Cara Mudah dan Tepat Menyelesaikan Persamaan Logaritma

Hai sobat IMathsolution, kali ini akan kita bahas cara menyelesaikan persamaan logaritma. Tahu kan Anda, ketika menyelesaikan persamaan logaritma langkah-langkahnya semudah ketika menyelesaikan persamaan linear atau persamaan kuadrat satu variabel. Mengapa demikian? Karena yang akan kita bahas kali ini adalah persamaan logaritma satu variabel.

Contoh bentuk persamaan logaritma satu variabel antara lain sebagai berikut.

1.  log (2x+ 4) = log 12

2.   log (3x – 9) = log 18

3.  log (5x – 1)= log (2x + 8)

4.  ³log (x² + 4x) = ³log 12

5.   ³log (x² – 2x + 1) = ³log(3x + 7)

6.   ³log (x² + 3x - 4) = ³log(x² + 2x - 15)

Dari persamaan logaritma di atas, maka diperoleh persamaan logaritma secara umum sebagai berikut.

Langkah-langkah menyelesaikan persamaan logaritma sebagai berikut.

1.  Syarat nilai di dalam logaritma bernilai positif (f(x) > 0)

2.  f(x) = c, dengan syarat jika x₀ merupakan penyelesaian maka f(x₀) > 0.

3.  f(x) = g(x), dengan syarat jika x₀ merupakan penyelesaian maka f(x₀) > 0.

Nah dari beberapa soal di atas mari kita selesaikan di  bawah ini.

Contoh 1

log (2x+ 4) = log 12

       2x + 4 = 12           (samakan nilai di dalam logaritma)

            2x = 12 – 4

            2x = 8

              x = 4

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4.

Contoh 2

log (3x – 9) = log 18

       3x - 9 = 18           (samakan nilai di dalam logaritma)

            3x = 18 + 9

            3x = 27

              x = 9

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 9.

Contoh 3

log (5x – 1)= log (2x + 8)

(i) Syarat f(x) > 0

    (5x – 1) > 0

            5x > 1

              x > 1/5

    2x + 8 > 0

          2x > -8

            x > -4

Dari dua syarat tersebut diperoleh batasan nilai x adalah x > 1/5.

(ii)  Menyelesaikan f(x) = g(x)

       5x - 1 = 2x + 8           (samakan nilai di dalam logaritma)

        5x - 2x = 8 + 1

            3x = 9

              x = 3

Oleh karena 3 memenuhi syarat batasan x, maka x = 3 merupakan penyelesaiannya.

Contoh 4

³log (x² + 4x) = ³log 12

(i) Syarat f(x) > 0

    x² + 4x > 0

    x(x + 4) > 0

    x < -4 atau x > 0

Dari syarat batasan nilai x adalah x < -4 atau x > 0.

(ii)  Menentukan penyelesaian f(x) = c

       x² + 4x  = 12          (samakan nilai di dalam logaritma)

        x² + 4x – 12 = 0

        (x + 6)(x – 2) = 0

         x = -6 atau x = 2

Kedua nilai x memenuhi syarat (i)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -6  atau x  = 2.

Contoh 5

³log (x² – 2x + 1) = ³log(3x + 7)

(i) Syarat f(x) > 0

    x² – 2x + 1> 0

        (x – 1)² > 0

    x < -1 atau x > 1

    Syarat g(x) > 0

    3x + 7 > 0

          3x > -7

            x > -7/3

Dari kedua syarat di atas, batasan nilai nilai x adalah  -7/3 < x < -1 atau x > 1.

(ii)  Menentukan penyelesaian f(x) = g(x)

       x² – 2x + 1 = 3x + 7          (samakan nilai di dalam logaritma)

        x² – 2x – 3x + 1 – 7 = 0

        x² – 5x – 6 = 0 

        (x + 1)(x – 6) = 0

         x = -1 atau x = 6

Hanya  x = 6 yang memenuhi syarat (i).

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 6.

Contoh 6

³log (x² + 3x - 4) = ³log(x² + 2x - 10)

(i) Syarat f(x) > 0

        x² + 3x – 4 > 0

    (x + 4)(x – 1) > 0

    x < -4 atau x > 1

    Syarat g(x) > 0

    x² + 2x – 15 > 0

     (x + 5)(x – 3) > 0

     x < -5 atau  x > 3

Dari kedua syarat di atas, batasan nilai  x adalah x < -5 atau  x > 3.

(ii)  Menentukan penyelesaian f(x) = g(x)

       x² + 3x – 4 = x² + 2x - 10        (samakan nilai di dalam logaritma)

             3x – 4 = 2x - 10

            3x – 2x =  -10 + 4

                    x = -6

Nilai  x = -6 yang memenuhi syarat (i).

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -6.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menyelesaikan persamaan logaritma.

Semoga Bermanfaat.

Cara Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

Dalam kesempatan ini akan kita bahas cara menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk kuadrat. Dalam menyelesaikan persamaan ini sebagai dasar penyelesaian adalah identitas trigonometri.

Contoh bentuk persamaan trigonometri bentuk kuadrat sebagai berikut.

1.   2 sin² x + sin x = 0

2.   2 sin² x + 3sin x + 1 = 0

3.   2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0

4.   12 sin² x + cos x – 6 = 0

Persamaan-persamaan trigonometri di atas dapat diselesaikan denga cara yang mudah. Tentunya dengan cara yang sesuai dengan konsep yang benar pula.

Sebagai dasar dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda sebelumnya juga harus menguasai persamaan kuadrat. Terutama cara menentukan akar-akar persamaan tersebut.

Nah, bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri di atas?

Langsung saja simak pembahasan di bawah ini.

Contoh 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin² x + sin x = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

2 sin² x + sin x = 0

sin x (2sin x + 1) = 0

sin x = 0  atau    2sin x + 1 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) sin x = 0, diperoleh sin x = sin 0, sin 360^o

     Dengan demikian diperoleh x = 0, 360^o

(ii) 2sin x + 1 = 0

          2sin x  = -1

            sin x  = -1/2

            sin x  = sin 120^o, sin 240^o

     Dengan demikian diperoleh x =  120^o, 240^o

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 0, 120^o, 240^o, 360^o

Contoh 2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin² x + 3sin x + 1 = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

2 sin² x + 3sin x + 1 = 0   Ingat bentuk identik dengan 2p² + 3p + 1

Selanjutnya difaktorkan

Ingat : 2p² + 3p + 1 = (2p + 1)(p + 1)

Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:

(2sin x + 1)(sin x + 1) = 0

2sin x + 1 = 0  atau    sin x + 1 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) sin x + 1 = 0

         sin x  = -1

          sin x = sin 270^o

     Dengan demikian diperoleh x = 270^o

(ii) 2sin x + 1 = 0

          2sin x  = -1

            sin x  = -1/2

            sin x  = sin 120^o, sin 240^o

     Dengan demikian diperoleh x =  120^o, 240^o

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin² x + 3sin x + 1 = 0   adalah x = 120^o, 240^o, 270^o .

Contoh 3

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0   Ingat bentuk identik dengan 2p² + 7p – 4 = 0

Selanjutnya difaktorkan

Ingat : 2p² + 7p – 4 = (2p - 1)(p + 4)

Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:

(2cos x - 1)(cos x + 4) = 0

2cos x – 1 = 0  atau    cos x + 4 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) 2cos x – 1 = 0

          2cos x  = 1

            cos x  = 1/2

             cos x = cos 60^o, cos 300^o

     Dengan demikian diperoleh x = 60^o, 300^o

(ii) cos x + 4 = 0

          cos x  = -4

      Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0 adalah x = 60^o, 300^o.

Contoh 4

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 12 sin² x + cos x – 6 = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

Sebelum menyelesaikan, ingat dahulu identitas trigonometri: sin ²x + cos ²x = 1.

Maka: sin ²x = 1 – cos ²x

12 sin² x + cos x – 6 = 0

12 (1 – cos ²x) + cos x – 6 = 0

  12 – 12cos ²x + cos x – 6 = 0

       -12cos ²x + cos x + 6 = 0

        12cos ²x -  cos x - 6 = 0

12cos ²x -  cos x - 6 = 0   Ingat bentuk identik dengan 12p² - p – 6 = 0

Selanjutnya difaktorkan

Ingat : 12p² - p – 6 = (3p + 2)(4p - 3)

Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:

(3cos x + 2)(4cos x - 3) = 0

3cos x + 2 = 0  atau    4cos x – 3 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) 3cos x + 2 = 0

          3cos x  = -2

            cos x  = -2/3

             cos x = cos 131,81^o, cos 228,19^o

     Dengan demikian diperoleh x = 131,81^o  ; 228,19^o

(ii) 4cos x – 3 = 0

          4cos x  = 3

            cos x  = 3/4

             cos x = cos 41,4^o, cos 318,6^o

     Dengan demikian diperoleh x = 41,4^o ; 318,6^o

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 12cos ²x -  cos x - 6 = 0 adalah x = 41,4^o ; 131,81^o  ; 228,19^o ; 318,6^o .

Demikianlah sekilas materi tentang cara menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk kuadrat.

Semoga bermanfaat.