Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah bentuk aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi adalah 2 dan memuat tanda persamaan. Sedangkan persamaan kuadrat satu variabel adalah persamaan kuadrat yang hanya mempunyai satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas persamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat yang akan kita bahas ini adalah persamaan kuadrat berbentuk ax² + bx + c = 0, dengan a tidak sama dengan 0.

Contoh bentuk persamaan kuadrat

1. x² + 3x + 2 = 0
2. x² – 2x + 1 = 0
3. 4y² – 9 = 0
4. 3p² – 9p = 0
5. x² + 6x = 16
6. 2m² – 7m = 4
7. 3x² – 4x – 20 = 0

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan solusi atau pengganti variabel yang berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh seperti berikut.

Menentukan penyelesaian dari x² + 3x + 2 = 0.

x = 1 bukan penyelesaian, sebab 1² + 3(1) + 2 = 0 bernilai salah

x = 2 bukan penyelesaian, sebab 2² + 3(2) + 2 = 0 bernilai salah

x = -1 merupakan penyelesaian, sebab (-1)² + 3(-1) + 2 = 0 bernilai benar

x = -2 merupakan penyelesaian, sebab (-2)² + 3(-2) + 2 = 0 bernilai benar

Jadi, penyelesaian dari persamaan x² + 3x + 2 = 0 adalah x = -1 atau x = -2.

Cara menentukan penyelesaian dengan cara coba-coba memasukkan bilanganseperti di atas kurang efektif. Maka diperlukan cara lain yang lebih efektif dan efisien.

Sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat, kita tahu bahwa perkalian (px + q)(rx + s),dengan p, q, r, s suatu bilangan dan x adalah variabel akan menghasilkan bentuk aljabar kuadrat.

Dapat ditulis seperti berikut.

(x + p)(x + q) = x² + bx + c

(px + q)(rx + s) = ax² + bx + c

Dengan demikian bentuk ax² + bx + c dapat difaktorkan menjadi (px + q)(rx + s). Bentuk pemfaktoran ini akan digunakan dalam penyelesaian masalah persamaan kuadrat.

Bentuk persamaan ax² + bx + c = 0 dapat diubah menjadi bentuk (px + q)(rx + s) = 0. Dari sinilah diperoleh penyelesaian px + q = 0 atau rx + s = 0. Jadi, penyelesaian dari persamaan kuadrat  tersebut adalah x = -q/p atau x = -s/r.

Cara penyelesaian tersebut dinamakan cara menfaktorkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari x² + 5x + 4 = 0

Jawaban

x² + 5x + 4 = 0

(x – 4)(x – 1) = 0

x – 4 = 0 atau x – 1 = 0

x = 4                   x = 1

Jadi, penyelesaian dari persamaan x² + 5x + 4 = 0 adalah x = 4 atau x = 1.

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari x² – 3x – 10 = 0

Jawaban

x² – 3x – 10 = 0

(x + 2)(x – 5) = 0

x + 2 = 0 atau x – 5 = 0

x = -2                      x = 5

Jadi, penyelesaian dari persamaan x² – 3x – 10 = 0 adalah x = -2 atau x = 5.

Contoh 3

Tentukan nilai y yang memenuhi 4y² – 49 = 0

Jawaban

4y² – 49 = 0

(2y)² –7² = 0

(2y – 7)(2y + 7) = 0

2y – 7 = 0 atau 2y + 7= 0

y = 7/2                      y = -7/2

Jadi, penyelesaian dari persamaan 4y² – 49 = 0 adalah x = 7/2 atau x = -7/2

Contoh 4

Tentukan nilai m yang memenuhi 2m² – 7m – 4 = 0

Jawaban

2m² – 7m – 4 = 0

2m² – 8m + m – 4 = 0

2m(m – 4) + m – 4 = 0

(m – 4)(2m + 1) = 0

m – 4 = 0 atau 2m + 1= 0

m = 4                      m = -1/2

Jadi, penyelesaian dari persamaan 2m² – 7m – 4 = 0 adalah x = 4 atau x = -1/2

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah bentuk aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi adalah 2 dan memuat tanda pertidaksamaan. Sedangkan pertidaksamaan kuadrat satu variabel adalah pertidaksamaan kuadrat yang hanya mempunyai satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya pertidaksamaan kuadrat.

Pertidaksamaan kuadrat yang akan kita bahas ini adalah pertidaksamaan kuadrat berbentuk ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c >= 0, dan ax² + bx + c <= 0 dengan a tidak sama dengan 0.

Contoh bentuk pertifdaksamaan kuadrat

1. x² + 6x + 5 < 0

1. x² – 4x – 12 > 0

1. 9y² – 25 >= 0

1. 12p² – 9p <= 0

1. x² + 6x > 16

1. 2m² – 7m < 4

1. 3x² – 4x – 20 > 0

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat hampir sama caranya dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Hanya saja, pada penyelesaian ini ada satu langkah lagi untuk menentukan daerah penyelesaian.

Perhatikan langka-langkah penylesaian dari beberapa contoh pertidaksamaan kuadrat berikut.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari x² – 2x – 8 > 0

Jawaban

x² – 2x – 8 > 0

(x + 2)(x – 4) > 0

Menentukan pembuat nol fungsi

x + 2 = 0 atau x – 4 = 0

x = -2                      x = 4

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < -2 bernilai positif

Daerah -2 < x< 4 bernilai negatif

Daerah x > 4 bernilai positif

Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah lebih dari 0 (....> 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai positif.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x² – 2x – 8 > 0 adalah x < -2 atau x > 4.

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari x² – 7x + 10 < 0

Jawaban

x² – 7x + 10 < 0

(x – 5)(x – 2) < 0

Menentukan pembuat nol fungsi

x – 5 = 0 atau x – 2 = 0

     x = 5                x = 2

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < 2 bernilai positif

Daerah 2 < x < 5 bernilai negatif

Daerah x > 5 bernilai positif

Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah kurang dari 0 (.... < 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai negatif.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x² – 7x + 10 < 0 adalah 2 < x < 5.

Contoh 3

Tentukan penyelesaian dari 3x² – 4x – 20 <= 0

Jawaban

3x² – 4x – 20 <= 0

3x² + 6x – 10x – 20 <= 0

3x(x + 2) – 10(x + 2) <= 0

(3x – 10) (x + 2) <= 0

Menentukan pembuat nol fungsi

3x – 10 = 0 atau x + 2 = 0

          x = 10/3               x = –2

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < –2bernilai positif

Daerah –2 < x < 10/3 bernilai negatif

Daerah x > 10/3 bernilai positif

Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah kurang dari 0 (.... <= 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai negatif.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 3x² – 4x – 20 <= 0 adalah -2 < x < 10/3.