi tidak naik dan fungsi tidak naik. Mari kita lihat definisi formal fungsi naik dan turun untuk memahami maknanya:

 

Definisi Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi Naik - Suatu fungsi f(x) dikatakan naik pada interval I jika untuk dua bilangan x dan y di I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) ≤ f(y).

Fungsi Turun - Suatu fungsi f(x) dikatakan turun pada interval I jika untuk dua bilangan x dan y pada I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) ≥ f(y).

Fungsi Monoton Naik - Suatu fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk dua bilangan x dan y di I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) < f(y).

Fungsi Monoton Turun - Suatu fungsi f(x) dikatakan monoton turun pada interval I jika untuk dua bilangan x dan y di I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) > f(y).

 

Representasi Grafis dari Fungsi Naik dan Turun

Setelah kita mengetahui pengertian dan definisi fungsi naik dan turun, mari kita lihat representasi grafis fungsi naik dan turun yang akan membantu kita memahami perilaku fungsi tersebut.

  

Grafik di atas menunjukkan representasi grafis dari fungsi naik tajam, turun tajam, naik dan turun. Seperti yang dapat kita lihat pada grafik di atas, fungsi yang naik berisi interval yang naik secara ketat dan interval di mana fungsinya konstan. Demikian pula, fungsi Turun terdiri dari interval di mana fungsinya Turun tajam dan fungsinya konstan.

 

Aturan untuk Memeriksa Fungsi Naik dan Turun

Kita menggunakan turunan suatu fungsi untuk memeriksa apakah fungsi tersebut naik atau turun. Misalkan suatu fungsi f(x) terdiferensialkan pada interval terbuka I, maka kita punya

 

Jika f'(x) ≥ 0 pada I, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi naik pada I.

Jika f'(x) ≤ 0 pada I, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi Turun pada I.

Contoh: Mari kita perhatikan sebuah contoh untuk memahami konsep dengan lebih baik. Pertimbangkan f(x) = x³ yang didefinisikan untuk semua bilangan real. Turunan dari f(x) = x³ diberikan oleh f'(x) = 3x². Kita tahu bahwa kuadrat suatu bilangan selalu lebih besar atau sama dengan 0, oleh karena itu kita mempunyai f'(x) = 3x² ≥ 0 untuk semua x. Jadi f(x) = x³ merupakan fungsi naik.

 

Sifat-sifat Fungsi Naik dan Turun

Karena kita sudah mengetahui cara memeriksa apakah suatu fungsi naik atau turun, mari kita bahas sifat-sifat aljabar fungsi naik dan turun:

 

Jika fungsi f dan g merupakan fungsi naik pada interval terbuka I, maka jumlah fungsi f + g juga naik pada interval tersebut.

Jika fungsi f dan g merupakan fungsi turun pada interval terbuka I, maka jumlah fungsi f + g juga Turun pada interval tersebut.

Jika fungsi f merupakan fungsi naik pada interval terbuka I, maka fungsi kebalikannya -f Turun pada interval tersebut.

Jika fungsi f merupakan fungsi turun pada interval terbuka I, maka fungsi kebalikannya -f naik pada interval tersebut.

Jika fungsi f merupakan fungsi naik pada interval terbuka I, maka invers fungsi 1/f turun pada interval tersebut.

Jika fungsi f merupakan fungsi Turun pada interval terbuka I, maka invers fungsi 1/f naik pada interval tersebut.

Jika fungsi f dan g merupakan fungsi naik pada interval terbuka I dan fg ≥ 0 pada I, maka hasil kali fungsi fg juga naik pada interval tersebut.

Jika fungsi f dan g merupakan fungsi Turun pada interval terbuka I dan fg ≥ 0 pada I, maka hasil kali fungsi fg juga Turun pada interval tersebut.

 

Catatan Penting tentang Fungsi Naik dan Turun

Turunan pertama suatu fungsi digunakan untuk memeriksa fungsi naik dan turun.

Fungsi naik dan turun disebut juga fungsi tidak turun dan fungsi tidak naik.

  

Contoh 1: Tentukan interval di mana f(x) = xe^-x bertambah dengan menggunakan aturan fungsi naik dan turun.

 

Penyelesaian: Untuk menentukan interval kenaikan f(x), mari kita cari turunan dari f(x).

 

f(x) = xe^-x

f'(x) = e^-x - xe^-x

       = e^-x(1 - x)

 

Untuk menentukan titik kritis, samakan f'(x) dengan 0, yaitu,

e^-x(1 - x) = 0 ⇒ x = 1 [Karena fungsi eksponensial tidak bisa sama dengan 0]

Untuk x < 1, (1 - x) > 0 ⇒ e^-x (1 - x) > 0 [karena eksponensial selalu positif]

Untuk x > 1, (1 - x) < 0 ⇒ e^-x (1 - x) < 0 [karena eksponensial selalu positif]

Oleh karena itu, kita mempunyai f'(x) > 0 untuk x < 1. Oleh karena itu, interval di mana f(x) = xe^-x bertambah pada (-∞, 1).

 

Jawaban: f(x) = xe^-x bertambah pada (-∞, 1)

 

 

Contoh 2: Gunakan grafik turunan fungsi f'(x) untuk menentukan interval dimana fungsi f(x) naik atau turun.

 

Penyelesaian: Kita tahu bahwa agar fungsi terdiferensiasi f(x) naik pada interval I, kita memerlukan f'(x) > 0 agar semua x di I dan atau fungsi terdiferensiasi f(x) turun pada interval I, kita perlu mempunyai f'(x) < 0 untuk semua x di I.

 

Seperti terlihat pada gambar di atas, grafik f'(x) > 0 (di atas sumbu x) pada interval (-2, 2) dan grafik f'(x) < 0 (di bawah sumbu x) ) pada interval (-∞, -2) dan (2, ∞). Oleh karena itu, fungsi f(x) naik pada (-2, 2) dan turun pada (-∞, -2) ∪ (2, ∞).

 

Jawaban: Interval dimana f(x) naik adalah (-2, 2) dan dimana f(x) turun adalah (-∞, -2) ∪ (2, ∞).

MEMPELAJARI SEPUTAR KELILING DAN LUAS LINGKARAN

Luas Lingkaran

Luas lingkaran adalah ruang yang ditempati lingkaran pada bidang dua dimensi. Alternatifnya, ruang yang ditempati di dalam batas/keliling lingkaran disebut luas lingkaran. Rumus luas lingkaran adalah L = pr^p, dimana r adalah jari-jari lingkaran. Satuan luas adalah satuan persegi, misalnya m², cm², mm², dst.

 

Rumus luas lingkaran berguna untuk mengukur luas daerah yang ditempati oleh bidang atau petak berbentuk lingkaran. Misalkan, jika Anda memiliki meja berbentuk lingkaran, maka rumus luasnya akan membantu kita mengetahui berapa banyak kain yang dibutuhkan untuk menutupi seluruhnya. Apakah lingkaran mempunyai volume? Tidak, lingkaran tidak memiliki volume. Lingkaran merupakan bangun ruang dua dimensi, tidak mempunyai volume. Lingkaran hanya mempunyai luas dan keliling. Mari kita pelajari lebih detail tentang luas lingkaran, luas permukaan, dan kelilingnya beserta contohnya.

 

Berapakah Luas Lingkaran?

Luas lingkaran adalah jumlah ruang yang berada di dalam batas lingkaran. Daerah dalam batas lingkaran adalah luas yang ditempati lingkaran. Ini juga bisa disebut sebagai jumlah total satuan persegi di dalam lingkaran itu. Luas Lingkaran : L = pr² atau L = pd²/4 dalam satuan persegi, dimana

 

(Pi) p = 22/7 atau 3,14.

r = jari-jari lingkaran

d = diameter lingkaran

Pi (p) adalah perbandingan keliling dengan diameter suatu lingkaran. Ini adalah konstanta matematika khusus.

 

Lingkaran dan Bagian Lingkaran

Mari kita mengingat kembali lingkaran dan bagian-bagiannya sebelum mempelajari luas lingkaran secara detail. Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang jaraknya tetap dari pusat lingkaran. Lingkaran adalah bangun ruang yang tertutup. Kita melihat lingkaran dalam kehidupan sehari-hari seperti roda, pizza, tanah melingkar, jam dinding, dan tutup gelas. Besaran ruang atau daerah yang berada di dalam lingkaran disebut luas lingkaran.

 

Jari-jari: Jarak dari pusat ke suatu titik pada batas disebut jari-jari lingkaran. Dilambangkan dengan huruf 'r' atau 'R'. Jari-jari memegang peranan penting dalam rumus luas dan keliling lingkaran, yang akan kita pelajari nanti.

 

Diameter: Garis yang melalui pusat dan titik ujungnya terletak pada lingkaran disebut diameter lingkaran. Dilambangkan dengan huruf 'd' atau 'D'.

 

Rumus diameter: Rumus diameter lingkaran adalah dua kali jari-jarinya. Diameter = 2 × Jari-jari atau d = 2r. Jika diameter suatu lingkaran diketahui, jari-jarinya dapat dihitung sebagai: r = d/2.

 

Keliling Lingkaran

Keliling : Keliling suatu lingkaran sama dengan panjang batasnya. Panjang tali yang melingkari sempurna batas lingkaran akan sama dengan kelilingnya. Gambar yang diberikan di bawah ini membantu Anda memvisualisasikan hal yang sama. Keliling dapat diukur dengan menggunakan rumus yang diberikan:

Keliling : K = 2pr  atau K = pd.

dimana r adalah jari-jari lingkaran dan p adalah konstanta matematika yang nilainya mendekati 3,14 atau 22/7.

Untuk lingkaran dengan jari-jari r, diameter d, dan keliling K:

p = K/2r atau p = K/d

K = 2pr

 

Rumus Luas Lingkaran

Luas lingkaran dapat dihitung dalam langkah-langkah perantara dari diameter, dan keliling lingkaran. Dari diameter dan keliling kita dapat mencari jari-jari lalu mencari luas lingkaran. Namun rumus ini memberikan metode terpendek untuk mencari luas lingkaran. Misalkan sebuah lingkaran mempunyai jari-jari 'r' maka luas lingkaran = pr² atau pd²/4 dalam satuan persegi, dimana p = 22/7 atau 3,14, dan d adalah diameternya.

 

Luas lingkaran = L = pr² satuan persegi

Keliling = K = 2pr satuan

 

Luas lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

 

Luas = p × r², dengan 'r' adalah jari-jarinya.

Luas = (p/4) × d², dengan 'd' adalah diameternya.

Luas = K²/4p, dengan 'K' adalah keliling.

 

 

Contoh penggunaan Rumus Luas Lingkaran

Mari kita perhatikan beberapa contoh penggunaan rumus luas dan keliling lingkaran.

 

Contoh 1:

Sebuah lingkaran berjari-jari 14 cm. Tentukan luas dan kelilingnya.

Jawaban:

Luas Lingkaran = pr²

                      = 22/7 × 14 × 14

                      = 22 × 2 × 14

                      = 616

Jadi, luas lingkaran 616 cm².

 

Keliling Lingkaran = 2pr

                          = 2 × 22/7 × 14

                          = 2 × 22 × 2

                          = 88

Jadi, keliling lingkaran 88 cm.

 

Contoh 2:

Sebuah lingkaran mempunyai keliling 157 cm. Tentukan luas lingkaran.

Jawaban:

Luas Lingkaran = K²/4p

                      = 157²/(4×3,14)

                      = 24.649/(12,56)

                      = 1.962,5

Jadi, luas lingkaran 1.962,5 cm².

Demikian sekilas tentang keliling dan luas lingkaran yang disampaikan.

Semoga bermanfaat.