Cara Mudah dan Tepat Menyelesaikan Persamaan Logaritma

Hai sobat IMathsolution, kali ini akan kita bahas cara menyelesaikan persamaan logaritma. Tahu kan Anda, ketika menyelesaikan persamaan logaritma langkah-langkahnya semudah ketika menyelesaikan persamaan linear atau persamaan kuadrat satu variabel. Mengapa demikian? Karena yang akan kita bahas kali ini adalah persamaan logaritma satu variabel.

Contoh bentuk persamaan logaritma satu variabel antara lain sebagai berikut.

1.  log (2x+ 4) = log 12

2.   log (3x – 9) = log 18

3.  log (5x – 1)= log (2x + 8)

4.  ³log (x² + 4x) = ³log 12

5.   ³log (x² – 2x + 1) = ³log(3x + 7)

6.   ³log (x² + 3x - 4) = ³log(x² + 2x - 15)

Dari persamaan logaritma di atas, maka diperoleh persamaan logaritma secara umum sebagai berikut.

Langkah-langkah menyelesaikan persamaan logaritma sebagai berikut.

1.  Syarat nilai di dalam logaritma bernilai positif (f(x) > 0)

2.  f(x) = c, dengan syarat jika x₀ merupakan penyelesaian maka f(x₀) > 0.

3.  f(x) = g(x), dengan syarat jika x₀ merupakan penyelesaian maka f(x₀) > 0.

Nah dari beberapa soal di atas mari kita selesaikan di  bawah ini.

Contoh 1

log (2x+ 4) = log 12

       2x + 4 = 12           (samakan nilai di dalam logaritma)

            2x = 12 – 4

            2x = 8

              x = 4

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4.

Contoh 2

log (3x – 9) = log 18

       3x - 9 = 18           (samakan nilai di dalam logaritma)

            3x = 18 + 9

            3x = 27

              x = 9

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 9.

Contoh 3

log (5x – 1)= log (2x + 8)

(i) Syarat f(x) > 0

    (5x – 1) > 0

            5x > 1

              x > 1/5

    2x + 8 > 0

          2x > -8

            x > -4

Dari dua syarat tersebut diperoleh batasan nilai x adalah x > 1/5.

(ii)  Menyelesaikan f(x) = g(x)

       5x - 1 = 2x + 8           (samakan nilai di dalam logaritma)

        5x - 2x = 8 + 1

            3x = 9

              x = 3

Oleh karena 3 memenuhi syarat batasan x, maka x = 3 merupakan penyelesaiannya.

Contoh 4

³log (x² + 4x) = ³log 12

(i) Syarat f(x) > 0

    x² + 4x > 0

    x(x + 4) > 0

    x < -4 atau x > 0

Dari syarat batasan nilai x adalah x < -4 atau x > 0.

(ii)  Menentukan penyelesaian f(x) = c

       x² + 4x  = 12          (samakan nilai di dalam logaritma)

        x² + 4x – 12 = 0

        (x + 6)(x – 2) = 0

         x = -6 atau x = 2

Kedua nilai x memenuhi syarat (i)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -6  atau x  = 2.

Contoh 5

³log (x² – 2x + 1) = ³log(3x + 7)

(i) Syarat f(x) > 0

    x² – 2x + 1> 0

        (x – 1)² > 0

    x < -1 atau x > 1

    Syarat g(x) > 0

    3x + 7 > 0

          3x > -7

            x > -7/3

Dari kedua syarat di atas, batasan nilai nilai x adalah  -7/3 < x < -1 atau x > 1.

(ii)  Menentukan penyelesaian f(x) = g(x)

       x² – 2x + 1 = 3x + 7          (samakan nilai di dalam logaritma)

        x² – 2x – 3x + 1 – 7 = 0

        x² – 5x – 6 = 0 

        (x + 1)(x – 6) = 0

         x = -1 atau x = 6

Hanya  x = 6 yang memenuhi syarat (i).

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 6.

Contoh 6

³log (x² + 3x - 4) = ³log(x² + 2x - 10)

(i) Syarat f(x) > 0

        x² + 3x – 4 > 0

    (x + 4)(x – 1) > 0

    x < -4 atau x > 1

    Syarat g(x) > 0

    x² + 2x – 15 > 0

     (x + 5)(x – 3) > 0

     x < -5 atau  x > 3

Dari kedua syarat di atas, batasan nilai  x adalah x < -5 atau  x > 3.

(ii)  Menentukan penyelesaian f(x) = g(x)

       x² + 3x – 4 = x² + 2x - 10        (samakan nilai di dalam logaritma)

             3x – 4 = 2x - 10

            3x – 2x =  -10 + 4

                    x = -6

Nilai  x = -6 yang memenuhi syarat (i).

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -6.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menyelesaikan persamaan logaritma.

Semoga Bermanfaat.