20 Oktober

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

 Persamaan linear adalah persamaan garis lurus yang pangkat variabelnya adalah 1. Persamaan ini dinyatakan sebagai ax + b = 0, dengan x adalah variabel dan a dan b adalah bilangan rasional atau bilangan bulat. Pertidaksamaan adalah pernyataan perbandingan antara dua persamaan. Pertidaksamaan Linear adalah dua persamaan yang nilainya dibandingkan dengan simbol pertidaksamaan seperti <, >, ≤ atau ≥. Persamaan dan Pertidaksamaan linear satu variabel hanya memiliki satu solusi atau satu akar.

Contoh persamaan dan pertidaksamaan linear satu variable:

2x = 4

2a + 3 = 9

3m + 7 < -2

4p - 5 > 2p + 11,     dan  dst.

 

Apa itu Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel?

Persamaan aljabar adalah pernyataan yang menyamakan dua ekspresi matematika. Persamaan linear adalah persamaan tingkat pertama dan memiliki eksponen variabel tertinggi yaitu 1. Bentuk baku persamaan linear dengan satu variabel adalah ax + b = 0, di mana x adalah variabel. Ini berarti bahwa variabel dalam persamaan linear tidak memiliki eksponen seperti kuadrat (pangkat dua) atau kubik (pangkat tiga). Persamaan ini memiliki satu variabel (tidak diketahui); persamaan ini berbentuk linear, yaitu pola yang dibuatnya berupa garis lurus (bukan parabola atau kurva tidak lurus) dan merupakan persamaan atau pertidaksamaan.

Berikut adalah contoh persamaan linear y = 2x + 3 yang diplot pada grafik sebagai garis lurus.


 Berikut adalah grafik lain yang menunjukkan grafik pertidaksamaan. Grafik pada garis biru ini menunjukkan x ≥ - 4.


Setiap persamaan atau pertidaksamaan matematika memiliki 2 sisi. Sisi Kiri dan Sisi Kanan. Dalam kasus persamaan, 2 sisinya sama, yaitu, Sisi Kiri sama dengan Sisi Kanan. Misalnya, 2 tambah 4 sama dengan enam adalah persamaan yang dinyatakan dalam kata-kata.

Contoh persamaan linear dalam satu variabel: x + 5 = 4; 2x + 5 = 15.

Cara terbaik untuk memvisualisasikan persamaan dan pertidaksamaan adalah dengan membayangkan timbangan.

Perhatikan persamaan yang digambarkan dengan timbangan berikut.


Pertidaksamaan linear aljabar mirip dengan persamaan linear aljabar. Yang membedakan hanya tanda sama dengan diganti dengan tanda pertidaksamaan. Dalam kasus pertidaksamaan, alih-alih persamaan, beberapa hubungan lain seperti kurang dari atau lebih besar dari ada antara sisi kiri dan sisi kanan.Contoh: x < 10, pertidaksamaan berlaku antara sisi kiri dan sisi kanan.

 Berikut adalah contoh pertidaksamaan di mana sisi kanan ≠ sisi kiri. Dalam ilustrasi di bawah ini kita dapat melihat bahwa ekspresi di sisi kiri, yaitu, 3x - 4, sebenarnya lebih kecil daripada angka di sisi kanan, yaitu 20. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan pertidaksamaan sebagai: 3x - 4 < 20.



Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Ketika kita mensubstitusikan variabel dengan bilangan bulat, pernyataan yang dihasilkan bisa bernilai benar atau salah. Jika pernyataan itu benar, maka bilangan bulat tersebut adalah solusi untuk persamaan atau pertidaksamaan tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan linear yang hanya memiliki satu variabel, ikuti langkah-langkah berikut sambil tetap menyeimbangkan persamaan tersebut.

Langkah-langkahnya sebagai berikut.

1.    Menambahkan atau mengurangi suku-suku yang sama

2.    Mengelompokkan variabel

3.    Mengubah atau menghilangkan (mengeliminasi) suku-suku tersebut

4.    Memverifikasi/mengecek jawaban.

 

Contoh: 1)

Menyelesaikan: 5x + 2 = 12

Pertahankan variabel di sisi kiri dan ubah semua suku lainnya atau konstanta ke sisi kanan. Ingat: Ketika memindahkan suku atau konstanta, lawankan tandanya.

5x = 12 - 2

5x = 10

 x = 2  (Kedua ruas dibagi 5)

 

Verifikasi atau cek apakah x = 2 dalam persamaan linear yang diberikan.

 

Contoh: 2)

Selesaikan: 2(2 – 4x) > -6x + 10

Pertahankan variabel di sisi kiri dan ubah semua suku lainnya atau konstanta ke sisi kanan. Ingat: Ketika memindahkan suku atau konstanta, lawankan tandanya.

2(2 – 4x) > -6x + 10

    4 – 8x > -6x + 10     (Jabarkan perkalian di dalam kurung)

 -8x + 6x > 10 – 4        (Suku-suku sejenis digabungkan dengan pindah ruas)

         -2x > 6

         2x > -6              (Kedua ruas dikalikan -1 dan tanda ketidaksamaan dibalik)

           x < -3              (Kedua ruas dibagi 2)

 

Verifikasi atau cek apakah x < -3 dalam persamaan linear yang diberikan.


Demikianlah sekilas materi persamaan dan pertidaksamaan satu variable.

Semoga Bermanfaat.


17 Oktober

FUNGSI LOGARITMA _ Dasar

 Fungsi logaritma merupakan media penting dalam perhitungan matematika. Logaritma ditemukan pada abad ke-16 oleh John Napier, seorang matematikawan, ilmuwan, dan astronom Skotlandia. Fungsi ini memiliki banyak aplikasi dalam perhitungan astronomi dan ilmiah yang melibatkan angka-angka besar. Fungsi logaritma berkaitan erat dengan fungsi eksponensial dan dianggap sebagai kebalikan dari fungsi eksponensial. Fungsi eksponensial ax = N diubah menjadi fungsi logaritma alog N = x.

Logaritma dari setiap angka N jika diartikan sebagai bentuk eksponensial, maka eksponen yang harus dinaikkan basis logaritmanya. Hal ini untuk memperoleh angka N. Tujuan kita di sini adalah untuk mengetahui lebih lanjut tentang fungsi logaritma, jenis-jenis logaritma, grafik fungsi logaritma, dan sifat-sifat logaritma.

 

Apa itu Fungsi Logaritma?

Fungsi logaritma dasar berbentuk f(x) = alog x atau y = alog x, di mana a > 0. Fungsi ini merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial ay = x. Fungsi logaritma mencakup logaritma natural (ln) atau logaritma umum (log). Berikut ini adalah beberapa contoh fungsi logaritma:

 

f(x) = ln (x - 2)

g(x) = 2log (x + 5) - 2

h(x) = 2 log (x2 – 4)

 

Beberapa nilai eksponen dapat dihitung dengan mudah menggunakan fungsi logaritma. Menemukan nilai x dalam ekspresi eksponensial 2x = 8, 2x = 16 sangat mudah dilakukan. Akan tetapi menemukan nilai x dalam 2x = 10 atau 3x = 36 sangat sulit. Di sini kita dapat menggunakan fungsi logaritma untuk mengubah 2x = 10 menjadi bentuk logaritma sebagai 2log 10 = x dan kemudian menemukan nilai x. Logaritma menghitung jumlah kemunculan basis dalam kelipatan berulang. Rumus untuk mengubah fungsi eksponensial menjadi fungsi logaritma adalah sebagai berikut.

 

Fungsi eksponensial dalam bentuk ax = N dapat diubah menjadi fungsi logaritma alog N = x. Logaritma umumnya dihitung dengan basis 10, dan nilai logaritma dari angka apa pun dapat ditemukan menggunakan tabel logaritma Napier. Logaritma dapat dihitung untuk bilangan bulat positif, pecahan, desimal, tetapi tidak dapat dihitung untuk nilai negatif.

 

Domain dan Range Fungsi Logaritma

Mari kita perhatikan fungsi logaritma umum dasar (induk) f(x) = log x (atau y = log x). Kita tahu bahwa log x didefinisikan hanya ketika x > 0. Coba carilah nilai log 0, log (-1), log (-2), dan log (-18) menggunakan kalkulator Anda. Apa yang terjadi? Anda akan mendapatkan kesalahan. Jadi, domain adalah himpunan semua bilangan riil positif. Sekarang, kita akan mengamati beberapa nilai y (output) dari fungsi untuk nilai x (input) yang berbeda.

 

Ketika x = 1, maka nilai y = log 1 = 0

Ketika x = 2, maka nilai y = log 2 = 0,3010

Ketika x = 0,2, maka nilai y = log (0,2) = -0,6990

Ketika x = 0,01, maka nilai y = log (0,01)=  -2, dst.

Kita dapat melihat bahwa y dapat berupa bilangan riil positif atau negatif (atau) dapat juga nol. Jadi, y dapat mengambil nilai dari bilangan riil apa pun. Oleh karena itu, rentang fungsi logaritma adalah himpunan semua bilangan riil.

 

Jadi, domain fungsi log y = log x adalah x > 0 (atau) (0, ∞). Rentang nilai fungsi logaritma apa pun adalah himpunan semua bilangan riil (R)

Contoh:

Carilah domain dan rentang fungsi logaritma f(x) = 2log (2x - 4) + 5.

Solusi:

Untuk mencari domain, tetapkan argumen fungsi lebih besar dari 0 dan selesaikan untuk x.

 

2x - 4 > 0

     2x > 4

      x > 2

Jadi, domain = (2, ∞).

 

Seperti yang telah kita lihat sebelumnya, rentang nilai fungsi logaritma apa pun adalah R. Jadi, rentang f(x) adalah R.

 

Grafik Logaritma

Kita telah melihat bahwa domain fungsi logaritma dasar y = alog x adalah himpunan bilangan riil positif dan rentangnya adalah himpunan semua bilangan riil. Kita tahu bahwa fungsi eksponensial dan log merupakan invers satu sama lain dan karenanya grafiknya simetris terhadap garis y = x. Perhatikan juga bahwa y = 0 ketika x = 0 karena y = alog 1 = 0 untuk sembarang 'a'. Jadi, semua fungsi tersebut memiliki titik potong x (1, 0). Fungsi logaritma tidak memiliki titik potong y karena alog 0 tidak didefinisikan. Merangkum semua ini, grafik fungsi eksponensial dan grafik logaritma terlihat seperti di bawah ini.

 

Sifat-Sifat Grafik Logaritma

Untuk a > 0 dan a ≠ 1

Grafik logaritma meningkat ketika a > 1, dan menurun ketika 0 < a < 1.

Domain diperoleh dengan menetapkan argumen fungsi lebih besar dari 0.

Range adalah himpunan semua bilangan riil.

 

Sifat-Sifat Fungsi Logaritma

Sifat-Sifat fungsi logaritma berguna untuk bekerja di seluruh fungsi logaritma yang kompleks. Semua operasi aritmatika umum di seluruh angka diubah menjadi serangkaian operasi yang berbeda dalam logaritma. Hasil perkalian dua bilangan, jika diambil dalam fungsi logaritma sama dengan jumlah nilai logaritma kedua fungsi tersebut. Demikian pula, operasi pembagian diubah menjadi selisih logaritma kedua bilangan tersebut. Mari kita daftarkan sifat-sifat penting fungsi logaritma pada poin-poin di bawah ini.


Demikian sedikit tentang pengenalan logaritma.

Semoga bermanfaat.





16 Oktober

Fungsi dan Komposisi Fungsi

Komposisi Fungsi adalah proses atau operasi yang menggabungkan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi. Kita mendefinisikan fungsi sebagai serangkaian operasi yang beroperasi pada serangkaian nilai dan memberikan keluaran yang diinginkan. Misalkan f adalah fungsi, katakanlah fungsi yang menggambar sketsa buah yang namanya kita masukkan, di sini, nama yang kita berikan adalah nilai masukan dan sketsa buah adalah nilai keluaran. Demikian pula, bayangkan fungsi lain g yang mewarnai sketsa yang diberikan.

 

Sekarang komposisi fungsi mengambil dua fungsi dan menjadikannya satu fungsi, kita mendefinisikan fungsi ini sebagai g[f(nama buah)].

Dalam hal ini : f(nama buah) adalah fungsi pertama

                     g(sketsa buah) adalah fungsi kedua

                     g[f(nama buah)] adalah komposisi kedua fungsi ini

Mari pelajari tentang Komposisi Fungsi, perhitungannya, domain, dan rentangnya secara terperinci dalam artikel ini.

 

Apa itu Komposisi Fungsi?

Komposisi fungsi adalah pembuatan atau pembentukan fungsi kompleks menggunakan fungsi sederhana. Misalkan kita mengambil dua fungsi f(x) dan g(x) yang keduanya mengambil x sebagai nilai input dan memberikan output spesifik, maka komposisi fungsi f(x) dan g(x) ketika f(x) pertama kali dihitung adalah g(f(x)) atau (gf)(x). Jika g(x) pertama kali dihitung, maka komposisinya f(x) dan g(x) adalah f(g(x)). Kita dapat memahami konsep ini dengan contoh berikut,

 

Contoh:

Diketahui f(x) = 4x dan g(x) = 2x + 3. Tentukan komposisi g(f(x)) dan f(g(x)).

Jawab:

g(f(x)) = 2f(x) + 3

          = 2(4x) + 3

          = 8x + 3

Jadi, g(f(x)) = 8x + 3

 

f(g(x)) = 4g(x)

           = 4(2x + 3)

           = 8x + 12

Jadi, f(g(x)) = 8x + 12

 

Nah, beda hasilnya ‘kan?

 Perhatikan bahwa g(f(x)) tidak sama dengan f(g(x)), keduanya bisa atau tidak bisa sama tergantung pada fungsi f(x) dan g(x). Komposisi suatu fungsi juga disebut fungsi dari suatu fungsi. Jadi, kita dapat mengatakan bahwa,

 Untuk f(g(x)) dapat dimaknai g(x) adalah input dari fungsi f(x).

Untuk g(f(x)) dapat dimaknai f(x) adalah input dari fungsi g(x).

Kita dapat memahami konsep ini dengan bantuan gambar di bawah ini. 



Simbol Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi direpresentasikan menggunakan simbol . Kita juga dapat merepresentasikan komposisi fungsi hanya dengan menggunakan tanda kurung (). Untuk dua fungsi yang diberikan f(x) dan g(x) kita dapat menemukan komposisi fungsi dengan menggunakan rumus berikut.

 

(fg)(x) = f(g(x))

 

Fungsi di atas dibaca sebagai “f dari g dari x”. Di sini, pertama x diteruskan ke g(x) yang memberikan jawaban dalam x, lalu jawaban diteruskan ke f(x) untuk menemukan komposisi fungsi yang diinginkan.

 

(gf)(x) = g(f(x))

 

Fungsi di atas dibaca sebagai “g dari f dari x”. Di sini, pertama x diteruskan ke f(x) yang memberikan jawaban dalam x , lalu jawaban diteruskan ke g(x) untuk menemukan komposisi fungsi yang diinginkan.

 

Contoh:

Jika f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 4x2 cari, f(g(x)) dan g(f(x)).

Jawaban:

f(g(x)) = 3g(x)+ 2

           = 3(4x2) + 2

           = 12x2 + 12

Jadi, f(g(x)) = 12x + 12

 

g(f(x)) = 4(f(x)2)

          = 4(3x + 2)2

          = 4(9x2 + 12x + 4)

=36x2 + 48x + 16

Jadi, g(f(x)) = 36x2 + 48x + 16

 

Demikianlah materi sekilas fungsi dan komposisi fungsi yang kami sampaikan.

Semoga Bermanfaat.



15 Oktober

Bahas Rumus Suku ke-n Barisan Geometri Dan Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri

 Deret geometri adalah jenis deret khusus. Deret ini adalah deret yang setiap sukunya (kecuali suku pertama) dikalikan dengan bilangan konstan untuk mendapatkan suku berikutnya. Yaitu, untuk mendapatkan suku berikutnya dalam deret geometri, kita harus mengalikannya dengan bilangan yang tetap (dikenal sebagai rasio), dan untuk menemukan suku sebelumnya dalam deret tersebut, kita hanya perlu membagi suku tersebut dengan rasio yang sama.

Berikut ini adalah contoh deret geometri:

 3, 6, 12, 24, 48, ...... memiliki rasio 2.

 2, 6, 18, 54, 162, ...... memiliki rasio 3.

 

Rasio persekutuan deret geometri dapat berupa negatif atau positif tetapi tidak boleh 0. Di sini, kita mempelajari rumus deret geometri berikut:

Suku ke-n deret geometri

Rumus rekursif deret geometri

Jumlah deret geometri berhingga

Jumlah deret geometri tak terhingga

Deret geometri dapat berhingga atau tak terhingga. Di sini kita akan mempelajari lebih lanjut tentang masing-masing rumus deret geometri yang disebutkan di atas beserta bukti dan contohnya.

 

Apa itu Deret Geometri?

Deret geometri adalah jenis deret khusus yang rasio setiap dua suku yang berurutan adalah konstanta. Rasio ini dikenal sebagai rasio umum deret geometri. Dengan kata lain, dalam deret geometri, setiap suku dikalikan dengan konstanta yang menghasilkan suku berikutnya. Jadi, deret geometri berbentuk:

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, … ,  di mana 'a' adalah suku pertama dan 'r' adalah rasio.

Rasio umum dapat berupa angka positif atau negatif.




Ada dua jenis deret geometri berdasarkan jumlah suku di dalamnya yaitu Deret geometri berhingga dan deret geometri tak hingga.

 

Deret Geometri Berhingga

Deret geometri berhingga adalah deret geometri yang memuat suku-suku berhingga. Yaitu, suku terakhirnya didefinisikan.

Misalnya 2, 6, 18, 54, ...., 1.458 adalah deret geometri berhingga yang suku terakhirnya adalah 1.458.

 

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang memuat suku-suku tak hingga jumlahnya. Yaitu, suku terakhirnya tidak terdefinisi (tidak terbatas).

Misalnya: 2, −4, 8, −16, ... adalah deret tak hingga yang suku terakhirnya tidak terdefinisi (tidak tahu angka terakhir).

 

Rumus Deret Geometri

Berikut adalah daftar semua rumus deret geometri.

Untuk deret geometri apapun : a, ar, ar2, ar3, ...

Suku ke-n, Un = arn - 1

Jumlah n suku pertama, 



Tag:

suku ke-n dan jumlah n suku pertama barisan deret geometri

suku ke-n jumlah n suku pertama deret geometri

suku ke n pada barisan bilangan bertingkat

rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika

rumus deret geometri jumlah n suku pertama

jumlah suku ke n deret geometri

menentukan un barisan geometri

rumus suku ke-n barisan geometri brainly

jumlah suku ke n pertama dari suku suku barisan geometri

jumlah suku ke-n barisan geometri

deret geometri jumlah suku pertama

n suku pertama pada barisan geometri

n suku pertama pada deret geometri

11 Oktober

BAHAS SOAL SKPD TIU CPNS _ MATEMATIKA DASAR (Soal Cerita)

 Berikut ini akan kita bahas beberapa contoh soal tes CPNS Matematika Dasar yang modelnya sering keluar. Soal Tes SKPD TIU CPNS Matematika Dasar ini sebenarnya soal yang pernah diajarkan di SMP.



Yuk, kita bahas beberapa soal ini, semoga Anda bisa mengerjakan soal pada saat menjalani test yang sesungguhnya.

 

Soal 1.

Sebuah barang dibeli dengan mendapat untung 15 persen. Jika untung yang diperoleh sebesar Rp21.000,00 maka harga jual barang tersebut adalah...

A. Rp161.000,00

B. Rp160.000,00

C. Rp155.000,00

D. Rp151.000,00

E. Rp140.000,00

 

Jawaban: A

Tips:

Jika barang yang dijual untung 15%, berarti persentase harga jualnya 100% + 15% = 115%.

Sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut.

Kalau 15% senilai Rp21.000,00

Kalau 115% senilai berapa? (yang ditanyakan (Hj))

Cara hitung:

Soal 2.

Perbandingan uang Mawar dan Melati adalah 3 : 7. Jika uang Melati Rp210.000,00 maka berapakah selisih uang keduanya?

A. Rp90.000,00

B. Rp190.000,00

C. Rp120.000,00

D. Rp130.000,00

E. Rp150.000,00

 

Jawaban: C

Tips:

Nilai pembanding Mawar = 3

Nilai pembanding Melati = 7, adapun uangnya Rp210.000,00

Selisih pembanding = 7 – 3 = 4, berapa nilai uangnya?

Cara hitung:


Soal 3.

Pada awal tahun 2014, sebuah supermarket menjual pakaian dengan diskon besar-besaran. Ayah membeli kemeja dengan mendapat diskon 10 persen dari harga awal dan diskon tambahan 30 persen dari harga kemeja setelah didiskon 10 persen. Jika Ayah membayar dengan harga Rp126.000,00 harga kemeja tersebut sebelum ada diskon adalah...

A. Rp175.000,00

B. Rp176.400,00

C. Rp180.000,00

D. Rp200.000,00

E. Rp315.000,00

Jawaban: D

Tips:

Jika ada persentase diskon, maka pikirkan persentase yang harus dibayar.

Misal: jika barang didiskon 25%, maka yang kita pikirkan membayar 75%.

jika barang didiskon 20%, maka yang kita pikirkan membayar 80%.

Paham Yaaa....

Fokus pada soal.

Kemeja didiskon (1) sebesar 10%, berarti membayar 90%.

Kemudian didiskon (2) sebesar 30%, berarti membayar 70%.

Jadi setelah didiskon sebanyak dua kali maka, membayar sebesar = 90% x 70%.

 

Cara hitung:

Diketahu harga setelah didiskon Rp126.000,00

Ingat rumus ini:

Persentase membayar x Harga jual Mula-mula = Harga yang dibayar

Berarti:


Demikian Tiga contoh Soal Cerita yang sering keluar dalam tes SKD TIU CPNS.

Masih banyak tipe soal yang lain yang bisa untuk latihan.

Semoga bermanfaat.



MAU BUKU UNTUK LATIHAN?

SILAKAN BELI DISINI



atau di sini









28 Juni

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi naik dan turun adalah fungsi dalam kalkulus yang nilai f(x) bertambah dan berkurang masing-masing seiring bertambahnya nilai x. Turunan fungsi f(x) digunakan untuk memeriksa perilaku fungsi naik dan turun. Fungsi dikatakan naik jika nilai f(x) bertambah seiring bertambahnya nilai x dan fungsi dikatakan turun jika nilai f(x) turun seiring bertambahnya nilai x.

 

Pada artikel kali ini, kita akan mempelajari konsep fungsi naik dan turun, sifat-sifatnya, representasi grafis, dan teorema untuk menguji fungsi naik dan turun beserta contohnya untuk pemahaman yang lebih baik.

 

Apa yang dimaksud dengan Fungsi Naik dan Fungsi Turun?

Fungsi naik dan turun adalah fungsi yang grafiknya masing-masing bergerak ke atas dan ke bawah jika kita bergerak ke arah sisi kanan sumbu x. Fungsi naik dan turun disebut juga fungsi tidak naik dan fungsi tidak naik. Mari kita lihat definisi formal fungsi naik dan turun untuk memahami maknanya:

 

Definisi Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi Naik - Suatu fungsi f(x) dikatakan naik pada interval I jika untuk dua bilangan x dan y di I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) ≤ f(y).

Fungsi Turun - Suatu fungsi f(x) dikatakan turun pada interval I jika untuk dua bilangan x dan y pada I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) ≥ f(y).

Fungsi Monoton Naik - Suatu fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk dua bilangan x dan y di I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) < f(y).

Fungsi Monoton Turun - Suatu fungsi f(x) dikatakan monoton turun pada interval I jika untuk dua bilangan x dan y di I sehingga x < y, kita mempunyai f(x) > f(y).

 

Representasi Grafis dari Fungsi Naik dan Turun

Setelah kita mengetahui pengertian dan definisi fungsi naik dan turun, mari kita lihat representasi grafis fungsi naik dan turun yang akan membantu kita memahami perilaku fungsi tersebut.

  

Grafik di atas menunjukkan representasi grafis dari fungsi naik tajam, turun tajam, naik dan turun. Seperti yang dapat kita lihat pada grafik di atas, fungsi yang naik berisi interval yang naik secara ketat dan interval di mana fungsinya konstan. Demikian pula, fungsi Turun terdiri dari interval di mana fungsinya Turun tajam dan fungsinya konstan.

 

Aturan untuk Memeriksa Fungsi Naik dan Turun

Kita menggunakan turunan suatu fungsi untuk memeriksa apakah fungsi tersebut naik atau turun. Misalkan suatu fungsi f(x) terdiferensialkan pada interval terbuka I, maka kita punya

 

Jika f'(x) ≥ 0 pada I, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi naik pada I.

Jika f'(x) ≤ 0 pada I, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi Turun pada I.

Contoh: Mari kita perhatikan sebuah contoh untuk memahami konsep dengan lebih baik. Pertimbangkan f(x) = x3 yang didefinisikan untuk semua bilangan real. Turunan dari f(x) = x3 diberikan oleh f'(x) = 3x2. Kita tahu bahwa kuadrat suatu bilangan selalu lebih besar atau sama dengan 0, oleh karena itu kita mempunyai f'(x) = 3x2 ≥ 0 untuk semua x. Jadi f(x) = x3 merupakan fungsi naik.

 

Sifat-sifat Fungsi Naik dan Turun

Karena kita sudah mengetahui cara memeriksa apakah suatu fungsi naik atau turun, mari kita bahas sifat-sifat aljabar fungsi naik dan turun:

 

Jika fungsi f dan g merupakan fungsi naik pada interval terbuka I, maka jumlah fungsi f + g juga naik pada interval tersebut.

Jika fungsi f dan g merupakan fungsi turun pada interval terbuka I, maka jumlah fungsi f + g juga Turun pada interval tersebut.

Jika fungsi f merupakan fungsi naik pada interval terbuka I, maka fungsi kebalikannya -f Turun pada interval tersebut.

Jika fungsi f merupakan fungsi turun pada interval terbuka I, maka fungsi kebalikannya -f naik pada interval tersebut.

Jika fungsi f merupakan fungsi naik pada interval terbuka I, maka invers fungsi 1/f turun pada interval tersebut.

Jika fungsi f merupakan fungsi Turun pada interval terbuka I, maka invers fungsi 1/f naik pada interval tersebut.

Jika fungsi f dan g merupakan fungsi naik pada interval terbuka I dan fg ≥ 0 pada I, maka hasil kali fungsi fg juga naik pada interval tersebut.

Jika fungsi f dan g merupakan fungsi Turun pada interval terbuka I dan fg ≥ 0 pada I, maka hasil kali fungsi fg juga Turun pada interval tersebut.

 

Catatan Penting tentang Fungsi Naik dan Turun

Turunan pertama suatu fungsi digunakan untuk memeriksa fungsi naik dan turun.

Fungsi naik dan turun disebut juga fungsi tidak turun dan fungsi tidak naik.

  

Contoh 1: Tentukan interval di mana f(x) = xe-x bertambah dengan menggunakan aturan fungsi naik dan turun.

 

Penyelesaian: Untuk menentukan interval kenaikan f(x), mari kita cari turunan dari f(x).

 

f(x) = xe-x

f'(x) = e-x - xe-x

       = e-x(1 - x)

 

Untuk menentukan titik kritis, samakan f'(x) dengan 0, yaitu,

e-x(1 - x) = 0 x = 1 [Karena fungsi eksponensial tidak bisa sama dengan 0]

Untuk x < 1, (1 - x) > 0 e-x (1 - x) > 0 [karena eksponensial selalu positif]

Untuk x > 1, (1 - x) < 0 e-x (1 - x) < 0 [karena eksponensial selalu positif]

Oleh karena itu, kita mempunyai f'(x) > 0 untuk x < 1. Oleh karena itu, interval di mana f(x) = xe-x bertambah pada (-∞, 1).

 

Jawaban: f(x) = xe-x bertambah pada (-∞, 1)

 

 

Contoh 2: Gunakan grafik turunan fungsi f'(x) untuk menentukan interval dimana fungsi f(x) naik atau turun.

 

Penyelesaian: Kita tahu bahwa agar fungsi terdiferensiasi f(x) naik pada interval I, kita memerlukan f'(x) > 0 agar semua x di I dan atau fungsi terdiferensiasi f(x) turun pada interval I, kita perlu mempunyai f'(x) < 0 untuk semua x di I.

 




Seperti terlihat pada gambar di atas, grafik f'(x) > 0 (di atas sumbu x) pada interval (-2, 2) dan grafik f'(x) < 0 (di bawah sumbu x) ) pada interval (-∞, -2) dan (2, ∞). Oleh karena itu, fungsi f(x) naik pada (-2, 2) dan turun pada (-∞, -2) (2, ∞).

 

Jawaban: Interval dimana f(x) naik adalah (-2, 2) dan dimana f(x) turun adalah (-∞, -2) (2, ∞).