Jumlah dan Hasil Kali Akar-AKar Persamaan Kuadrat Berkaitan dengan Nilai Diskriminan

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan Kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a tidak sama dengan 0.

Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

1.      Memfaktorkan,

       ax² + bx + c = 0 diubah menjadi  (ax + p)(ax + q)/a, dengan p + q = b dan pq = ac. Sehinga diperoleh x₁ = -p/2 dan x₂ =-q/2 .

2.      Melengkapkan kuadrat, bentuk persamaan kuadrat diubah ke bentuk (x + p)² = q.

3.      Menggunakan rumus abc.

      

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar dari persamaan Kuadrat  ax² + bx + c = 0 mempunyai berbagai jenis dipandang dari nilai Diskriminan (D = b² – 4ac).

(i)  D > 0, mempunyai akar real.
(ii) D = 0, mempunyai akar kembar real.
(iii) D < 0, tidak mempunyai akar real.

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 maka diperoleh:

Jika x₁ + x₂ = -b/a dan  x₁ x₂ = c/a.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Misalkan x₁ dan x₂ merupakan akar-akar  persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Jika p dan q merupakan akar-akar yang baru dalam x₁ dan x₂, persamaan kuadrat yang baru adalah x² - (p + q)x + pq = 0.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

1. Jika p dan q merupakan akar-akar  persamaan kuadrat x² + 5x + 8 = 0. Tentukan nilai dari pq² + p²q.
Jawaban:
Persamaan kuadrat x² + 5x + 8 = 0, mempunyai a = 1, b = 5 dan c = 8. Persamaan tersebut mempunyai akar-akar p dan q. Sehingga diperoleh:
p + q = -b/a = -5/1 = 5
pq = c/a = 8/1 = 8
Dengan demikian:
pq² + p²q = pq (q + p)
               = (8)(5)
               = 40
Jadi, nilai pq² + p²q = 40. 

2. Jika p dan q merupakan akar-akar  persamaan kuadrat x² - 3x + 6 = 0. Tentukan nilai dari 2p² + 2q².
Jawaban:
Persamaan kuadrat x² - 3x + 6 = 0, mempunyai a = 1, b = -3 dan c = 6. Persamaan tersebut mempunyai akar-akar p dan q. Sehingga diperoleh:
p + q = -b/a = -(-3)/1 =3
pq = c/a = 6/1 =6
Dengan demikian:
2p² + 2q² = 2{(p + q)² - 2pq}
               = 2{(3²) - 2(6)}
               = 2{9 - 12}
               = 2(-3)
               =-6

Jadi, nilai 2p² + 2q² = -6.

3. Jika persamaan kuadrat 2x² - 8x + 2m + 1= 0 mempunyai akar-akar kembar,Tentukan nilai m.
Jawaban:

Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar kembar adalah nilai diskriminan sama dengan 0  (D = 0).
b² - 4ac = 0
8² - 4. 2. (2m + 1) = 0
        64 - 16m - 8 = 0
                   16m = 56
                       m = 7/2 
Jadi, nilai m = 7/2.

4. Jika persamaan kuadrat x² - px + 3p - 8 = 0 mempunyai akar-akar real dan berlainan,tentukan nilai batas-batas nilai p.
Jawaban:

Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar real dan berlainan adalah nilai diskriminan lebih dari 0(D > 0).
b² - 4ac > 0
p² - 4. 1. (3p - 8) > 0
        p² - 12p + 32 > 0
        (p - 4)(p - 8) > 0
        p < 4 atau p > 8
Jadi, batasan nilai p adalah p < 4 atau p > 8.

5. Jika persamaan kuadrat x² - 5x + 12 = 0 mempunyai akar-akar p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar 2p + 1)dan (2q + 1)
Jawaban:

Persamaan kuadrat x² - 5x + 12 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = -5 dan c = 12.
Akar-akar persamaannya p dan q.
p + q = -b/a = -(-5)/1 = 5
pq = c/a = 12/1 = 12 
Menentukan persamaan kuadrat yang mempunyai akar (2p + 1)  dn (2q + 1)
(2p + 1)  + (2q + 1) = 2(p + q) + 2= 2(5) + 2 = 12
(2p + 1)(2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 
                         = 4pq + 2(p + q) + 1 

                         = 4(12) + 2(5) + 1 
                         = 48 + 10 + 1
                         = 59
 Persamaan kuadrat baru:
x² -((2p+1)+(2q+1))x + (2p+1)(2q+1) = 0  
 x² - 12x + 59 = 0
 Jadi, persamaan kudrat baru adalah x² - 12x + 59 = 0.

Demikianlah sekilas materi tentang JUmlah dan hasil Kali akar-akar persamaan kuadrat dan Diskriminan Persamaan Kuadrat. Semoga bermanfaat.

Tag:

akar-akar persamaan kuadrat

rumus akar akar persamaan kuadrat

tentukan akar akar persamaan kuadrat

hasil kali akar akar persamaan kuadrat

tentukan akar akar persamaan kuadrat

jumlah dan hasil kali akar akar persamaan kuadrat

hasil kali akar akar persamaan kuadrat

contoh soal akar akar persamaan kuadrat

rumus jumlah akar akar persamaan kuadrat

sifat akar akar persamaan kuadrat

menentukan akar akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

akar-akar persamaan kuadrat adalah

soal akar-akar persamaan kuadrat

diskriminan persamaan kuadrat

rumus diskriminan persamaan kuadrat

nilai diskriminan persamaan kuadrat

soal diskriminan persamaan kuadrat kelas 9

nilai diskriminan persamaan kuadrat x2 6x 8 0

nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 4x 9 0 yaitu

contoh soal diskriminan persamaan kuadrat

nilai diskriminan persamaan kuadrat adalah

jika nilai diskriminan persamaan kuadrat

apa itu diskriminan persamaan kuadrat

nilai diskriminan persamaan kuadrat 5x 4 0 adalah

diskriminan persamaan kuadrat adalah

diskriminan dari persamaan kuadrat adalah

rumus diskriminan persamaan kuadrat adalah

Menentukan Titik Koordinat Kartesius dan Membaca Titik Koordinat pada Bidang Kartesius

Membaca Titik Koordinat kartesius dan Menentukan Titik Koordinat Kartesius merupakan materi kelas 6 SD.
Diagram Kartesius merupakan bidang datar yang terdiri atas dua sumbu koordinat yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar dan sumbu tegak. Sumbu mendatar dinamakan sumbu X dan sumbu tegak dinamakan sumbu Y. Sumbu X dan sumbu Y berpotongan tegak lurus di titik O. Titik O dinamakan pangkal koordinat. Bilangan-bilangan di kanan sumbu Y dan di atas sumbu X berupa bilangan bulat positif. Bilangan-bilangan di kiri sumbu Y dan di bawah sumbu X berupa bilangan bulat negatif. Letak titik pada diagram Kartesius dinyatakan dengan A(x, y). Bilangan x dinamakan absis, menyatakan letak/posisi titik searah sumbu X. Bilangan y dinamakan ordinat, menyatakan letak/posisi titik searah sumbu Y. 
Bidang kartesius dapat digambarkan sebagai berikut.

 Perhatikan cara membaca dan menentukan titik koordinat P, Q, R, dan S di atas. Cara membaca/menentukan koordinat titik pada bidang kartesius sebagai berikut.
1) Tentukan banyak langkah/satuan ke kanan atau kekiri dari Sumbu Y. Jika ke kanan berarti nilainya positif, kalau ke kiri nilainya negatif. Perhatikan gambar di atas sudah ada angka-angka pada sumbu koordinat.
2) Tentukan banyak langkah/satuan ke atas atau ke bawah sumbu X. Jika ke atas berarti nilainya positif, kalau ke bawah nilainya negatif.

Menentukan koordinat titik P
Arah dari titik (0,0): 2 langkah ke kanan dilanjutkan 4 langkah ke atas. 
Jadi, koordinatnya (2, 4).

Menentukan koordinat titik Q
Arah dari titik (0,0): 5 langkah ke kiri dilanjutkan 5 langkah ke atas. 
Jadi, koordinatnya (-5, 5).

Menentukan koordinat titik P
Arah dari titik (0,0): 5 langkah ke kiri dilanjutkan 3 langkah ke bawah. 
Jadi, koordinatnya (-5, -3).

Menentukan koordinat titik P
Arah dari titik (0,0): 3 langkah ke kanan dilanjutkan 2 langkah ke bawah. 
Jadi, koordinatnya (3, -2).


Perhatikan contoh berikut.
Diketahui koordinat titik P(-3,1), Q(-3,-3), R(3, 1), dan S(3, 5). Apa nama bangun datar yang dibentuk PORS?

Jawaban:
Jika titik P, Q, R, dan S digambarkan di bidang kartesius maka diperoleh gambar berikut.

Tampak bahwa bangun datar PQRS berbentuk jajargenjang.