Menentukan Titik Balik Maksimum dan Minimum Grafik Fungsi Trigonometri (Penerapan Turunan Fungsi)

Hai Sobat Imath, dalam kesempatan ini akan kita bahas tentang kegunaan  turunan fungsi trigonometri dalam menentukan titik balik dari sustu kurva fungsi trigonometri. Perlu diingat bahwa turunan (Derivatif) fungsi salah satu kegunaannya adalah untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi. Jadi, jika terdapat suatu fungsi tertentu, maka untuk mencari titik optimumnya dapat menggunakan turunan fungsi.

Dalam konteks kali ini kita akan bahas secara khusus tentang fungsi trigonometri, yaitu menggunakan turunan fungsi.

 

Jika diketahui suatu grafik fungsi trigonometri y = f(x), maka nilai x pada titik balik grafik fungsi trigonometri dapat dicari  dengan menentukan y' = 0 atau f'(x) = 0.

Jika diperoleh x₁ sebagai titik balik, dan f''(x) adalah turunan kedua dari f(x) maka:

1.  Titik (x₁, f(x₁)) merupakan titik balik maksimum apabila f''(x₁) < 0.

2.  Titik (x₁, f(x₁)) merupakan titik balik minimum apabila f''(x₁) > 0.

 

Nah, bagaimana cara menemukan titik  balik maksimum dan minimum fungsi suatu grafik fungsi trigonometri?

Marilah simak beberapa contoh dan pembahasannya berikut.

 

Contoh 1

Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin x + cos x, untuk 0^o < x < 360^o

 

Jawaban:

Diketahui y = sin x + cos x

Maka turunannya adalah y ' = f'(x) = cos x - sin x

Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.

Sehingga diperoleh:

Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.

y ' = f'(x) = cos x - sin x , maka

y '' = f''(x) = -sin x - cos x

Contoh 2

Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 2x,  untuk 0^o < x < 360^o

 

Jawaban:

Diketahui y = sin 2x

Maka turunannya adalah y ' = f'(x) = 2 cos 2x

Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.

Sehingga diperoleh:

2 cos 2x = 0

cos 2x = 0

cos 2x = cos 90^o dan cos 270^o

(i) 2x = 90^o + k.360^o

     x = 45^o + k.180^o

untuk k = 0, maka x = 45^o

untuk k = 1, maka x = 225^o

 

ii) 2x = 270^o + k.360^o

     x = 135^o + k.180^o

untuk k = 0, maka x = 135^o

untuk k = 1, maka x = 315^o

 

Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikanya ke persamaan fungsi awal.

Untuk x = 45^o, maka y = sin 2(45^o) = sin 90^o = 1. Diperoleh titik balik (45^o, 1).

Untuk x = 135^o, maka y = sin 2(135^o) = sin 270^o = -1. Diperoleh titik balik (135^o, -1).

Untuk x = 225^o, maka y = sin 2(225^o) = sin 450^o = 1. Diperoleh titik balik (225^o, 1).

Untuk x = 315^o, maka y = sin 2(315^o) = sin 630^o = -1. Diperoleh titik balik (315^o, -1).

 

Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.

y ' = f'(x) = 2 cos 2x, maka

y '' = f''(x) = -4 sin 2x

 

Untuk x = 45^o maka y '' = f''(45^o) =  -4 sin 2(45^o)

                                  = -4 sin 90^o

                                  = -4  (negatif) 

Sehingga, (45^o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.

 

Untuk x = 135^o maka y '' = f''(135^o) =  -4 sin 2(135^o)

                                    = -4 sin 270^o

                                    = 4  (positif) 

Sehingga, (135^o, -1) titik merupakan titik balik minimum.

 

Untuk x = 225^o maka y ''  = f''(225^o) =  -4 sin 2(225^o)

                                    = -4 × sin (450^o)

                                    = -4  × sin 90^o

                                    = -4  × (1)

                                    = 4   (negatif) 

Sehingga, (225^o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.

 

Untuk x = 315^o maka y '' = f''(315^o) =  -4 sin 2(315^o)

                                    = -4 sin 630^o

                                    = -4 sin 270^o

                                    = -4 × (-1)

                                    = 4  (positif) 

Sehingga, (315^o, -1) titik merupakan titik balik minimum.

 

Grafik

Contoh 3

Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 3x – cos 3x,  untuk 0^o < x < 360^o

 

Jawaban:

Diketahui y = sin 3x – cos 3x

Maka turunannya adalah y ' = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x

Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.

Sehingga diperoleh:

3cos 3x + 3sin 3x = 0

    cos 3x + sin 3x = 0

                 sin 3x = -cos 3x

   (sin 3x /cos 3x) = -1

                tan 3x = -1

                tan 3x = tan 135^o

 Sehingga

 3x = 135^o + k.180^o

     x = 45^o + k.60^o

untuk k = 0, maka x = 45^o

untuk k = 1, maka x = 105^o

untuk k = 2, maka x = 165^o

untuk k = 3, maka x = 225^o

untuk k = 4, maka x = 285^o

untuk k = 5, maka x = 345^o

 

 

Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikan sudut-sudut tersebut ke persamaan fungsi awal.

Fungsi awal y = sin 3x – cos 3x

Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.

y ' = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x, maka

y '' = f''(x) = -9sin 3x + 9cos 3x

               = 9{-sin 3x + cos 3x}

Demikianlah sekilas materi turunan trigonometri dalam penggunaannya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum.

Semoga bermanfaat

Cara Menentukan Titik Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi Turun pada Grafik Fungsi Trigonometri

 Hai, sobat IMath, Pada kesempatan ini akan kita bahas tentang titik stasioner, fungsinaik, dan fungsi turun pada fungsi Trigonometri. Perlu diketahui bahwa pembahasan ini merupakan salah satu penerapan dari turunan (Derivatif) dari fungsi turunan. Seperti halnya pada bentuk aljabar, dalam menentukan fungsi naik dan turun lebih mudah menggunakan turunan fungsi. Jadi, dalam menentuka titik stasioner, fungsi naik dan fungsi turun akan digunakan turunan fungsinya.

 

Nah, bagaimana cara menemukan titik stasioner,interval fungsi naik dan fungsi turun pada fungsi trigonometri?

Marilah simak beberapa contoh dan pembahasannya berikut.

 

Contoh 1

Tentukan titik stasioner, interval fungsi naik dan fungsi turun pada fungsi trigonometri y = sin x + cos x, untuk 0^o < x < 360^o

 

Jawaban:

Diketahui y = sin x + cos x

Maka turunannya adalah y ' = cos x - sin x

Selanjutnya menentukan titik stasioner, dengan syarat setasioner adalah y' = 0.

Sehingga diperoleh:

 

cos x - sin x = 0

dengan membagi cos x

1 – tan x = 0

tan x = 1

 

Nilai x untuk tan x = 1 adalah x = 45^o dan 225^o.

Jadi, titik stasioner grafik fungsi y = sin x + cos x adalah x = 45^o dan x = 225^o .

 

Selanjutnya mari menentukan interval grafik fungsi naik dan grafik fungsi turun. Dalam menentukan interval ini kita gunakan titik-titik stasioner dalam menentukan intervalnya.

Langkah pertama kita buat garis bilangan dan letakkan angka/nilai pembuat stasioner dan batasan nilai x.

 

Langkah kedua kita menandai pada interval-interval di atas, dengan cara memasukkan nilai x yang terletak di dalam interval ke dalam y' atau cos x – sin x. Kita hanya mengecek hasilnya negatif atau positif aja.

Misalnya kita akan mengambil titik-titik berikut.

 

x = 30^o, maka cos x – sin x = cos 30^o – sin 30^o = 0,5V3 - 0,5 (+) 

x = 90^o, maka cos x – sin x = cos 90^o – sin 90^o = 0 – 1 = -1 (-)

x = 270^o, maka cos x – sin x = cos 270^o – sin 270^o = 0 – (-1) =  1  (+)

 

Setelah kita tahu nilai positif dan negatifnya , maka garis bilangan dapat dilengkapi sebagai berikut.

 

Fungsi naik jika f'(x) > 0 dan fungsi turun jikaf'(x) < 0.

Dengan gambar di atas, maka diperoleh

Grafik fungsi naik pada interval 0^o < x < 45^o dan 225^o < x < 360^o.

Grafik fungsi turun pada interval 45^o < x < 225^o.

 

 

Contoh 2

Tentukan titik stasioner, interval fungsi naik dan fungsi turun pada fungsi trigonometri y = cos 2x, untuk 0^o < x < 360^o.

 

Jawaban:

Diketahui y = cos 2x

Maka turunannya adalah y ' = -2 sin 2x

Selanjutnya menentukan titik stasioner, dengan syarat setasioner adalah y' = 0.

Sehingga diperoleh:

-2 sin 2x = 0

dengan membagi -2 diperoleh  

sin 2x = 0

sin 2x = sin 0 dan sin 180^o

(i) 2x = 0 + k.360^o

     x = 0 + k.180^o

untuk k = 0, maka x = 0^o

untuk k = 1, maka x = 180^o

 

ii) 2x = 180^o + k.360^o

     x = 90^o + k.180^o

untuk k = 0, maka x = 90^o

untuk k = 1, maka x = 270^o

Jadi, titik stasioner grafik fungsi y = cos 2x  adalah x = 0^o, 90^o , 180^o , dan 270^o

 

Selanjutnya mari menentukan interval grafik fungsi naik dan grafik fungsi turun. Dalam menentukan interval ini kita gunakan titik-titik stasioner dalam menentukan intervalnya.

Langkah pertama kita buat garis bilangan dan letakkan angka/nilai pembuat stasioner dan batasan nilai x.

 

Langkah kedua kita menandai pada interval-interval di atas, dengan cara memasukkan nilai x yang terletak di dalam interval  ke dalam y' atau -2 sin 2x. Kita hanya mengecek hasilnya negatif atau positif aja.

Misalnya kita akan mengambil titik-titik berikut.

x = 30^o, maka -2 sin 2x = -2 sin 2(30^o)  = -2 sin 60^o = -1   (-)

x = 120^o, maka -2 sin 2x = -2 sin 2(120^o)  = -2 sin 240^o = 1   (+)

x = 210^o, maka -2 sin 2x = -2 sin 2(210^o)  = -2 sin 420^o = -2 sin 60^o = -1   (-)

x = 300^o, maka -2 sin 2x = -2 sin 2(300^o)  = -2 sin 600^o = -2 sin 240^o = 1   (+)

 

Setelah kita tahu nilai positif dan negatifnya , maka garis bilangan dapat dilengkapi sebagai berikut.

 

 

Fungsi naik jika f'(x) > 0 dan fungsi turun jikaf'(x) < 0.

Dengan gambar di atas, maka diperoleh

Grafik fungsi naik pada interval 90^o < x < 180^o dan 270^o < x < 360^o.

Grafik fungsi turun pada interval 0^o < x < 90^o dan 180^o < x < 270^o.

 

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan titik stasioner, interval fungsi naik dan fungsi turun suatu grafik fungsi trigonometri. Anda bisa lihat video-video tutorial tentang turunan fungsi trigonometri di bawah ini, lengkap dengan fungsi naik dan fungsi turunnya.

Semoga Bermafaat.