6 March 2016

Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi (Bagian 2)

2. Permutasi dan Kombinasi

Dalam kesempatan ini akan kita pelajari tentang permutasi dan kombinasi. Yaitu materi setelah kita mempelajari tentang aturan perkalian/pencacahan.
Sebelum membahas pengertian permutasi dan kombinasi, coba simak permasalahan berikut.

Di dalam kelas ada 3 kandidat (misal Adi, Boni,dan Ciko) untuk menjadi ketua dan wakil ketua. Ada berapa kemungkinan susunan ketua dan wakil ketua yang mungkin? Dalam permasalahan ini ada 3 orang dan akan dipilih 2 orang menjadi pengurus (ketua, wakil ketua).
Kita dapat menyusun ketiga orang calon tersebut menjadi pasangan ketua dan wakil ketua sebagai berikut.
(Adi, Boni)       (Adi, Ciko)      (Boni, Adi)      (Boni, Ciko)      (Ciko, Adi)     (Ciko, Boni)
Ternyata ada 6 kemungkinan yang bisa diperoleh.
Ingat:
(Adi, Boni) beda dengan (Boni, Adi). 
Sebab Adi jadi ketua dan Boni wakilnya berbeda dengan ketika Boni jadi ketua dan Adi wakilnya.
Inilah gambaran permutasi.

Sekarang coba simak permasalahan berikut.
Sekolah mempunyai tiga anak yang yang mempunyai keahlian khusus di bidang olimpiade Matematika, yaitu Andi, Budi, dan Caca. Pihak sekolah akan memilih dua anak untuk diikutkan ke olimpiade tingkat nasional. Ada berapa cara sekolah mengirimkan perserta olimpiade Matematika?
Dari permasalahan tersebut maka dapat dibuat beberapa kemungkinan peserta.
 (Andi, Budi)       (Andi, Caca)      (Budi, Caca)
Ternyata ada 3 kemungkinan yang bisa diperoleh.
Ingat:
(Andi, Budi) sama saja dengan  (Budi, Andi), karena ini sebuah tim sebagai wakil sekolah. Dibolak-balik urutan tetep sama pesertanya.
Jadi,dalam hal ini urutan peserta tidak diperhatikan.
Inilah contoh permasalahan kombinasi

Mari membahas satu persatu.

A. Permutasi


Permutasi adalah penyusunan/pengurutan dari elemen-elemen dalam himpunan yang mana urutan-urutan elemennya diperhatikan.

Jika terdapat n unsur yang berbeda, maka banyaknya permutasi n unsur ada n faktorial.


JIka terdapat n unsur yang berbeda,maka banyaknya permutasi r unsur (r<n) dari n unsur tersebut dirumuskan dengan:



Permutasi Siklis
Permutasi siklis merupakan penyusunan objek yang disusun secara melingkar.
Jika terdapat n objek berbeda, maka banyaknya penyusunan secara melingkar dirumuskan dengan:




Permutasi dengan n objek sama
Permutasi dengan objek sama dapat digambarkan sebagai berikut. Misalnya ada kata NUSANTARA. Kata ini terdiri atas 9 digit huruf, dengan rincian 2 huruf N, 3 huruf A, dan 1 huruf untuk S, T, R, U.
Berapa banyak kata yang berbeda denga huruf-hurut tersebut?
Nah, permasalahan di atas dapat dislesaikan dengan rumus permutasi berikut.

Jika terdapat n objek, dengan ada n1, n2, n3 yang sama, maka banyaknya penyusunan adalah:


   
  Untuk memahami permasalahan permutasi, perhatikan contoh soal dan pembahasan berikut.

Contoh 1
Huruf A, B, C, D, dan E akan disusun  dengan ketentuan berikut. Tentukan banyakknya susunan huruf-huruf tersebut apabila memenuhi kondisi berikut
a. Terdiri atas 2 huruf
b. terdiri atas 3 huruf
Jawaban :
a. Permutasi 2 huruf dari 5 huruf (n = 5 dan r = 2)


Ada 20 susunan huruf berbeda. Apabila ditulis seperti berkut.
AB  AC  AD  AE  BA  BC  BD  BE  CA  CB
CD  CE  DA  DB  DC  DE  EA  EB  EC  ED  

b.   Permutasi 3 huruf dari 5 huruf (n = 5 dan r = 3)
 





Ada 60 susunan huruf berbeda. Apabila ditulis seperti berikut.
ABC  ACB  BCA  BAC  CAB  CBA
ABD  ADB  BDA  BAD  DAB  DBA
ABE  AEB   BAE  BEA  EBA  EAB
ACD  ADC  DAC  DCA  CAD  CDA
ACE  AEC  CAE  CEA  ECA  EAC
ADE  AED  DAE  DEA  EAD  EDA
BCD  BDC  CBD  CDB  DBC  DCB
BCE  BEC  CBE  CEB  ECB  EBC
BDE  BED  DEB  DBE  EBD  EDB
CDE  CED  DEC  DCE  EDC  ECD

Contoh 2
Dalam suatu rapat di sekolah, ketua OSIS mempunyai 7 nama yang akan dijadikan panitia yang terdiri atas seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa cara menentukan susunan panitia tersebut.

Jawaban :
Permasalahan tentang permutasi 4 dari 7 siswa.
Banyak cara susunan panitia :










Jadi, banyak susunan panitia yang dapat dibentuk ada 840 cara

 
Contoh 3
Sebuah keluarga yang terdiri ayah, ibu dan 4 anaknya akan berfoto keluarga. Di dalam ruangan tersedia 2 kursi untuk tempat berfoto dan lainnya berdiri di belakangnya. Tentukan banyaknya posisi berbeda apabila:
a. Semua anggota keluarga boleh  duduk di kursi (2 orang)
b. Ayah dan ibu selalu duduk di kursi

Jawaban :
Permasalahan permutasi. Banyak objek ada 6 orang. (n = 6)
Banyak kursi ada 2 ( r = 2)
a. Banyak posisi berfoto dengan semua anggota keluarga boleh duduk di kursi.
 Banyak cara posisi sebagai berikut.
Untuk yang duduk dikursi:
Cara 6 orang  duduk di 2 kursi : 6P2

Cara 4 orang berdiri di belakangnya : 4P4


Banyaknya posisi berbeda apabila semua anggota keluarga boleh  duduk di kursi










Jadi banyak posisi berfoto ada 720.

b. Banyak cara berfoto dengan syarat ayah dan ibu selalu duduk di kursi
Banyak cara posisi sebagai berikut.
Untuk yang duduk dikursi:
Cara ayah dan ibu  duduk di 2 kursi : 2P2
Cara 4 orang berdiri di belakangnya : 4P4
Banyak posisi berfoto




 


 



Jadi, banyak posisi berfoto adalah 48 cara

Contoh 4
Dalam Rapat negara-negara ASEAN terdiri atas 4 wakil Indonesia, 3 wakil Malaysia, 3 Wakil Singapura, dan 2 Wakil Brunei darussalam. Tentukan banyak posisi nereka duduk secara melingkar apabila dalam keaadaan berikut.
a. Semua wakil tersebut bebas untuk duduk
b. Wakil setiap negara selalu berkelompok dalam negaranya.

Jawaban :
Banyak wakil negara = 4 + 3 + 3 + 2 = 12
Banyak negara ada 4
 a. Banyak posisi duduk ( bebas sesuai kursi yang tersedia).
Setiap wakil negara boleh berdmpingan dengan yang lain tanpa pandang bulu.
Banyaknya posisi duduk seerti berikut (menggunakan permutasi siklis)






Jadi, banyak posisi duduk adalah 39.916.800 cara.


b. Banyak posisi duduk.
Siklis berdasarkan negara = (4 - 1)! = 3!
Banyak cara duduk wakli dari Indonesia = 4!
Banyak cara duduk wakli dari Malaysia = 3!
Banyak cara duduk wakli dari Singapura = 3!
Banyak cara duduk wakli dari Brunei Darussalam = 2!  
Dengan demikian, banyak cara posisi duduk adalah :
 







Jadi, banyak posisi duduk adalah 10.368 cara.

Contoh 5
Ada berapa kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf penyusun kata " KHATULISTIWA.
Jawaban :
Banyak digit huruf = 12
Banyak huruf A = 2
Banyak huruf T = 2
Banyak huruf I = 2
Banyak huruf  K, H, U, L,  S, W masing-masing 1.
Sehingga banyak susunan kata berbeda yang dapat dibentuk adalah :









Jadi, banyak susunan kata ada 5.040.

Untuk Mempelajari Kombinasi Klik Tautan di bawah ini.
 KOMBINASI

No comments:

Post a Comment