Hai, sobat Imath. Kali ini kita akan belajar tentang
program linear. Program
linear adalah salah satu materi dalam matematika yang digunakan untuk mencari
nilai optimum, baik itu nilai maksimum maupun minimum, dari suatu permasalahan
yang melibatkan kendala-kendala tertentu. Biasanya, program linear digunakan
dalam kehidupan sehari-hari, misalnya untuk menentukan keuntungan maksimum dari
produksi barang atau penggunaan bahan baku yang paling efisien. Dalam program
linear, terdapat fungsi tujuan yang akan dioptimalkan, serta sejumlah kendala
dalam bentuk pertidaksamaan linear yang harus dipenuhi. Proses penyelesaian
program linear dapat dilakukan dengan cara menggambar daerah himpunan
penyelesaian pada bidang kartesius, kemudian menentukan titik-titik pojok yang
menjadi kandidat solusi optimum.
Salah satu bagian penting dalam program linear adalah
sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem ini terdiri atas dua atau
lebih pertidaksamaan yang melibatkan dua variabel, biasanya dinyatakan dengan
simbol-simbol seperti "<", ">", "≤", atau
"≥". Setiap pertidaksamaan membatasi suatu daerah pada bidang
kartesius, dan daerah yang memenuhi seluruh pertidaksamaan disebut daerah
himpunan penyelesaian. Untuk menggambar daerah tersebut, setiap pertidaksamaan
diubah menjadi persamaan garis, kemudian ditentukan daerah mana yang sesuai
dengan tanda pertidaksamaan. Dengan memahami sistem pertidaksamaan linear dua
variabel, siswa dapat lebih mudah menyelesaikan masalah program linear dengan
cara grafik.
Sebelum membahas tentang menyelesaikan dan menentukan nilai
optimum pada program linear, mari belajar cara memodelkan permasalahan sehari-hari
berkaitan dengan program linear.
Yuk, langsung saja kita mulai.
1. Seorang pedagang
paling sedikit menyewa 28 kendaraan untuk jenis truk dan colt, dengan jumlah
yang diangkut sebanyak 272 karung. Truk
dapat mengangkut tidak lebih dari 14 karung dan colt 8 karung. Ongkos sewa truk
Rp500.000,00 dan colt Rp300.000,00. Jika x menyatakan banyaknya truk dan y
menyatakan banyaknya colt, maka model
matematika dari permasalahan di atas adalah ...
A. x + y £ 28;
7x + 4y £ 136;
x ³ 0; y ³ 0
B. x + y ³ 28;
7x + 4y £ 136;
x ³ 0; y ³ 0
C. x + y ³ 28;
7x + 4y ³ 136;
x ³ 0; y ³ 0
D. x + y £ 28;
7x + 4y ³ 136;
x ³ 0; y ³ 0
E. x + y £ 28;
7x + 4y £ 136;
x ³ 0; y ³ 0
Jawaban: D
x =
banyaknya truk
y
= banyaknya colt,
Paling
sedikit menyewa 28 kendaraan untuk jenis truk dan colt. Dapat ditulis:
x + y £ 28
Jumlah
barang yang diangkut sebanyak 272 karung.
Dapat ditulis:
14x + 8y ³ 272, atau dapat disederhanakan menjadi:
7x + 4y ³ 136
Banyak
barang bilangan positif, x ³ 0 dan
y ³ 0.
Jadi,
model sistem pertidaksamaan adalah:
x + y £ 28; 7x + 4y ³ 136; x ³ 0; y ³ 0.
2. Anis akan membeli mangga dan apel. Jumlah buah yang
dibeli paling sedikit 12 buah. Mangga yang dibeli paling banyak 6 buah. Harga
mangga Rp2.000,00 per buah dan apel Rp4.000,00 per buah. Ia mempunyai uang
Rp20.000,00. Jika ia membeli x mangga dan y apel, maka sistem pertidaksamaan
yang sesuai adalah . . .
A. x + 2y ³ 10; x + y ³ 12; x ³ 6
B. x + 2y
£ 10; x
+ y ³ 12; x
£ 6
C. x + 2y
£ 10; x
+ y £ 12; x
³ 6
D. x + 2y
£ 10; x
+ y ³ 12; x
³ 6
E. x + 2y
³ 10; x
+ y ³ 12; x
£ 6
Jawaban: B
x =
banyak mangga
y
= banyak apel
Jumlah buah yang dibeli paling sedikit 12 buah. Dapat
ditulis:
x + y ³ 12
Jumlah
uang tersedia Rp20.000,00. Dapat ditulis:
2.000x + 4.000y £ 20.000, atau dapat disederhanakan menjadi:
x + 2y £ 10
Mangga yang dibeli paling banyak 6 buah, x £ 6.
Jadi,
model sistem pertidaksamaan adalah:
x + 2y £ 10; x + y ³ 12; x
£ 6
3. Seorang pengusaha roti akan membuat roti. Roti
jenis I membutuhkan 20 gram tepung dan 10 gram mentega, sedangkan roti jenis II
membutuhkan 15 gram tepung dan 10 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah
tepung 5 kg dan mentega 4 kg. Jika x menyatakan banyaknya roti jenis I dan y
menyatakan banyaknya jenis roti II, model matematika persoalan tersebut adalah
....
A. 4x + 3y
³ 1.000;
x + y ³ 400;
x ³ 0; y ³ 0
B. 4x + 3y
³ 1.000;
x + y £ 400;
x ³ 0; y ³ 0
C. 4x + 3y
£ 1.000;
x + y ³ 400;
x ³ 0; y ³ 0
D. 4x + 3y
£ 1.000;
x + y £ 400;
x ³ 0; y ³ 0
E. 4x + 3y
³ 1.000;
x + y ³ 400;
x £ 0; y £ 0
Jawaban: D
x = banyaknya roti jenis I
y
= banyaknya jenis roti II
Tepung yang tersedia 5 kg atau 5.000 gram. Dapat
ditulis:
20x + 15y £ 5.000,
atau disederhanakan 4x + 3y £ 1.000
Mentega yang tersedia 4 kg atau 4.000 gram. Dapat
ditulis:
10x + 10y £ 4.000, atau dapat disederhanakan x + y £ 400
Tepung dan Mentega tidak boleh negatif.
x ³ 0; y ³ 0
Jadi,
model sistem pertidaksamaan adalah:
4x + 3y £ 1.000;
x + y £ 400; x ³ 0; y ³ 0
4. Luas sebuah tempat parkir adalah 420 m2.
Tempat parkir yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah 5 m2 dan luas
rata-rata sebuah truk 15 m2. Tempat parkir tersebut dapat menampung
tidak lebih dari 60 kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah sedan Rp3.000,00 dan
untuk sebuah truk Rp5.000,00. Jika banyak sedan yang diparkir x buah dan banyak
truk y buah, model matematika dari masalah tersebut adalah ....
A. x + 3y
£ 84; x
+ y £ 60; x
³ 0; y ³ 0
B. x + 3y
³ 84; x
+ y £ 60; x
³ 0; y ³ 0
C. x + 3y
£ 84; x
+ y ³ 60; x
³ 0; y ³ 0
D. x + 3y
³ 84; x
+ y ³ 60; x
³ 0; y ³ 0
E. x + 3y £ 84; x
+ y £ 60; x
³ 0; y ³ 0
Jawaban: D
x = banyaknya sedan
y
= banyaknya truk
Luas sebuah tempat parkir adalah 420 m2. Dapat
ditulis:
5x + 15y £ 420,
atau disederhanakan x + 3y £ 84
Menampung tidak lebih dari 60 kendaraan
x + y £ 60,
Banyak kendaraan tidak boleh negatif.
x ³ 0; y ³ 0
Jadi,
model sistem pertidaksamaan adalah:
x + 3y £ 84; x + y £ 60; x
³ 0; y ³ 0
Demikian sekilas materi tentang sistem pertidaksamaan
linear dua variabel.
Semoga bermanfaat.
