Bahas Soal UJIAN SEKOLAH DAN UJIAN NASIONAL SMP/MTS Bab Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

 

Sistem persamaan linear dua variabel merupakan materi yang menarik untuk dipelajari. Materi ni banyak diterapkan dalam kehodupan sehari-hari. Sehingga banyak soal cerita yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear dua variabel banyak keluar dalam soal-soal ujian sekolah maupun soal ujian nasional.

Karena pentingnya materi sistem persamaan linear dua variabel ini, maka akan kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear dua variabel.

Dengan beberapa contoh soal ini semoga menjadikan Anda paham tentang sistem persamaan linear dua variabel.

Perlu diketahui bahwa untuk menyelesaiakan soal sistem persamaan linear dua variabel ini menggunakan 4 metode, antara lain metode eliminasi, metode substitusi, metode gabungan eliminasi-substitusi, dan metode grafik.

Namun demikian, tergantun Anda mau memilih yang mana dan mudah dilakukan.

 

Yuk, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear dua variabel berikut.

 

Soal 1.

Diketahui x dan y merupakan penyelesaian sistem persamaan 2x - 3y = -17 dan 3x + 2y = -6. Nilai dari x + y adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   -7

B.   -1

C.   1

D.   7

Jawaban: B

Mari kita coba menggunakan metode eliminasi.

2x - 3y = -17 .... (1)

3x + 2y = -6  .... (2)

Mengeliminasi y dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 3.

2x - 3y = -17    (x2)    4x - 6y = -34

3x + 2y = -6  ...(x3)    9x + 6y = -18  +

                                        13x = -52

                                            x = -4

 

Selanjutnya, mengeliminasi x dengan mengalikan persamaan (1) dengan 3 dan persamaan (2) dengan 2.

2x - 3y = -17    (x3)    6x - 9y = -51

3x + 2y = -6  ...(x2)    6x + 4y = -12  -

                                        -13y = -39

                                            y = 3

Diperoleh x = -4 dan y = 3.

x + y = -4 + 3 = -1

Jadi, nilai x + y adalah -1.

 

Soal 2.

Penyelesaian dari sistem persamaan 2x - 5y = -16 dan 5x + 2y = -11 adalah x dan y. Nilai dari 7x - 8y adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   -37

B.   -5

C.   5

D.   37

Jawaban: A

Untuk soal ini mari kita coba menggunakan metode eliminasi-substitusi.

2x - 5y = -16 .... (1)

5x + 2y = -11  .... (2)

Mengeliminasi y dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 5.

2x - 5y = -16    (x2)    4x - 10y = -32

5x + 2y = -11   (x5)   25x + 10y = -55  +

                                        29x = -87

                                            x = -3

 

Selanjutnya, substitusikan x = -3 ke salah satu persamaan.

Di sini akan disubstitusikan ke persamaan (1)

2x - 5y = -16

2(-3) - 5y = -16

    -6 - 5y = -16

         -5y = -16 + 6

         -5y = -10

            y = 2

7x - 8y = 7(-3) - 8(2) = -21 - 16 = -37

Jadi, nilai 7x - 8y adalah -37.

 

Soal 3.

Seorang tukkang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah sepeda  motor. Sedangkan 4 buah mobil dan 2 buah sepeda motor ia mendapat uang Rp18.000,00. Jika terdapat 20 buah mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   Rp135.000,00

B.   Rp115.000,00

C.   Rp110.000,00

D.   Rp100.000,00

Jawaban: C

Untuk soal ini mari kita coba menggunakan metode eliminasi-substitusi.

MIsalkan x = biaya parkir sebuah mobil dan y = biaya parkir sebuah sepeda motor

Model sistem persamaan

3x + 5y = 17.000 .... (1)

4x + 2y = 18.000  .... (2)

Mengeliminasi y dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 5.

3x + 5y = 17.000   (x2)    6x + 10y = 34.000

4x + 2y = 18.000   (x5)   20x + 10y = 90.000  -

                                        -14x = -56.000

                                            x = 4.000

 

Selanjutnya, substitusikan x = 4.000 ke salah satu persamaan.

Di sini akan disubstitusikan ke persamaan (1)

             3x + 5y = 17.000

   3(4.000) + 5y = 17.000

     12.000 + 5y = 17.000

                    5y = 17.000 - 12.000

                    5y = 5.000

                      y = 1.000

20 buah mobil dan 30 motor

= 20x + 30y

= 20(4.000) + 30(1.000)

= 80.000 + 30.000

= 110.000

Jadi, banyak uang parkir yang diperoleh sebesar Rp110.000,00.

 

Soal 4.

Harga satu ikat bayam sama dengan harga dua ikat kangkung. Bu Aminh membeli 20 ikat bayam dan 50 ikat kangkung seharga Rp225.000,00. Bu Aisyah membeli 25 ikat bayam dan 60 ikat kangkung. Harga yang harus dibayar Bu Aisyah adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   Rp220.000,00

B.   Rp275.000,00

C.   Rp290.000,00

D.   Rp362.500,00

Jawaban: B

Untuk soal ini mari kita coba menggunakan metode substitusi.

MIsalkan x = harga satu ikat bayam dan y = harga satu ikat kangkung

Model sistem persamaan

x = 2y .... (1)

20x + 50y = 225.000  atau 2x + 5y = 22.500  ...(2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2).

2x + 5y = 22.500

2(2y) + 5y = 22.500

    4y + 5y = 22.500

            9y = 22.500

              y = 2.500

Sehingga x = 2(2.500) = 5.000

Harga 25 ikat bayam dan 60 ikat kangkung

= 25(5.000) + 60(2.500)

= 125.000 + 150.000

= 275.000

Jadi, harga yang harus dibayar Bu Aisyah sebesar Rp275.000,00.

 

Soal 5.

Harga 2 tas sama dengan harga 5 pasang sepatu. Harga 4 tas dan sepasang sepatu adalah Rp1.100.000,00. Jumlah uang yang harus dibayar Rika untuk membeli 3 tas dan 2 pasang sepatu adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   Rp250.000,00

B.   Rp800.000,00

C.   Rp950.000,00

D.   Rp1.350.000,00

Jawaban: C

Untuk soal ini mari kita coba menggunakan metode substitusi.

Misalkan x = harga satu tas dan y = harga sepasang sepatu

Model sistem persamaan

2x = 5y .... (1)

4x + y = 1.100.000  ... (2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2).

4x + y = 1.100.000

2(2x) + y = 1.100.000

2(5y) + y = 1.100.000

  10y + y = 1.100.000

        11y = 1.100.000

           y = 100.000

Substitusikan y = 100.000 ke persamaan (1)

2x = 5y

2x = 5(100.000)

2x = 500.000

  x = 250.000

 

Harga 3 tas dan 2 pasang sepatu

= 3(x) + 2(y)

= 3(250.000) + 2(100.000)

= 750.000 + 200.000

= 950.000

Jadi, harga yang harus dibayar Rika sebesar Rp950.000,00.

 

Demikianlah sekilas bahas soal ulangan untuk persiapan ujian sekolah tentang sistem persamaan linear dua variabel.

Semoga Bermanfaat.

BELAJAR TENTANG BILANGAN PECAHAN UNTUK DASAR

Pecahan

Pecahan menunjukkan bagian dari keseluruhan. Keseluruhan ini dapat berupa wilayah atau kumpulan. Kata pecahan berasal dari kata Latin 'fractio' yang berarti 'memecah'. Bangsa Mesir, sebagai peradaban paling awal yang mempelajari pecahan, menggunakan pecahan untuk menyelesaikan masalah matematika mereka, yang meliputi pembagian makanan, persediaan, dan tidak adanya mata uang emas batangan.

 

Di Roma Kuno, pecahan hanya ditulis menggunakan kata-kata untuk menggambarkan bagian dari keseluruhan. Di India, pecahan pertama kali ditulis dengan satu angka di atas angka lainnya (pembilang dan penyebut), tetapi tanpa garis yang dikenal sebagai garis pemisah pecahan. Bangsa Arab-lah yang menambahkan garis yang digunakan untuk memisahkan pembilang dan penyebut. Mari kita pelajari lebih lanjut tentang pecahan, dan contoh pecahan, beserta beberapa soal latihan pecahan.

 

Apa itu Pecahan?

Pecahan, dalam Matematika, direpresentasikan sebagai nilai numerik, yang mendefinisikan bagian dari keseluruhan. Pecahan dapat berupa bagian atau bagian dari kuantitas apa pun dari keseluruhan, sedangkan keseluruhan dapat berupa angka apa pun, nilai tertentu, atau benda. Mari kita pahami konsep ini menggunakan sebuah contoh. Gambar berikut menunjukkan pizza yang dibagi menjadi 4 bagian yang sama. Sekarang, jika kita ingin menyatakan satu bagian pizza yang dipilih, kita dapat menyatakannya sebagai 1/4 yang menunjukkan bahwa dari 4 bagian yang sama, kita mengacu pada 1 bagian.

 

Itu berarti satu dari empat bagian yang sama. Itu juga dapat dibaca sebagai Seperempat atau 1 dari 4.

Jika kita memilih 2 bagian pizza, itu akan dinyatakan sebagai 2/4. Demikian pula, jika kita mengacu pada 3 bagian pizza ini, kita akan menuliskannya sebagai 3/4 sebagai pecahan.

 

Pengertian Pecahan

Pecahan didefinisikan sebagai bagian dari sesuatu, dan kuantitas yang bukan bilangan bulat. Itu dinyatakan sebagai jumlah bagian yang sama yang dihitung atas jumlah total bagian dalam keseluruhan.

 

Batang Pecahan

Batang pecahan adalah garis yang ditarik untuk memisahkan pembilang dan penyebut. Mari kita pelajari lebih lanjut tentang bagian-bagian pecahan di bagian berikut.

 

Bagian-Bagian Pecahan

Semua pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut dan keduanya dipisahkan oleh batang horizontal yang dikenal sebagai batang pecahan.

 

Penyebut menunjukkan jumlah bagian yang membagi keseluruhan. Penyebut ditempatkan di bagian bawah pecahan di bawah batang pecahan.

 

Pembilang menunjukkan berapa banyak bagian pecahan yang diwakili atau dipilih. Pembilang ditempatkan di bagian atas pecahan di atas batang pecahan.

 

Jenis-Jenis Pecahan

Berdasarkan pembilang dan penyebut, yang merupakan bagian-bagian pecahan, terdapat berbagai jenis pecahan seperti yang tercantum di bawah ini:

 

Pecahan Sejati

Pecahan asli adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Misalnya, 5/7, 3/8, 2/5, dan seterusnya adalah pecahan asli.

 

Pecahan Tak Sejati

Pecahan tak wajar adalah jenis pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya. Pecahan ini selalu sama atau lebih besar dari keseluruhannya. Misalnya, 4/3, 5/2, 8/5, dan seterusnya.

 

Pecahan Satuan

Pecahan yang pembilangnya 1 dikenal sebagai pecahan satuan. Misalnya, 1/4, 1/7, 1/9, dan seterusnya.

 

Pecahan Campuran

Pecahan campuran adalah campuran bilangan bulat dan pecahan wajar. Misalnya,

5 1/3, di mana 5 adalah bilangan bulat dan 1/3 adalah pecahan wajar, atau, 2 2/5, 7 9/11, dan seterusnya.

 

Pecahan Ekuivalen (Pecahan Senilai)

Pecahan ekuivalen adalah pecahan yang memiliki nilai yang sama setelah disederhanakan. Untuk mendapatkan pecahan yang ekuivalen dari pecahan apa pun:

 

Kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan yang diberikan dengan angka yang sama.

 

Kita dapat membagi pembilang dan penyebut pecahan yang diberikan dengan angka yang sama.

 

Contoh:

Temukan dua pecahan yang senilai dengan 5/7.

Solusi:

Pecahan Senilai 1: Mari kita kalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama 2. Ini berarti, 5/7= (5 × 2)/(7 × 2) = 10/14

 

Pecahan Senilai 2: Mari kita kalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama 3. Ini berarti, 5/7 = (5 × 3)/(7 × 3) = 15/21

 

Oleh karena itu, 10/14, 15/21, dan 5/7 adalah pecahan yang senilai.

 

Pecahan Serupa dan Berbeda

Pecahan serupa adalah pecahan yang memiliki penyebut yang sama. Misalnya, 5/15, 3/15, 17/15, dan 31/15 adalah pecahan serupa.

 

Pecahan berbeda adalah pecahan yang memiliki penyebut yang berbeda. Misalnya, 2/7, 9/11, 3/13, dan 39/46 adalah pecahan berbeda.

 

Pecahan pada Garis Bilangan

Representasi pecahan pada garis bilangan menunjukkan interval antara dua bilangan bulat, yang juga menunjukkan kepada kita prinsip dasar pembuatan bilangan pecahan. Pecahan pada garis bilangan dapat direpresentasikan dengan membuat bagian yang sama dari keseluruhan, yaitu dari 0 hingga 1. Penyebut pecahan akan mewakili jumlah bagian yang sama di mana garis bilangan akan dibagi dan ditandai. Misalnya, jika kita perlu merepresentasikan 1/8 pada garis bilangan, kita perlu menandai 0 dan 1 pada kedua ujungnya dan membagi garis bilangan menjadi 8 bagian yang sama. Kemudian, interval pertama dapat ditandai sebagai 1/8. Demikian pula, interval berikutnya dapat ditandai sebagai 2/8, interval berikutnya dapat ditandai sebagai 3/8, dan seterusnya. Perlu dicatat bahwa interval terakhir mewakili 8/8 yang berarti 1. Perhatikan garis bilangan berikut yang mewakili pecahan-pecahan ini pada garis bilangan.

 

 

Contoh Pecahan dalam Kehidupan Nyata

Mari kita ketahui beberapa contoh pecahan dalam kehidupan nyata.

1. Ketika kita membagi kue menjadi 3 bagian yang sama, maka setiap bagian adalah 1/3 dari keseluruhan.

2. Kita menyatakan waktu sebagai 'setengah jam' yang merupakan cara umum untuk menyatakan 30 menit. Setengah adalah pecahan yang direpresentasikan sebagai 1/2.

3. Kita merepresentasikan skor tes sebagai pecahan, seperti 15/20, atau, 7/20

4. Kita menggunakan pecahan saat kita menggunakan resep yang berbeda. Misalnya, ketika kita mengatakan 1/2 sendok teh gula atau 3/4 sendok makan garam.

 

Demikianlah sekilas materi tentang Bilangan Pecahan untuk dasar. Semoga Bermanfaat.

  

WHAT IS A FRACTION?

 

Fractions

A fraction shows part of a whole. This whole can be a region or a collection. The word fraction is derived from the Latin word 'fractio' which means 'to break'. The Egyptians, being the earliest civilization to study fractions, used fractions to resolve their mathematical problems, which included the division of food, supplies, and the absence of a bullion currency.

 

In Ancient Rome, fractions were only written using words to describe a part of the whole. In India, the fractions were first written with one number above another (numerator and denominator), but without a line known as the fraction bar. It was the Arabs, who added the line which is used to separate the numerator and the denominator. Let us learn more about fractions, and fraction examples, along with a few fraction practice problems.

 

What are Fractions?

Fractions, in Mathematics, are represented as a numerical value, which defines a part of a whole. A fraction can be a portion or section of any quantity out of a whole, where the whole can be any number, a specific value, or a thing. Let us understand this concept using an example. The following figure shows a pizza that is divided into 4 equal parts. Now, if we want to express one selected part of the pizza, we can express it as 1/4 which shows that out of 4 equal parts, we are referring to 1 part.

 

It means one in four equal parts. It can also be read as:

One-fourth, or 1 by 4

 

 

If we select 2 parts of the pizza, it will be expressed as 2/4. Similarly, if we are referring to 3 parts of this pizza, we would write it as 3/4 as a fraction.

 

Fraction Definition

Fraction is defined as a part of something, and a quantity that is not a whole number. It is expressed as the number of equal parts being counted over the total number of parts in the whole.

 

Fraction Bar

Fraction bar is the line that is drawn to separate the numerator and the denominator. Let us learn more about the parts of a fraction in the following section.

 

Parts of a Fraction

All fractions consist of a numerator and a denominator and they are separated by a horizontal bar known as the fraction bar.

 

The denominator indicates the number of parts in which the whole has been divided into. It is placed in the lower part of the fraction below the fractional bar.

The numerator indicates how many sections of the fraction are represented or selected. It is placed in the upper part of the fraction above the fractional bar.

Types of Fractions

Based on the numerator and denominator, which are parts of a fraction, there are different types of fractions as listed below:

 

Proper Fraction

Proper fractions are the fractions in which the numerator is less than its denominator. For example, 5/7, 3/8, 2/5, and so on are proper fractions.

 

Improper Fraction

An improper fraction is the type of fraction in which the numerator is more than or equal to its denominator. It is always the same or greater than the whole. For example, 4/3, 5/2, 8/5, and so on.

 

Unit Fraction

Fractions in which the numerator is 1 are known as unit fractions. For example, 1/4, 1/7, 1/9, and so on.

 

Mixed Fraction

A mixed fraction is a mixture of a whole number and a proper fraction. For example,

5 1/3 , where 5 is the whole number and 1/3 is the proper fraction, or, 2 2/5, 7 9/11, and so on.

 

Equivalent Fraction

Equivalent fractions are the fractions that represent the same value after they are simplified. To get equivalent fractions of any given fraction:

 

We can multiply both the numerator and the denominator of the given fraction by the same number.

We can divide both the numerator and the denominator of the given fraction by the same number.

Example: Find the two fractions that are equivalent to 5/7.

Solution:

Equivalent Fraction 1: Let us multiply the numerator and the denominator with the same number 2. This means, 5/7= (5 × 2)/(7 × 2) = 10/14

 

Equivalent Fraction 2: Let us multiply the numerator and the denominator with the same number 3. This means, 5/7 = (5 × 3)/(7 × 3) = 15/21

 

Therefore, 10/14, 15/21, and 5/7 are equivalent fractions.

 

Like and Unlike Fractions

Like fractions are the fractions that have the same denominators. For example, 5/15, 3/15, 17/15, and 31/15 are like fractions.

 

Unlike fractions are the fractions which have different denominators. For example, 2/7, 9/11, 3/13, and 39/46 are unlike fractions.

 

Fraction on a Number Line

The representation of fractions on a number line demonstrates the intervals between two integers, which also shows us the fundamental principle of fractional number creation. The fractions on a number line can be represented by making equal parts of a whole, i.e., from 0 to 1. The denominator of the fraction would represent the number of equal parts in which the number line will be divided and marked. For example, if we need to represent 1/8 on the number line, we need to mark 0 and 1 on the two ends and divide the number line into 8 equal parts. Then, the first interval can be marked as 1/8. Similarly, the next interval can be marked as 2/8, the next one can be marked as 3/8, and so on. It should be noted that the last interval represents 8/8 which means 1. Observe the following number line that represents these fractions on a number line.

 

Fraction Examples in Real Life

Let us know about a few fraction examples in real life.

1. When we divide a cake into 3 equal parts, then each part is 1/3rd of the whole.

2. We express the time as 'half an hour' which is a common way of expressing 30 minutes. Half is a fraction which is represented as 1/2.

3. We represent the scores of tests as fractions, like 15/20, or, 7/20

4. We use fractions while we use different recipes. For example, when we say 1/2 teaspoon of sugar or 3/4 tablespoon of salt.

 

A few fraction practice problems are given on this page so that the students can get an idea about the concept of fractions.

Soal-soal Standar Ujian Sekolah dan Ujian Nasional Matematika SMA/MA tentang Transformasi Geometri.

Dalam kesempatan ini akan kami berikan soal-soal standar ujian sekolah dan Ujian Nasional Matematika SMA/MA tentang Transformasi Geometri dan komposisi transformasi Geometri. Soal-soal tentang Transformasi Geometri ini sering diujikan dalam ujian sekolah dan ujian nasional Matematika tingkat SMA/MA. Banyak materi himpunan yang diujikan dalam ujian sekolah maupun Asesmen. Misalnya Menentukan bayangan titik yang dikenai transformasi (Translasi, Rotasi, Refleksi, dan Dilatasi), Menentukan bayangan kurva/garis yang transformasi (Translasi, Rotasi, Refleksi, dan Dilatasi) atau menentukan jenis transformasinya.

Nah, bagaimana bentuk soal dan pembahasan/cara penyelesaiannya soal-soal ujian Sekolah Mata Pelajaran Matematika bab Transformasi Geometri? Yuk, simak soal-soal ini.

Soal 1

Bayangan titik P(5, 4) jika didilatasikan terhadap pusat (-2, -3) dengan skala -4 adalah . . . .

A.  (-30, -31)

B.  (-30, 7)

C.  (-26, -1)

D.  (-14, -1)

E.  (-14, -7)

Jawaban: A

Misal bayangan hasil dilatasi adalah (x' , y').

Rumus menentukan bayangan titik koordinat (x, y) oleh dilatasi k dengan pusat (a, b). Misalkan bayangannya adalah (x' , y').

x' + 2 = -28, maka x' = -30

y' + 3 = -28, maka y' = -31

Jadi, bayangannya adalah (-30, -31).

 

Soal 2

Diketahui segitiga PQR dengan titik-titik sudut P(1, 3), Q(1, -4), dan R(-2, 1). Jika PQR direfleksikan terhadap sumbu X kemudian dilanjutkan dengan dilatasi (O, 2), maka koordinat bayangannya  adalah . . . .

A.  P'(2, 6) , Q'(2, -8)  dan R'(-4, 2).

B.  P'(2, -6) , Q'(2, 8)  dan R'(4, -2).

C.  P'(-2, 6) , Q'(-2, -8)  dan R'(-4, 2).

D.  P'(-2, 6) , Q'(-2, 8)  dan R'(4, -2).

E.  P'(-2, -6) , Q'(-2, 8)  dan R'(-4, -2).

Jawaban: C

Misal koordinat mula-mula adalah (x, y) dan bayangan hasil transformsi adalah (x' , y').

(x, y) direfleksikan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah (-x, y)

Selanjutnya,

(-x, y) dilanjutkan dengan dilatasi (O, 2) atau skala 2 dengan pusat (0, 0) maka bayangannya (-2x, 2y).

Jadi, jika (x, y) direfleksikan terhadap sumbu X kemudian dilanjutkan dengan dilatasi (O, 2), maka koordinat bayangannya  (-2x, 2y).

Dengan demikian,

P(1, 3) bayangannya adalah (-2(1), 2(3)) = (-2, 6).

Q(1, -4) bayangannya adalah (-2(1), 2(-4)) = (-2, -8).

R(-2, 1) bayangannya adalah (-2(-2), 2(1)) = (-4, 2).

Jadi, bayangan segitiganya adalah P'(-2, 6) , Q'(-2, -8)  dan R'(-4, 2).

Soal 3

Persamaan peta garis 2x + 3y + 1 = 0 karena ditranslasi  T = [-3, 5] dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 2 adalah . . . .

A.  2x - 3y - 16 = 0

B.  2x - 3y - 12 = 0

C.  -2x + 3y - 14 = 0

D.  -2x + 3y - 12 = 0

E.  -2x + 3y - 16 = 0

Jawaban: D

Misal koordinat mula-mula adalah (x, y) dan bayangan hasil transformasi adalah (x' , y').

(x, y) terletak pada garis 2x + 3y + 1 = 0.

(Langkah 1) :

(x, y) ditranslasi  T = [-3, 5], maka bayangannya adalah (x - 3, y + 5).

(Langkah 2):

(x - 3, y + 5) dicerminkan terhadap garis x = 2, maka bayanganya adalah (2(2) - (x + 3), y + 5) = (1 - x, y + 5)

Dengan demikian diperoleh bayangan  (x' , y') = (1 - x, y + 5).

Maka : x' = 1 - x atau x = 1 - x'     dan y' = y + 5   atau y = y' - 5.

Selanjutnya menentukan persamaan bayangan garis dengan mensubstitusikan x = 1 - x' dan y = y' - 5 ke persamaan awal 2x + 3y + 1 = 0.

2x + 3y + 1 = 0

2(1 - x') + 3(y' - 5) + 1 = 0

   2 - 2x' + 3y' - 15 + 1 = 0

             -2x' + 3y' - 12 = 0

              -2x + 3y - 12 = 0 (hilangkan tanda strip)

Jadi, persamaan bayangan adalah -2x + 3y - 12 = 0.

 

Soal 4

Persamaan bayangan garis y =  3x + 2 jika dirotasikan sebesar 90^o berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0, 0) dilanjutkan dilatasi menggunakan faktor skala 2 dengan pusat (0, 0) adalah . . . .

A.  x - 3y - 4 = 0

B.  x + 3y + 4 = 0

C.  x + 3y - 2 = 0

D.  3x - y - 2 = 0

E.  3x - y + 2 = 0

Jawaban: B

Misal koordinat mula-mula adalah (x, y) dan bayangan hasil transformasi adalah (x' , y').

(x, y) terletak pada garis y =  3x + 2.

(Langkah 1) :

(x, y) dirotasikan sebesar 90^o berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0, 0), maka bayangannya adalah (-y, x).

(Langkah 2):

(-y, x) didilatasi menggunakan faktor skala 2 dengan pusat (0, 0), maka bayanganya adalah (-2y, 2x).

Dengan demikian diperoleh bayangan  (x' , y') = (-2y, 2x).

Maka : x' = -2y atau y = -x'/2     dan y' = 2x   atau x = y'/2.

Selanjutnya menentukan persamaan bayangan garis dengan mensubstitusikan x = y'/2 dan y = -x'/2 ke persamaan awal y =  3x + 2.

     y =  3x + 2

-x'/2 = 3(y'/2) + 2

   -x' = 3y' + 4    (kalikan kedua ruas dengan 2)

 x' + 3y' + 4 = 0

   x + 3y + 4 = 0 (hilangkan tanda strip)

Jadi, persamaan bayangan adalah x + 3y + 4 = 0.

 

Soal 5

Garis  3x + 2y = 6 ditranslasi T[3, -4], lalu dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala 2 dengan titik pusat (0, 0). Hasil bayangannya adalah . . . .

A.  3x + 2y = 14

B.  3x + 2y = 7

C.  3x + y = 14

D.  3x + y = 7

E.  x + 3y = 14

Jawaban: A

Misal koordinat mula-mula adalah (x, y) dan bayangan hasil transformasi adalah (x' , y').

(x, y) terletak pada garis 3x + 2y = 6.

(Langkah 1) :

(x, y) ditranslasi T[3, -4], maka bayangannya adalah (x + 3, y - 4).

(Langkah 2):

(x + 3, y - 4) didilatasi menggunakan faktor skala 2 dengan pusat (0, 0), maka bayangannya adalah (2(x + 3), 2(y - 4)) = (2x + 6, 2y - 8)

Dengan demikian diperoleh bayangan  (x' , y') = (2x + 6, 2y - 8).

Maka : x' = 2x + 6 atau x = x'/2 - 3     dan y' = 2y - 8  atau y = y'/2 + 4.

Selanjutnya menentukan persamaan bayangan garis dengan mensubstitusikan x = x'/2 - 3 dan y = y'/2 + 4 ke persamaan awal 3x + 2y = 6.

     3x + 2y = 6

3(x'/2 - 3) + 2(y'/2 + 4) = 6

3x'/2 - 9 + y' + 8 = 6

     3x'/2 + y' - 1 = 6

          3x'/2 + y' = 7

           3x' + 2y' = 14    (kalikan kedua ruas dengan 2)

            3x + 2y = 14     (kalikan kedua ruas dengan 2)

Jadi, persamaan bayangan adalah 3x + 2y = 14.

Demikian sekilas contoh soal dan pembahasan Soal Standar Ujian Sekolah dan Ujian Nasional berkaitan dengan Transformasi Geometri.

Semoga Bermanfaat