Menentukan Suku Ke-n dan Jumlah n Suku Pertama Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri

A.   Pola Barisan Bilangan

Pola barisan  bilangan memiliki arti suatu susunan bilangan yang memiliki bentuk teratur atau suatu bilangan yang tersusun dari beberapa bilangan lain yang membentuk suatu pola.

Contoh pola barisan bilangan

1.    Pola bilangan genap : 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . .

       Rumus : U_n = 2n

2.    Pola bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . .

       Rumus : U_n = 2n - 1

3.    Pola bilangan persegi  : 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . .

       Rumus : U_n = n²

4.    Pola bilangan kubik : 1, 8, 27, 64, 125, . . . .

       Rumus : U_n = n³

5.    Pola bilangan persegi panjang : 2, 6, 12, 20, 30, . . . .

       Rumus : U_n = n(n + 1)

6.    Pola bilangan segitiga : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, . . . . .

       Rumus : U_n =(1/2)n(n + 1)

 

B. Barisan dan Deret Aritmetika

 Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki pola setiap bilangan berurutan memiliki selisih sama. Jika setiap barisan bilangan memiliki suku pertama a dan beda = b, maka:

Rumus suku ke-n adalah : .

 

Rumus jumlah n suku pertama adalah:

 

C. Barisan dan Deret Geometri

 Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki pola setiap bilangan berurutan memiliki rasio sama. Jika setiap barisan bilangan memiliki suku pertama a dan rasio = r, maka:

Rumus suku ke-n adalah: 

 

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

 

 

Menentukan suku ke-n jika diketahui jumlah suku-sukunya dirumuskan:

 

 

 

 

Contoh soal dan Pembahasan:

1. Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan Suku ke-18.

Jawaban:

Diketahui : a = 5 dan b = 3

Rumus suku ke-n:

Un = a + (n - 1)b

 U18 = 5 + (18-1)3

= 5 + (17)(3)

= 5 + 51

=56

Jadi, suku ke-18 adalah 56.

 

2. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4 = 18 dan suku ke-10 = 36. Tentukan suku ke-30.

Jawaban:

U4 = 18 maka a + 3b = 18        . . .(1)

U10 = 36 maka a + 9b = 36      . . .(2)

Eliminasi a pada kedua persamaan

 a + 3b = 18        . . .(1)

a + 9b = 36      . . .(2)

______________________ _

-6b  = -18

b = 3

Substitusikan b = 3 ke persamaan a + 3b = 18, maka:

a + 3(3) = 18, sehingga a + 9 = 18, dan akhirnya a = 9.

Rumus umum barisan menjadi: 

Un = 9 + (n - 1)3 atau Un = 3n + 6.

Dengan demikian suku ke-30 dapat dicari sebagai berikut.

U30 = 3(30) + 6

       =  90 + 6

       = 96

Jadi, suku ke-30 adalah 96.

3. Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-10 = 34 dan suku ke-15= 54. Tentukan  jumlah 8 suku pertama.

Jawaban:

U10 = 34 maka a + 9b = 34        . . .(1)

U15 = 54 maka a + 14b = 54      . . .(2)

Eliminasi a pada kedua persamaan

 a + 9b = 34       . . .(1)

a + 14b = 54      . . .(2)

______________________ _

-5b  = -20

b =4

Substitusikan b = 4 ke persamaan a + 9b = 34, maka:

a + 9(4) = 34, sehingga a + 36 = 34, dan akhirnya a = -2.

Rumus umum barisan menjadi: 

Jumlah 8 suku pertama dapat dicari sebagai berikut.

Sn = (n/2) (2a + (n-1)b)

S8 = (8/2) (2(-2) + (8-1)4)

= 4(-4 + 28)

= 4(24)

= 96

Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 96.

4. Diketahui deret aritmetika dengan jumlah n suku pertama dirumuskan Sn = n^2 + 5n + 4 . Tentukan suku ke 5.

Jawaban:

Un = Sn - S(n-1)

= 5^2 + 5(5) + 4 -(4^2 + 5(4) + 4)

= (25 + 25 + 4) - ( 16 + 20 + 4)

= 54 - 40

= 14

Jadi, suku ke- 5 adalah 14.

 

5.  Seorang karyawan menerima bonus tahunan pertama sebesar Rp2.000.000,00. Setiap tahun bonus yang diterima akan naik Rp150.000,00. Jumlah bonus yang diterima karyawan selama 10 tahun?

     Jawaban :

Permasalahan tersebut merupakan bentuk deret aritmetika dengan suku awal = a = 2.000.000 dan beda = b = 150.000.

Jumlah 10 suku pertama (S₁₀) dapat dihitung sebagai berikut.

   Sn    = (n/2)(2a + (n – 1)b)

   S10 = (n/2)(2(2.000.000) + 9(150.000))

         = 5(4.000.000 + 1.350.000)

         = 5(5.350.000)

         = 26.750.000

Jadi, jumlah bonus yang diterima karyawan selama 10 tahun sebanyak Rp26.750.000,00.

6. Diketahui suku ke-2 dan suku ke-6 suatu barisan geometri adalah 14 dan 224. Tentukan Suku ke-10 barisan tersebut.

     Jawaban:

     Barisan geometri : U_n = ar^n-1

     Diketahui: U₂ = ar = 14

     U₆ = ar⁵ = 224

     Menentukan nilai rasio (r)

     ar⁵ = 224          ar x r⁴ = 224

                              14 x r⁴ = 224

                              r⁴ = 224/14 = 16

                              r = 2

     U₁₀ = ar⁹    = ar x r⁸

                      = 14 x 2⁸

                      = 14 x 246

                      = 3.584

     Jadi, suku ke-10 adalah 3.584.

7. Diketahui deret geometri dengan suku ke-4 = 24 dan suku ke-7 adalah 192. Tentukan jumlah 10 suku pertama.

     Jawaban:

     Barisan geometri : U_n = ar^n-1

     Diketahui:

     U₄ = ar³ = 24

     U₇ = ar⁶ = 192

    

     Menentukan nilai r

     U7/U4 = 196/24    r³ = 8  

                                  r = 2

     ar³ = 24

      a(2)³  = 24

     8a  = 24

     a  = 3

     Jumlah 10 suku pertama deret geometri 

 

  Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 3.096.

8. Sebuah sel membelah diri menjadi empat setiap 20 menit. Jika mula-mula terdapat 3 sel, Berapa banyak sel setelah 2 jam?

    

     Jawaban:

     Permasalahan tentang barisan geometri.

     Barisan geometri : U_n = ar^n-1

     Diketahui:

     suku awal (a) = 20 dan rasio (r) = 4

     2 jam = 120 menit = 6 × 20 menit

     Sehingga n = 6

     U₆ = ar⁵ = 3 × 4⁵

                  = 3 × 1.024

                  = 3.072

     Jadi, banyak sel setelah 2 jam adalah  3.072.

Demikian sedikit materi tentang barisan dan deret aritmetika dan geometri.
Semoga bermanfaat.

Buku Kumpulan Rumus dan Materi Matematika SD/MI kelas 4, 5, dan 6

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang di Ujiankan di sekolah, baik tingkat SD hingga SMA. Matematika merupakan mata pelajaran penting karena dalam kehidupan sehari-hari tidak lepas dari Matematika. Oleh karena itu, Matematika menjadi pelajaran yang menjadi  dasar dari pelajaran yang lain.

Banyak siswa-siswi SD masih kesulitan dalam belajar Matematika. Padahal, sebenarnya Matematika pelajaran yang tidak sulit. Asalkan senang dulu, dan banyak berlatih mengerjakan soal, maka Matematika akan menjadi mudah dan menarik.

Untuk siswa-siswi SD kelas IV, V dan VI, berikut saya berikan kabar gembira. Untuk menemani belajar Matematika saya berikan buku pendamping belajarmu.
Buku ini yang cocok menjadi pendamping belajarmu. Ketika kamu lupa rumus atau cara pengerjaan soal Matematika, Nah bukalah Buku di bawah ini.

Kumpulan Materi dan Rumus MATEMATIKA SD.MI

Penerbit Grasindo

Penulis M.Adzka

BELI BUKU Ini SEKARANG DI GRAMEDIA ONLINE..

Mengapa Buku ini harus menjadi buku pegangan Saat Belajar?
Perlu kamu tahu buku Kumpulan Rumus dan Materi Matematika SD ini memiliki keunggulan-keunggulan yang tidak dimiliki buku-buku yang lain.
Inilah sekilas Isi dan Keunggulan Buku Kumpulan Rumus dan Materi Matematika SD terbitan Grasindo.
1. Materi yang disajikan lengkap. Bagi siswa yang menggunakan kurikulum KTSP maupun K-13 bisa menggunakan buku ini. Buku ini cocok untuk selalu di samping Siswa.
2. Segala rumus, contoh soal, dan latihan disajikan secara jelas dan mudah dipahami. Selain itu, banyak sekali contoh dan soalnya. Contoh soal dibahas secara detail.

Lihat Isi Buku Video Berikut ini.

 
3. Bukan hanya rumus dan Materi Ringkas, Masih banyak fitur-fitur tambahan untuk menunjang belajar, Ada Trik Matematika, Info Matematika, Matematika Fun, Tips Matematika, dan lain-lainnya.
4. Kualitas soal-soalnya dan contoh soal standar Ulangan harian, Ulangan semester, dan Ujian Nasional. Sehingga buku ini Tepat untuk pegangan dalam persiapan Ulangan-ulangan tersebut.
5. Perwajahan isi buku dibuat menarik. Bukan hanya tulisan, namun ada gambar-gambar penunjang dan penjelasan informasi. Sehingga siswa (pembaca) tidak merasa jenuh. Bahkan sebaliknya, menjadi lebih semangat.
6. Buku ini praktis, mudah dibawa, tidak berat, dan sangat cocok juga untuk hadiah teman spesialmu.
7. Buku ini berlaku selama 3 tahun selama kamu kelas IV, V dan VI, apapun kurikulum yang berlaku. 
8. Terdapat Paket Prediksi Ujian Sekolah (US/M) untuk latihan menghadapi USM Matematika SD/MI.

BELI BUKU Ini SEKARANG DI GRAMEDIA ONLINE..

Beli EBOOK-nya Klik DISINI...

Inilah Daftar isi buku yang dapat kami rangkum (Matematika kelas IV, V dan VI)

1.    Operasi Hitung Bilangan Cacah

       A.  Cara Mudah Menjumlah dan Mengurang Bilangan Cacah

       B.  Cara Mudah Mengali dan Membagi Bilangan Cacah

       C. Cara Mudah Melakukan Operasi Hitung Campuran

       D.  Cara Cepat Menaksir dan Membulatkan

  

2.    Operasi Hitung bilangan Bulat

       A.  Cara Mudah  Menjumlah Bilangan Bulat

       B.  Cara Mudah  Mengurang Bilangan Bulat

       C.  Cara Mudah Mengali dan Membagi Bilangan Bulat

       D. Cara Mudah Menyelesaikan Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat

       E. Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

      

3.    FPB dan KPK

       A.  Kelipatan dan Kelipatan Persekutuan

       B.  Faktor dan Faktor Persekutuan

       C.  Bilangan Prima, Faktor Prima dan Faktorisasi Prima

       D. Cara Cepat dan Mudah Menentukan  FPB

       E.  Cara Cepat dan Mudah Menentukan KPK

4.    Pangkat dan Akar

       A.  Cara Mudah Menghitung Bilangan Pangkat Dua

       B.  Cara Mudah Menghitung Bilangan Pangkat Tiga

       C.  Cara Cepat Menentukan Akar Pangkat Dua

       D.  Cara Cepat Menentukan Akar Pangkat Tiga

5.    Bilangan Pecahan

       A.  Cara Mudah Menyederhanakan Pecahan

       B.  Cara Mudah Menentukan Pecahan senilai

       C.  Cara Cepat Mengubah pecahan  ke Bentuk Pecahan yang Lain

       D.  Cara Cepat Mengurutkan Pecahan

       E.  Cara Mudah Menjumlah dan Mengurang Pecahan

            1) Pecahan Biasa

            2) Pecahan Desimal

            3) Berbagai Jenis Pecahan

       F.  Cara Mudah Mengali dan Membagi Pecahan

            1) Pecahan Biasa

            2) Pecahan Desimal

            3) Berbagai Jenis Pecahan

       G. Cara Mudah Menyelesaikan Operasi Hitung Campuran

      

6.    Perbandingan dan Skala

       A.  Menentukan Unsur-Unsur pada Perbandingan Kuantitas

       B.  Menentukan Unsur-Unsur pada Perbandingan senilai

       C.  Cara Mudah Menyelesaikan tentang Skala

        

7.    Koversi Satuan

       A.  Cara Mudah Mengkonversi Satuan Panjang

       B.  Cara Mudah Mengkonversi  Satuan Berat

       C.  Cara Mudah Mengkonversi  Satuan Waktu

       D.  Cara Mudah Mengkonversi  Satuan Kuantitas

       E.  Cara Mudah Mengkonversi  Satuan Luas

       F.  Cara Mudah Mengkonversi  Satuan Volume

       G.  Cara Mudah Menyelesaikan Masalah Kecepatan

       H.  Cara Mudah Menyelesaikan Masalah Debit

8     Bangun Datar

       A.  Sifat, Unsur, Keliling dan Luas Persegi panjang

       B.  Sifat, Unsur, Keliling dan Luas Persegi

       C.  Sifat, Unsur, Keliling dan Luas Trapesium

       D.  Sifat, Unsur, Keliling dan Luas Jajargenjang

       E.  Sifat, Unsur, Keliling dan Luas Layang-layang

       F.  Sifat, Unsur, Keliling dan Luas Belah ketupat

       G   Sifat, Unsur, Keliling dan Luas Lingkaran

             

9.    Hubungan Garis, Sudut dan Kesebangunan

       A.  Hubungan dua garis

       B.  Pengukuran Sudut

       C.  Cara Mudah Menentukan Kesebangunan Bangun Datar

10.   Bangun Ruang

       A.  Sifat, Unsur, Jaring-jaring, Volume dan Luas Permukaan Balok

       B.  Sifat, Unsur, Jaring-jaring, Volume dan Luas Permukaan Kubus

       C.  Sifat, Unsur, Jaring-jaring, Volume dan Luas Permukaan Prisma

       D.  Sifat, Unsur, Jaring-jaring, Volume dan Luas Permukaan Limas

       E.  Sifat, Unsur, Jaring-jaring, Volume dan Luas Permukaan Tabung

       F.  Sifat, Unsur, Jaring-jaring, Volume dan Luas Permukaan Kerucut

       G.  Sifat, Unsur, Jaring-jaring, Volume dan Luas Permukaan Bola

11.   Koordinat Kartesius

       A.  Cara Mudah Menentukan Koordinat Titik pada Bidang Kartesius

       B.  Menentukan Koordinat Titik Suatu Bangun Datar pada Bidang Kartesius

           

12.   Simetri dan Pencerminan

       A.  Cara Mudah Menentukan Simetri Putar

       B.  Cara Mudah Menentukan Simetri Lipat / Sumbu Simetri

       C.  Cara Mudah Menentukan Hasil Pencerminan

      

13.   Pengolahan Data

       A.  Cara Mudah Membaca data

       B.  Cara Mudah Menyajikan data

       C.  Cara Cepat dan Mudah Menentukan Mean (Rata-Rata)

       D.  Cara Cepat dan Mudah Menentukan Median data

       E. Cara Cepat dan Mudah Menentukan Modus

14.  Paket Soal Ujian Sekolah

Lampiran : Matematika Unik dan Matematika ajaib

Perhatikan bahwa isi buku di atas sangat  lengkap dan ada di semua kompetensi dasar dari kelas IV hingga kelas VI. Bagi siswa kelas IV dan V bisa menggunakan untuk  hingga siswa kelas VI. Siswa yang kelas VI bisa menggunakan untuk membantu persiapan Ujian Sekolah/Nasional.

Untuk itu segera miliki Buku ini. Buku ini sudah ada di toko buku terdekat dan  TB Gramedia,
Ayo, segera Miliki sebelum kehabisan.....!!
Atau kunjungi  toko buku Gramedia Online di bawah ini. 

Toko Buku Gramedia Online - Kumpulan Materi dan Rumus Matematika 4-5-6 SD/MI (Beli SEKARANG).

Di sini untuk BELI EBOOK-nya