Hai,
sobat Imath. Kali ini kita akan belajar tentang program linear. Program linear
adalah salah satu materi dalam matematika yang digunakan untuk mencari nilai
optimum, baik itu nilai maksimum maupun minimum, dari suatu permasalahan yang
melibatkan kendala-kendala tertentu. Biasanya, program linear digunakan dalam
kehidupan sehari-hari, misalnya untuk menentukan keuntungan maksimum dari
produksi barang atau penggunaan bahan baku yang paling efisien. Dalam program
linear, terdapat fungsi tujuan yang akan dioptimalkan, serta sejumlah kendala
dalam bentuk pertidaksamaan linear yang harus dipenuhi. Proses penyelesaian
program linear dapat dilakukan dengan cara menggambar daerah himpunan
penyelesaian pada bidang kartesius, kemudian menentukan titik-titik pojok yang
menjadi kandidat solusi optimum.
Nah, bagaimana cara
menyelesaikan soal-soal tersebut, yuk simak yang berikut ini.
Soal 1
Suatu
area parkir mempunyai luas 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil
kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung daerah
parkir maksimum 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp2.000,00/jam dan
mobil besar Rp5.000,00/jam. Jika dalam satu jam daerah parkir terisi penuh dan
tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka penghasilan maksimum tempat
parkir itu sebesar . . . .
A. Rp400.000,00
B. Rp440.000,00
C. Rp560.000,00
D. Rp580.000,00
E. Rp640.000,00
Jawaban: D
x =
banyak mobil kecil
y
= banyak mobil besar
Batasan
berdasarkan luas kendaraan dan luas lahan parkir.
4x + 20y £ 1.760
atau x + 5y £ 440
Batasan
berdasarkan daya tampung kendaraan:
x + y £ 200
Banyak
kendaraan positif, x ³ 0 dan
y ³ 0.
Jadi,
model sistem pertidaksamaan adalah:
x + 5y
£ 440; x + y £ 200;
x ³ 0; y ³ 0.
Fungsi
Kendala : F(x, y) = 2.000x + 5.000y
Selanjutnya
menggambar daerah penyelesaian.
Menentukan titik
potong kedua garis.
Eliminasi x
x
+ 5y = 440
x + y = 200
-
4y = 240
y = 60
Selanjutnya
menentukan nilai x dengan mensubstitusikan y = 60 ke salah satu persamaan.
Misalnya di sini akan disubstitusikan ke persamaan x + y = 200.
Maka diperoleh:
x + 60 = 200
x = 140
Dengan demikian
diperoleh titik potong (140, 60).
Selanjutnya menentukan
nilai maksimum dari fungsi kendala dengan cara menguji titik pojok daerah
penyelesaian.
Hasil uji titik
pojok
(x, y) F = 2.000x + 5.000y
(200,0) 2.000(200) + 5.000(0) = 400.000 +
0 = 400.000
(0, 88) 2.000(0) + 5.000(88) = 0 + 440.000 = 440.000
(140, 60) 2.000(140) + 5.000(60) = 280.000 + 300.000
= 580.000
Berdasarkan
perhitungan di atas diperoleh nilai maksimum 580.000.
Jadi, diperoleh penghasilan
maksimum dari parkir adalah Rp580.000,00.
Soal 2
Seorang perajin tas membuat dua jenis tas. Sebuah tas
jenis I memerlukan 300 cm2 kulit sintetis dan 1.000 cm2
kain kanvas, sedangkan sebuah tas jenis II memerlukan 250 cm2 kulit
sintetis dan 500 cm2 kain kanvas. Persediaan kulit sintetis dan kain
kanvas berturut-turut adalah 4.500 cm2 dan 12.000 cm2.
Perajin tas menginginkan laba dari penjualan tas jenis I dan tas jenis II
berturut-turut sebesar Rp30.000,00 dan Rp25.000,00 per buah. Jika seluruh tas
terjual, laba maksimum yang dapat diperoleh perajin tas adalah ...
A. Rp360.000,00
B. Rp435.000,00
C. Rp450.000,00
D. Rp540.000,00
E. Rp630.000,00
Jawaban: B
x =
banyak tas jenis I
y
= banyak tas jenis II
Batasan
berdasarkan bahan kulit sintetis.
300x + 250y £ 4.500
atau 6x + 5y £ 90
Batasan
berdasarkan kain kanvas:
1.000x + 500y £ 12.000
atau 2x + y £ 24
Banyak
kendaraan positif, x ³ 0 dan
y ³ 0.
Jadi,
model sistem pertidaksamaan adalah:
6x +
5y £ 90; 2x
+ y £ 24; x
³ 0; y ³ 0.
Fungsi
Kendala : F(x, y) = 30.000x + 25.000y
Selanjutnya
menggambar daerah penyelesaian.
Menentukan titik
potong kedua garis.
Eliminasi x
6x
+ 5y = 90 (x1) 6x + 5y = 90
2x + y = 24
(x3) 6x + 3y = 72 -
2y = 18
y
= 9
Selanjutnya
menentukan nilai x dengan mensubstitusikan y = 9 ke salah satu persamaan.
Misalnya di sini akan disubstitusikan ke persamaan 2x + y = 24.
Maka diperoleh:
2x + 9 = 24
2x = 15
x = 15/2
Dengan demikian
diperoleh titik potong (15/2 ; 9).
Oleh karena
nilai x (banyak tas) harus bulat maka nilai paling dekat adalah 7. Dengan
demikian untuk uji titik pojok menggunakan koordinat (7, 9)
Selanjutnya menentukan
nilai maksimum dari fungsi kendala dengan cara menguji titik pojok daerah
penyelesaian.
Hasil uji titik
pojok
(x, y) F = 30.000x + 25.000y
(12,0) 30.000(12) + 25.000(0) = 360.000 + 0 = 360.000
(0, 18) 30.000(0) + 25.000(12) = 0 + 300.000 = 300.000
(7, 9) 30.000(7)
+ 25.000(9) = 210.000 + 225.000 = 435.000
Berdasarkan
perhitungan di atas diperoleh nilai maksimum 435.000.
Jadi, laba
maksimum yang dapat diperoleh perajin tas adalah Rp435.000,00.
Demikian sekilas materi tentang cara menyelesaikan
soal cerita program linear berkaitan dengan nilai optimum.
Semoga bermanfaat.
No comments:
Post a Comment