Cara Menentukan dan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Kali ini kita akan belajar cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Arti melengkapkan kuadratsempurna adalah mengubah bentuk  kuadrat biasa menjadi bentuk kuadrat yang merupakan perkalian kembar dari suku-sukunya.

Misal:

x² + 4x + 4  merupakan bentuk kuadrat sempurna karena x² + 4x + 4 = (x + 2)².

x² - 2x + 1  merupakan bentuk kuadrat sempurna karena x² – 2x + 1 = (x - 1)².

x² + 6x + 9  merupakan bentuk kuadrat sempurna karena x² + 6x + 9 = (x + 3)².

x² - 12x + 36  merupakan bentuk kuadrat sempurna karena x² - 12x + 36 = (x - 6)².

x² + 20x + 100  merupakan bentuk kuadrat sempurna karena x² + 20x + 100 = (x + 10)².

Coba cermati bentuk kuadrat diatas.

Bentuk kuadrat di ruas kiri mempunyai pola berikut.

Nah, kali ini kita akan memanfaatkan bentuk kuadrat sempurna itu dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Bagaimana cara menggunakan bentuk kuadrat sempurna di atas?

Inti dalam pemecahan masalah ini adalah mengubah salah satu sisi (ruas) pada persamaan (sebut saja sisi(ruas) kiri) menjadi bentuk kuadrat sempurna. Tentunya dengan cara membentuk persamaan yang ekuivalen. Persamaan ekuivalen dapat dibuat dengan menjumlah, mengurang, mengali atau membagi dengan bilangan yang sama pada kedua ruas.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan akar-akar dari x² + 4x – 12 = 0.

Penyelesaian

x² + 4x – 12 = 0, dapat di ubah menjadi begini

x² + 4x = 12 , selanjutnya mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna.

x² + 4x + 4 = 12 + 4, ruas kiri ditambah 4, begitu juga ruas kanan

      (x + 2)² = 16  , ruas kiri diubah menjadi bentuk pangkat

         x + 2  = ±4   , kedua ruas di akar

               x = -2 ± 4

Diperoleh

x₁ = -2 + 4 = 2  dan x₂ = -2 – 4 = -6

Jadi, akar-akarnya adalah 2 dan -6.

Contoh 2

Tentukan akar-akar dari x² - 2x – 15 = 0.

Penyelesaian

x² - 2x – 15 = 0, dapat di ubah menjadi begini

x² - 2x = 15 , selanjutnya mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna.

x² - 2x + 1 = 15 + 1, ruas kiri ditambah 1, begitu juga ruas kanan

      (x - 1)² = 16  , ruas kiri diubah menjadi bentuk pangkat

         x - 1  = ±4   , kedua ruas di akar

               x = 1 ± 4

Diperoleh

x₁ = -1 + 4 = 3  dan x₂ = -1 – 4 = -5

Jadi, akar-akarnya adalah 3 dan -5.

Contoh 3

Tentukan akar-akar dari x² + 6x + 8 = 0.

Penyelesaian

x² + 6x + 8 = 0, dapat di ubah menjadi begini

x² + 6x = -8 , selanjutnya mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna.

x² + 6x + 9 = -8 + 9, ruas kiri ditambah 9, begitu juga ruas kanan

      (x + 3)² = 1  , ruas kiri diubah menjadi bentuk pangkat

         x + 3  = ±1   , kedua ruas di akar

               x = -3 ± 1

Diperoleh

x₁ = -3 + 1 = -2  dan x₂ = -3 – 1 = -4

Jadi, akar-akarnya adalah -2 dan -4.

Contoh 4

Tentukan akar-akar dari x² - 12x + 24 = 0.

Nah, demikianlah sedikit materi tentang cara menyelesaikan persamaan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.