Soal-soal Standar Ujian Sekolah dan Ujian Nasional Matematika SMA/MA tentang Transformasi Geometri.

Dalam kesempatan ini akan kami berikan soal-soal standar ujian sekolah dan Ujian Nasional Matematika SMA/MA tentang Transformasi Geometri dan komposisi transformasi Geometri. Soal-soal tentang Transformasi Geometri ini sering diujikan dalam ujian sekolah dan ujian nasional Matematika tingkat SMA/MA. Banyak materi himpunan yang diujikan dalam ujian sekolah maupun Asesmen. Misalnya Menentukan bayangan titik yang dikenai transformasi (Translasi, Rotasi, Refleksi, dan Dilatasi), Menentukan bayangan kurva/garis yang transformasi (Translasi, Rotasi, Refleksi, dan Dilatasi) atau menentukan jenis transformasinya.

Nah, bagaimana bentuk soal dan pembahasan/cara penyelesaiannya soal-soal ujian Sekolah Mata Pelajaran Matematika bab Transformasi Geometri? Yuk, simak soal-soal ini.

Soal 1

Bayangan titik P(5, 4) jika didilatasikan terhadap pusat (-2, -3) dengan skala -4 adalah . . . .

A.  (-30, -31)

B.  (-30, 7)

C.  (-26, -1)

D.  (-14, -1)

E.  (-14, -7)

Jawaban: A

Misal bayangan hasil dilatasi adalah (x' , y').

Rumus menentukan bayangan titik koordinat (x, y) oleh dilatasi k dengan pusat (a, b). Misalkan bayangannya adalah (x' , y').

x' + 2 = -28, maka x' = -30

y' + 3 = -28, maka y' = -31

Jadi, bayangannya adalah (-30, -31).

 

Soal 2

Diketahui segitiga PQR dengan titik-titik sudut P(1, 3), Q(1, -4), dan R(-2, 1). Jika PQR direfleksikan terhadap sumbu X kemudian dilanjutkan dengan dilatasi (O, 2), maka koordinat bayangannya  adalah . . . .

A.  P'(2, 6) , Q'(2, -8)  dan R'(-4, 2).

B.  P'(2, -6) , Q'(2, 8)  dan R'(4, -2).

C.  P'(-2, 6) , Q'(-2, -8)  dan R'(-4, 2).

D.  P'(-2, 6) , Q'(-2, 8)  dan R'(4, -2).

E.  P'(-2, -6) , Q'(-2, 8)  dan R'(-4, -2).

Jawaban: C

Misal koordinat mula-mula adalah (x, y) dan bayangan hasil transformsi adalah (x' , y').

(x, y) direfleksikan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah (-x, y)

Selanjutnya,

(-x, y) dilanjutkan dengan dilatasi (O, 2) atau skala 2 dengan pusat (0, 0) maka bayangannya (-2x, 2y).

Jadi, jika (x, y) direfleksikan terhadap sumbu X kemudian dilanjutkan dengan dilatasi (O, 2), maka koordinat bayangannya  (-2x, 2y).

Dengan demikian,

P(1, 3) bayangannya adalah (-2(1), 2(3)) = (-2, 6).

Q(1, -4) bayangannya adalah (-2(1), 2(-4)) = (-2, -8).

R(-2, 1) bayangannya adalah (-2(-2), 2(1)) = (-4, 2).

Jadi, bayangan segitiganya adalah P'(-2, 6) , Q'(-2, -8)  dan R'(-4, 2).

Soal 3

Persamaan peta garis 2x + 3y + 1 = 0 karena ditranslasi  T = [-3, 5] dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 2 adalah . . . .

A.  2x - 3y - 16 = 0

B.  2x - 3y - 12 = 0

C.  -2x + 3y - 14 = 0

D.  -2x + 3y - 12 = 0

E.  -2x + 3y - 16 = 0

Jawaban: D

Misal koordinat mula-mula adalah (x, y) dan bayangan hasil transformasi adalah (x' , y').

(x, y) terletak pada garis 2x + 3y + 1 = 0.

(Langkah 1) :

(x, y) ditranslasi  T = [-3, 5], maka bayangannya adalah (x - 3, y + 5).

(Langkah 2):

(x - 3, y + 5) dicerminkan terhadap garis x = 2, maka bayanganya adalah (2(2) - (x + 3), y + 5) = (1 - x, y + 5)

Dengan demikian diperoleh bayangan  (x' , y') = (1 - x, y + 5).

Maka : x' = 1 - x atau x = 1 - x'     dan y' = y + 5   atau y = y' - 5.

Selanjutnya menentukan persamaan bayangan garis dengan mensubstitusikan x = 1 - x' dan y = y' - 5 ke persamaan awal 2x + 3y + 1 = 0.

2x + 3y + 1 = 0

2(1 - x') + 3(y' - 5) + 1 = 0

   2 - 2x' + 3y' - 15 + 1 = 0

             -2x' + 3y' - 12 = 0

              -2x + 3y - 12 = 0 (hilangkan tanda strip)

Jadi, persamaan bayangan adalah -2x + 3y - 12 = 0.

 

Soal 4

Persamaan bayangan garis y =  3x + 2 jika dirotasikan sebesar 90^o berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0, 0) dilanjutkan dilatasi menggunakan faktor skala 2 dengan pusat (0, 0) adalah . . . .

A.  x - 3y - 4 = 0

B.  x + 3y + 4 = 0

C.  x + 3y - 2 = 0

D.  3x - y - 2 = 0

E.  3x - y + 2 = 0

Jawaban: B

Misal koordinat mula-mula adalah (x, y) dan bayangan hasil transformasi adalah (x' , y').

(x, y) terletak pada garis y =  3x + 2.

(Langkah 1) :

(x, y) dirotasikan sebesar 90^o berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0, 0), maka bayangannya adalah (-y, x).

(Langkah 2):

(-y, x) didilatasi menggunakan faktor skala 2 dengan pusat (0, 0), maka bayanganya adalah (-2y, 2x).

Dengan demikian diperoleh bayangan  (x' , y') = (-2y, 2x).

Maka : x' = -2y atau y = -x'/2     dan y' = 2x   atau x = y'/2.

Selanjutnya menentukan persamaan bayangan garis dengan mensubstitusikan x = y'/2 dan y = -x'/2 ke persamaan awal y =  3x + 2.

     y =  3x + 2

-x'/2 = 3(y'/2) + 2

   -x' = 3y' + 4    (kalikan kedua ruas dengan 2)

 x' + 3y' + 4 = 0

   x + 3y + 4 = 0 (hilangkan tanda strip)

Jadi, persamaan bayangan adalah x + 3y + 4 = 0.

 

Soal 5

Garis  3x + 2y = 6 ditranslasi T[3, -4], lalu dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala 2 dengan titik pusat (0, 0). Hasil bayangannya adalah . . . .

A.  3x + 2y = 14

B.  3x + 2y = 7

C.  3x + y = 14

D.  3x + y = 7

E.  x + 3y = 14

Jawaban: A

Misal koordinat mula-mula adalah (x, y) dan bayangan hasil transformasi adalah (x' , y').

(x, y) terletak pada garis 3x + 2y = 6.

(Langkah 1) :

(x, y) ditranslasi T[3, -4], maka bayangannya adalah (x + 3, y - 4).

(Langkah 2):

(x + 3, y - 4) didilatasi menggunakan faktor skala 2 dengan pusat (0, 0), maka bayangannya adalah (2(x + 3), 2(y - 4)) = (2x + 6, 2y - 8)

Dengan demikian diperoleh bayangan  (x' , y') = (2x + 6, 2y - 8).

Maka : x' = 2x + 6 atau x = x'/2 - 3     dan y' = 2y - 8  atau y = y'/2 + 4.

Selanjutnya menentukan persamaan bayangan garis dengan mensubstitusikan x = x'/2 - 3 dan y = y'/2 + 4 ke persamaan awal 3x + 2y = 6.

     3x + 2y = 6

3(x'/2 - 3) + 2(y'/2 + 4) = 6

3x'/2 - 9 + y' + 8 = 6

     3x'/2 + y' - 1 = 6

          3x'/2 + y' = 7

           3x' + 2y' = 14    (kalikan kedua ruas dengan 2)

            3x + 2y = 14     (kalikan kedua ruas dengan 2)

Jadi, persamaan bayangan adalah 3x + 2y = 14.

Demikian sekilas contoh soal dan pembahasan Soal Standar Ujian Sekolah dan Ujian Nasional berkaitan dengan Transformasi Geometri.

Semoga Bermanfaat