Menentukan Titik Balik Maksimum dan Minimum Grafik Fungsi Trigonometri (Penerapan Turunan Fungsi)

Hai Sobat Imath, dalam kesempatan ini akan kita bahas tentang kegunaan  turunan fungsi trigonometri dalam menentukan titik balik dari sustu kurva fungsi trigonometri. Perlu diingat bahwa turunan (Derivatif) fungsi salah satu kegunaannya adalah untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi. Jadi, jika terdapat suatu fungsi tertentu, maka untuk mencari titik optimumnya dapat menggunakan turunan fungsi.

Dalam konteks kali ini kita akan bahas secara khusus tentang fungsi trigonometri, yaitu menggunakan turunan fungsi.

 

Jika diketahui suatu grafik fungsi trigonometri y = f(x), maka nilai x pada titik balik grafik fungsi trigonometri dapat dicari  dengan menentukan y' = 0 atau f'(x) = 0.

Jika diperoleh x₁ sebagai titik balik, dan f''(x) adalah turunan kedua dari f(x) maka:

1.  Titik (x₁, f(x₁)) merupakan titik balik maksimum apabila f''(x₁) < 0.

2.  Titik (x₁, f(x₁)) merupakan titik balik minimum apabila f''(x₁) > 0.

 

Nah, bagaimana cara menemukan titik  balik maksimum dan minimum fungsi suatu grafik fungsi trigonometri?

Marilah simak beberapa contoh dan pembahasannya berikut.

 

Contoh 1

Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin x + cos x, untuk 0^o < x < 360^o

 

Jawaban:

Diketahui y = sin x + cos x

Maka turunannya adalah y ' = f'(x) = cos x - sin x

Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.

Sehingga diperoleh:

Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.

y ' = f'(x) = cos x - sin x , maka

y '' = f''(x) = -sin x - cos x

Contoh 2

Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 2x,  untuk 0^o < x < 360^o

 

Jawaban:

Diketahui y = sin 2x

Maka turunannya adalah y ' = f'(x) = 2 cos 2x

Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.

Sehingga diperoleh:

2 cos 2x = 0

cos 2x = 0

cos 2x = cos 90^o dan cos 270^o

(i) 2x = 90^o + k.360^o

     x = 45^o + k.180^o

untuk k = 0, maka x = 45^o

untuk k = 1, maka x = 225^o

 

ii) 2x = 270^o + k.360^o

     x = 135^o + k.180^o

untuk k = 0, maka x = 135^o

untuk k = 1, maka x = 315^o

 

Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikanya ke persamaan fungsi awal.

Untuk x = 45^o, maka y = sin 2(45^o) = sin 90^o = 1. Diperoleh titik balik (45^o, 1).

Untuk x = 135^o, maka y = sin 2(135^o) = sin 270^o = -1. Diperoleh titik balik (135^o, -1).

Untuk x = 225^o, maka y = sin 2(225^o) = sin 450^o = 1. Diperoleh titik balik (225^o, 1).

Untuk x = 315^o, maka y = sin 2(315^o) = sin 630^o = -1. Diperoleh titik balik (315^o, -1).

 

Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.

y ' = f'(x) = 2 cos 2x, maka

y '' = f''(x) = -4 sin 2x

 

Untuk x = 45^o maka y '' = f''(45^o) =  -4 sin 2(45^o)

                                  = -4 sin 90^o

                                  = -4  (negatif) 

Sehingga, (45^o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.

 

Untuk x = 135^o maka y '' = f''(135^o) =  -4 sin 2(135^o)

                                    = -4 sin 270^o

                                    = 4  (positif) 

Sehingga, (135^o, -1) titik merupakan titik balik minimum.

 

Untuk x = 225^o maka y ''  = f''(225^o) =  -4 sin 2(225^o)

                                    = -4 × sin (450^o)

                                    = -4  × sin 90^o

                                    = -4  × (1)

                                    = 4   (negatif) 

Sehingga, (225^o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.

 

Untuk x = 315^o maka y '' = f''(315^o) =  -4 sin 2(315^o)

                                    = -4 sin 630^o

                                    = -4 sin 270^o

                                    = -4 × (-1)

                                    = 4  (positif) 

Sehingga, (315^o, -1) titik merupakan titik balik minimum.

 

Grafik

Contoh 3

Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 3x – cos 3x,  untuk 0^o < x < 360^o

 

Jawaban:

Diketahui y = sin 3x – cos 3x

Maka turunannya adalah y ' = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x

Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.

Sehingga diperoleh:

3cos 3x + 3sin 3x = 0

    cos 3x + sin 3x = 0

                 sin 3x = -cos 3x

   (sin 3x /cos 3x) = -1

                tan 3x = -1

                tan 3x = tan 135^o

 Sehingga

 3x = 135^o + k.180^o

     x = 45^o + k.60^o

untuk k = 0, maka x = 45^o

untuk k = 1, maka x = 105^o

untuk k = 2, maka x = 165^o

untuk k = 3, maka x = 225^o

untuk k = 4, maka x = 285^o

untuk k = 5, maka x = 345^o

 

 

Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikan sudut-sudut tersebut ke persamaan fungsi awal.

Fungsi awal y = sin 3x – cos 3x

Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.

y ' = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x, maka

y '' = f''(x) = -9sin 3x + 9cos 3x

               = 9{-sin 3x + cos 3x}

Demikianlah sekilas materi turunan trigonometri dalam penggunaannya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum.

Semoga bermanfaat