Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Fungsi
naik dan turun adalah fungsi dalam kalkulus yang nilai f(x) bertambah dan
berkurang masing-masing seiring bertambahnya nilai x. Turunan fungsi f(x)
digunakan untuk memeriksa perilaku fungsi naik dan turun. Fungsi dikatakan naik
jika nilai f(x) bertambah seiring bertambahnya nilai x dan fungsi dikatakan turun
jika nilai f(x) turun seiring bertambahnya nilai x.
Pada
artikel kali ini, kita akan mempelajari konsep fungsi naik dan turun,
sifat-sifatnya, representasi grafis, dan teorema untuk menguji fungsi naik dan
turun beserta contohnya untuk pemahaman yang lebih baik.
Apa yang dimaksud dengan Fungsi Naik dan Fungsi
Turun?
Fungsi
naik dan turun adalah fungsi yang grafiknya masing-masing bergerak ke atas dan
ke bawah jika kita bergerak ke arah sisi kanan sumbu x. Fungsi naik dan turun
disebut juga fungsi tidak naik dan fungsi tidak naik. Mari kita lihat definisi
formal fungsi naik dan turun untuk memahami maknanya:
Definisi Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Fungsi Naik -
Suatu fungsi f(x) dikatakan naik pada interval I jika untuk dua bilangan x dan
y di I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) ≤ f(y).
Fungsi Turun -
Suatu fungsi f(x) dikatakan turun pada interval I jika untuk dua bilangan x dan
y pada I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) ≥ f(y).
Fungsi Monoton Naik -
Suatu fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk dua
bilangan x dan y di I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) < f(y).
Fungsi Monoton Turun -
Suatu fungsi f(x) dikatakan monoton turun pada interval I jika untuk dua
bilangan x dan y di I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) > f(y).
Representasi
Grafis dari Fungsi Naik dan Turun
Setelah
kita mengetahui pengertian dan definisi fungsi naik dan turun, mari kita lihat
representasi grafis fungsi naik dan turun yang akan membantu kita memahami
perilaku fungsi tersebut.
Grafik
di atas menunjukkan representasi grafis dari fungsi naik tajam, turun tajam,
naik dan turun. Seperti yang dapat kita lihat pada grafik di atas, fungsi yang naik
berisi interval yang naik secara ketat dan interval di mana fungsinya konstan.
Demikian pula, fungsi Turun terdiri dari interval di mana fungsinya Turun tajam
dan fungsinya konstan.
Aturan untuk Memeriksa Fungsi Naik dan Turun
Kita
menggunakan turunan suatu fungsi untuk memeriksa apakah fungsi tersebut naik
atau turun. Misalkan suatu fungsi f(x) terdiferensialkan pada interval terbuka
I, maka kita punya
Jika
f'(x) ≥ 0 pada I, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi naik pada I.
Jika
f'(x) ≤ 0 pada I, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi Turun pada I.
Contoh:
Mari kita perhatikan sebuah contoh untuk memahami konsep dengan lebih baik.
Pertimbangkan f(x) = x3 yang didefinisikan untuk semua bilangan
real. Turunan dari f(x) = x3 diberikan oleh f'(x) = 3x2.
Kita tahu bahwa kuadrat suatu bilangan selalu lebih besar atau sama dengan 0,
oleh karena itu kita mempunyai f'(x) = 3x2 ≥ 0 untuk semua x. Jadi
f(x) = x3 merupakan fungsi naik.
Sifat-sifat Fungsi Naik dan Turun
Karena
kita sudah mengetahui cara memeriksa apakah suatu fungsi naik atau turun, mari
kita bahas sifat-sifat aljabar fungsi naik dan turun:
Jika
fungsi f dan g merupakan fungsi naik pada interval terbuka I, maka jumlah
fungsi f + g juga naik pada interval tersebut.
Jika
fungsi f dan g merupakan fungsi turun pada interval terbuka I, maka jumlah
fungsi f + g juga Turun pada interval tersebut.
Jika
fungsi f merupakan fungsi naik pada interval terbuka I, maka fungsi
kebalikannya -f Turun pada interval tersebut.
Jika
fungsi f merupakan fungsi turun pada interval terbuka I, maka fungsi
kebalikannya -f naik pada interval tersebut.
Jika
fungsi f merupakan fungsi naik pada interval terbuka I, maka invers fungsi 1/f turun
pada interval tersebut.
Jika
fungsi f merupakan fungsi Turun pada interval terbuka I, maka invers fungsi 1/f
naik pada interval tersebut.
Jika
fungsi f dan g merupakan fungsi naik pada interval terbuka I dan fg ≥ 0 pada I,
maka hasil kali fungsi fg juga naik pada interval tersebut.
Jika
fungsi f dan g merupakan fungsi Turun pada interval terbuka I dan fg ≥ 0 pada
I, maka hasil kali fungsi fg juga Turun pada interval tersebut.
Catatan Penting tentang Fungsi Naik dan Turun
Turunan
pertama suatu fungsi digunakan untuk memeriksa fungsi naik dan turun.
Fungsi
naik dan turun disebut juga fungsi tidak turun dan fungsi tidak naik.
Contoh 1:
Tentukan interval di mana f(x) = xe-x bertambah dengan menggunakan
aturan fungsi naik dan turun.
Penyelesaian:
Untuk menentukan interval kenaikan f(x), mari kita cari turunan dari f(x).
f(x)
= xe-x
f'(x)
= e-x - xe-x
= e-x(1 - x)
Untuk
menentukan titik kritis, samakan f'(x) dengan 0, yaitu,
e-x(1
- x) = 0 ⇒ x =
1 [Karena fungsi eksponensial tidak bisa sama dengan 0]
Untuk
x < 1, (1 - x) > 0 ⇒ e-x
(1 - x) > 0 [karena eksponensial selalu positif]
Untuk
x > 1, (1 - x) < 0 ⇒ e-x
(1 - x) < 0 [karena eksponensial selalu positif]
Oleh
karena itu, kita mempunyai f'(x) > 0 untuk x < 1. Oleh karena itu,
interval di mana f(x) = xe-x bertambah pada (-∞, 1).
Jawaban: f(x)
= xe-x bertambah pada (-∞, 1)
Contoh 2:
Gunakan grafik turunan fungsi f'(x) untuk menentukan interval dimana fungsi f(x)
naik atau turun.
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa agar fungsi terdiferensiasi f(x) naik pada interval I, kita
memerlukan f'(x) > 0 agar semua x di I dan atau fungsi terdiferensiasi f(x) turun
pada interval I, kita perlu mempunyai f'(x) < 0 untuk semua x di I.
Seperti
terlihat pada gambar di atas, grafik f'(x) > 0 (di atas sumbu x) pada
interval (-2, 2) dan grafik f'(x) < 0 (di bawah sumbu x) ) pada interval
(-∞, -2) dan (2, ∞). Oleh karena itu, fungsi f(x) naik pada (-2, 2) dan turun
pada (-∞, -2) ∪ (2,
∞).
Jawaban: Interval dimana f(x)
naik adalah (-2, 2) dan dimana f(x) turun adalah (-∞, -2) ∪ (2, ∞).
