FUNGSI LOGARITMA _ Dasar

 Fungsi logaritma merupakan media penting dalam perhitungan matematika. Logaritma ditemukan pada abad ke-16 oleh John Napier, seorang matematikawan, ilmuwan, dan astronom Skotlandia. Fungsi ini memiliki banyak aplikasi dalam perhitungan astronomi dan ilmiah yang melibatkan angka-angka besar. Fungsi logaritma berkaitan erat dengan fungsi eksponensial dan dianggap sebagai kebalikan dari fungsi eksponensial. Fungsi eksponensial a^x = N diubah menjadi fungsi logaritma ^alog N = x.

Logaritma dari setiap angka N jika diartikan sebagai bentuk eksponensial, maka eksponen yang harus dinaikkan basis logaritmanya. Hal ini untuk memperoleh angka N. Tujuan kita di sini adalah untuk mengetahui lebih lanjut tentang fungsi logaritma, jenis-jenis logaritma, grafik fungsi logaritma, dan sifat-sifat logaritma.

 

Apa itu Fungsi Logaritma?

Fungsi logaritma dasar berbentuk f(x) = ^alog x atau y = ^alog x, di mana a > 0. Fungsi ini merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial a^y = x. Fungsi logaritma mencakup logaritma natural (ln) atau logaritma umum (log). Berikut ini adalah beberapa contoh fungsi logaritma:

 

f(x) = ln (x - 2)

g(x) = ²log (x + 5) - 2

h(x) = 2 log (x² – 4)

 

Beberapa nilai eksponen dapat dihitung dengan mudah menggunakan fungsi logaritma. Menemukan nilai x dalam ekspresi eksponensial 2^x = 8, 2^x = 16 sangat mudah dilakukan. Akan tetapi menemukan nilai x dalam 2^x = 10 atau 3^x = 36 sangat sulit. Di sini kita dapat menggunakan fungsi logaritma untuk mengubah 2^x = 10 menjadi bentuk logaritma sebagai ²log 10 = x dan kemudian menemukan nilai x. Logaritma menghitung jumlah kemunculan basis dalam kelipatan berulang. Rumus untuk mengubah fungsi eksponensial menjadi fungsi logaritma adalah sebagai berikut.

 

Fungsi eksponensial dalam bentuk a^x = N dapat diubah menjadi fungsi logaritma ^alog N = x. Logaritma umumnya dihitung dengan basis 10, dan nilai logaritma dari angka apa pun dapat ditemukan menggunakan tabel logaritma Napier. Logaritma dapat dihitung untuk bilangan bulat positif, pecahan, desimal, tetapi tidak dapat dihitung untuk nilai negatif.

 

Domain dan Range Fungsi Logaritma

Mari kita perhatikan fungsi logaritma umum dasar (induk) f(x) = log x (atau y = log x). Kita tahu bahwa log x didefinisikan hanya ketika x > 0. Coba carilah nilai log 0, log (-1), log (-2), dan log (-18) menggunakan kalkulator Anda. Apa yang terjadi? Anda akan mendapatkan kesalahan. Jadi, domain adalah himpunan semua bilangan riil positif. Sekarang, kita akan mengamati beberapa nilai y (output) dari fungsi untuk nilai x (input) yang berbeda.

 

Ketika x = 1, maka nilai y = log 1 = 0

Ketika x = 2, maka nilai y = log 2 = 0,3010

Ketika x = 0,2, maka nilai y = log (0,2) = -0,6990

Ketika x = 0,01, maka nilai y = log (0,01)=  -2, dst.

Kita dapat melihat bahwa y dapat berupa bilangan riil positif atau negatif (atau) dapat juga nol. Jadi, y dapat mengambil nilai dari bilangan riil apa pun. Oleh karena itu, rentang fungsi logaritma adalah himpunan semua bilangan riil.

 

Jadi, domain fungsi log y = log x adalah x > 0 (atau) (0, ∞). Rentang nilai fungsi logaritma apa pun adalah himpunan semua bilangan riil (R)

Contoh:

Carilah domain dan rentang fungsi logaritma f(x) = ²log (2x - 4) + 5.

Solusi:

Untuk mencari domain, tetapkan argumen fungsi lebih besar dari 0 dan selesaikan untuk x.

 

2x - 4 > 0

     2x > 4

      x > 2

Jadi, domain = (2, ∞).

 

Seperti yang telah kita lihat sebelumnya, rentang nilai fungsi logaritma apa pun adalah R. Jadi, rentang f(x) adalah R.

 

Grafik Logaritma

Kita telah melihat bahwa domain fungsi logaritma dasar y = ^alog x adalah himpunan bilangan riil positif dan rentangnya adalah himpunan semua bilangan riil. Kita tahu bahwa fungsi eksponensial dan log merupakan invers satu sama lain dan karenanya grafiknya simetris terhadap garis y = x. Perhatikan juga bahwa y = 0 ketika x = 0 karena y = ^alog 1 = 0 untuk sembarang 'a'. Jadi, semua fungsi tersebut memiliki titik potong x (1, 0). Fungsi logaritma tidak memiliki titik potong y karena ^alog 0 tidak didefinisikan. Merangkum semua ini, grafik fungsi eksponensial dan grafik logaritma terlihat seperti di bawah ini.

 

Sifat-Sifat Grafik Logaritma

Untuk a > 0 dan a ≠ 1

Grafik logaritma meningkat ketika a > 1, dan menurun ketika 0 < a < 1.

Domain diperoleh dengan menetapkan argumen fungsi lebih besar dari 0.

Range adalah himpunan semua bilangan riil.

 

Sifat-Sifat Fungsi Logaritma

Sifat-Sifat fungsi logaritma berguna untuk bekerja di seluruh fungsi logaritma yang kompleks. Semua operasi aritmatika umum di seluruh angka diubah menjadi serangkaian operasi yang berbeda dalam logaritma. Hasil perkalian dua bilangan, jika diambil dalam fungsi logaritma sama dengan jumlah nilai logaritma kedua fungsi tersebut. Demikian pula, operasi pembagian diubah menjadi selisih logaritma kedua bilangan tersebut. Mari kita daftarkan sifat-sifat penting fungsi logaritma pada poin-poin di bawah ini.

Demikian sedikit tentang pengenalan logaritma.

Semoga bermanfaat.