Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru yang Diketahui Akar-Akar Lama

Dalam kesempatan ini kita akan melanjutkan cara menentukan persamaan kuadrat baru yang berasal dari persamaan kuadrat lama yang. Jika akar-akar persamaan kuadrat lama diketahui maka persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang baru dapat diketahui pula.

Misalnya:

1.       Diketahui akar-akar persamaan kuadrat lama adalah p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 2p dan 2q.

2.       Diketahui akar-akar kuadrat lama adalah a dan b. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya a + 2 dan b + 2.

Bagaimana cara dan langkah-langkah menentukan persamaan kuadrat baru?

Ingat  pola penyusunan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah:

 x² – (p + q)x + pq = 0

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2m dan 2n adalah:

 x² – (2m + 2n)x + (2m)(2n) = 0

Dari bentuk persamaan kuadrat di atas, yang perlu diperhatikan adalah jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akar.

Untuk penerapan contoh soalnya perhatikan uraian di bawah ini.

1. Diketahui persamaan kuadrat x² + 8x + 6 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar 3p dan 3q.

Jawaban:

Persamaan kuadrat x² + 8x + 6 = 0 memiliki akar-akar p dan q.

Berarti diperoleh hasil jumlah dan hasil kali akar-akar  sebagai berikut.

p + q = -b/a = -8/1 = -8

p × q = c/a = 6/1 = 6

Selanjutnya menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru (3p dan 3q).

Jumlah akar-akar = 3p + 3q = 3(p + q) = 3(-8) = -24

Hasil kali akar      = 3p × 3q = 9(pq) = 9(6) = 54

Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar 3p dan 3q sebagai berikut.

x² – (3p + 3q)x + (3p)(3q) = 0

x² – (-24)x + 54 = 0

x² + 24x + 54 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² + 24x + 54 = 0.

2. Diketahui persamaan kuadrat x² + 4x - 7 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar p + 3 dan q + 3.

Jawaban:

Persamaan kuadrat x² + 4x - 7 = 0 memiliki akar-akar p dan q.

Berarti diperoleh hasil jumlah dan hasil kali akar-akar  sebagai berikut.

p + q = -b/a = -4/1 = -4

p × q = c/a = -7/1 = -7

Selanjutnya menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru (p + 3 dan q + 3).

Jumlah akar-akar = (p + 3) + (q + 3) = (p + q) + 6 = -4 + 6 = 2

Hasil kali akar      = (p + 3)(q + 3) = pq + 3(p + q) + 9 = -7 + 3(-4) + 9 = -10

Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar p + 3 dan q + 3 sebagai berikut.

x² – ((p + 3) + (q + 3))x + (p + 3)(q + 3) = 0

x² – 2x - 10 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² – 2x - 10  = 0.

3. Diketahui persamaan kuadrat x² - 6x - 4 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar 2p - 1 dan 2q - 1.

Jawaban:

Persamaan kuadrat x² - 6x - 4 = 0 memiliki akar-akar p dan q.

Berarti diperoleh hasil jumlah dan hasil kali akar-akar  sebagai berikut.

p + q = -b/a = -(-6)/1 = 6

p × q = c/a = -4/1 = -4

Selanjutnya menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru (2p - 1 dan 2q - 1).

Jumlah akar-akar = (2p - 1) + (2q - 1) = 2(p + q) - 2 = 2(6) – 2 = 12 – 2 = 10

Hasil kali akar      = (2p - 1)(2q - 1) = 4pq - 2(p + q) + 1 = 4(-4) – 2(6) + 1 = -16 – 12 + 1 = -27

Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar 2p - 1 dan 2q - 1 sebagai berikut.

x² – ((2p - 1) + (2q - 1))x + (2p - 1)(2q - 1) = 0

x² – 10x - 27 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² – 10x - 27 = 0.

4. Diketahui persamaan kuadrat x² - 12x + 5 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar p² + 2 dan q² + 2.

Jawaban:

Persamaan kuadrat x² - 12x + 5  = 0 memiliki akar-akar p dan q.

Berarti diperoleh hasil jumlah dan hasil kali akar-akar  sebagai berikut.

p + q = -b/a = -(-12)/1 = 12

p × q = c/a = 5/1 = 5

Selanjutnya menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru (p² + 2 dan q² + 2).

Jumlah akar-akar = (p² + 2) + (q² + 2) = 2(p² + q²) + 4

                                                        = 2((p+q)² – 2pq) + 4

                                                        = 2(12² – 2(5)) + 4

                                                        = 2(144 – 10) + 4

                                                        = 2(134) + 4 = 268 + 4 = 272

Hasil kali akar      = (p² + 2)(q² + 2)

                           = (pq)² + 2(p² + q²) + 4

                           = 5² + 272    (ingat di atas : 2(p² + q²) + 4 = 272)

                          = 25 + 272 = 297

Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar p² + 2 dan q² + 2 sebagai berikut.

x² – ((p² + 2) + (q² + 2))x + (p² + 2)(q² + 2) = 0

x² – 272 x + 297 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² – 272 x + 297 = 0.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan kuadrat baru yang memiliki akar-akar baru berdasarkan persamaan kuadrat lama.

Semoga bermanfaat.