Cara Menentukan Titik Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi Turun pada Grafik Fungsi Trigonometri

 Hai, sobat IMath, Pada kesempatan ini akan kita bahas tentang titik stasioner, fungsinaik, dan fungsi turun pada fungsi Trigonometri. Perlu diketahui bahwa pembahasan ini merupakan salah satu penerapan dari turunan (Derivatif) dari fungsi turunan. Seperti halnya pada bentuk aljabar, dalam menentukan fungsi naik dan turun lebih mudah menggunakan turunan fungsi. Jadi, dalam menentuka titik stasioner, fungsi naik dan fungsi turun akan digunakan turunan fungsinya.

 

Nah, bagaimana cara menemukan titik stasioner,interval fungsi naik dan fungsi turun pada fungsi trigonometri?

Marilah simak beberapa contoh dan pembahasannya berikut.

 

Contoh 1

Tentukan titik stasioner, interval fungsi naik dan fungsi turun pada fungsi trigonometri y = sin x + cos x, untuk 0^o < x < 360^o

 

Jawaban:

Diketahui y = sin x + cos x

Maka turunannya adalah y ' = cos x - sin x

Selanjutnya menentukan titik stasioner, dengan syarat setasioner adalah y' = 0.

Sehingga diperoleh:

 

cos x - sin x = 0

dengan membagi cos x

1 – tan x = 0

tan x = 1

 

Nilai x untuk tan x = 1 adalah x = 45^o dan 225^o.

Jadi, titik stasioner grafik fungsi y = sin x + cos x adalah x = 45^o dan x = 225^o .

 

Selanjutnya mari menentukan interval grafik fungsi naik dan grafik fungsi turun. Dalam menentukan interval ini kita gunakan titik-titik stasioner dalam menentukan intervalnya.

Langkah pertama kita buat garis bilangan dan letakkan angka/nilai pembuat stasioner dan batasan nilai x.

 

Langkah kedua kita menandai pada interval-interval di atas, dengan cara memasukkan nilai x yang terletak di dalam interval ke dalam y' atau cos x – sin x. Kita hanya mengecek hasilnya negatif atau positif aja.

Misalnya kita akan mengambil titik-titik berikut.

 

x = 30^o, maka cos x – sin x = cos 30^o – sin 30^o = 0,5V3 - 0,5 (+) 

x = 90^o, maka cos x – sin x = cos 90^o – sin 90^o = 0 – 1 = -1 (-)

x = 270^o, maka cos x – sin x = cos 270^o – sin 270^o = 0 – (-1) =  1  (+)

 

Setelah kita tahu nilai positif dan negatifnya , maka garis bilangan dapat dilengkapi sebagai berikut.

 

Fungsi naik jika f'(x) > 0 dan fungsi turun jikaf'(x) < 0.

Dengan gambar di atas, maka diperoleh

Grafik fungsi naik pada interval 0^o < x < 45^o dan 225^o < x < 360^o.

Grafik fungsi turun pada interval 45^o < x < 225^o.

 

 

Contoh 2

Tentukan titik stasioner, interval fungsi naik dan fungsi turun pada fungsi trigonometri y = cos 2x, untuk 0^o < x < 360^o.

 

Jawaban:

Diketahui y = cos 2x

Maka turunannya adalah y ' = -2 sin 2x

Selanjutnya menentukan titik stasioner, dengan syarat setasioner adalah y' = 0.

Sehingga diperoleh:

-2 sin 2x = 0

dengan membagi -2 diperoleh  

sin 2x = 0

sin 2x = sin 0 dan sin 180^o

(i) 2x = 0 + k.360^o

     x = 0 + k.180^o

untuk k = 0, maka x = 0^o

untuk k = 1, maka x = 180^o

 

ii) 2x = 180^o + k.360^o

     x = 90^o + k.180^o

untuk k = 0, maka x = 90^o

untuk k = 1, maka x = 270^o

Jadi, titik stasioner grafik fungsi y = cos 2x  adalah x = 0^o, 90^o , 180^o , dan 270^o

 

Selanjutnya mari menentukan interval grafik fungsi naik dan grafik fungsi turun. Dalam menentukan interval ini kita gunakan titik-titik stasioner dalam menentukan intervalnya.

Langkah pertama kita buat garis bilangan dan letakkan angka/nilai pembuat stasioner dan batasan nilai x.

 

Langkah kedua kita menandai pada interval-interval di atas, dengan cara memasukkan nilai x yang terletak di dalam interval  ke dalam y' atau -2 sin 2x. Kita hanya mengecek hasilnya negatif atau positif aja.

Misalnya kita akan mengambil titik-titik berikut.

x = 30^o, maka -2 sin 2x = -2 sin 2(30^o)  = -2 sin 60^o = -1   (-)

x = 120^o, maka -2 sin 2x = -2 sin 2(120^o)  = -2 sin 240^o = 1   (+)

x = 210^o, maka -2 sin 2x = -2 sin 2(210^o)  = -2 sin 420^o = -2 sin 60^o = -1   (-)

x = 300^o, maka -2 sin 2x = -2 sin 2(300^o)  = -2 sin 600^o = -2 sin 240^o = 1   (+)

 

Setelah kita tahu nilai positif dan negatifnya , maka garis bilangan dapat dilengkapi sebagai berikut.

 

 

Fungsi naik jika f'(x) > 0 dan fungsi turun jikaf'(x) < 0.

Dengan gambar di atas, maka diperoleh

Grafik fungsi naik pada interval 90^o < x < 180^o dan 270^o < x < 360^o.

Grafik fungsi turun pada interval 0^o < x < 90^o dan 180^o < x < 270^o.

 

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan titik stasioner, interval fungsi naik dan fungsi turun suatu grafik fungsi trigonometri. Anda bisa lihat video-video tutorial tentang turunan fungsi trigonometri di bawah ini, lengkap dengan fungsi naik dan fungsi turunnya.

Semoga Bermafaat.