KELILING DAN LUAS BANGUN DATAR SEGI EMPAT

 Kita telah mempelajari apa itu segi empat dan berbagai jenis segi empat. Karena jumlah sisi segi empat selalu tetap, yaitu empat, maka jenis-jenis segi empat diklasifikasikan berdasarkan variasi panjang keempat sisinya dan seberapa miring sisi-sisinya.

 

Dalam bab ini, kita akan mempelajari tentang pengukuran yang dapat dilakukan untuk segi empat. Perhitungan keliling dan luas adalah pengukuran yang paling sering digunakan pada segi empat.

 

Keliling

Keliling setiap bangun datar adalah panjang total batasnya. Dengan kata lain, kita dapat mengatakan keliling adalah panjang batas segi empat dan dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisi segi empat tersebut. Keliling diukur dengan satuan yang sama dengan panjang, yaitu milimeter, sentimeter, meter, kilometer, dst.

 

Contoh

Contoh perhitungan keliling adalah seberapa jauh seorang pelari harus berlari mengelilingi lapangan berbentuk persegi panjang untuk menyelesaikan satu putaran. Pelari harus mengelilingi batas persegi panjang dan menutupi semua sisinya. Jadi, jarak yang ditempuhnya akan sama dengan jumlah semua sisi persegi panjang, yang disebut keliling.

 

Luas

Luas setiap bangun datar adalah jumlah permukaan yang dibatasi oleh sisi-sisinya. Mari kita pahami dengan sebuah contoh:

 

Contoh

Contoh perhitungan luas adalah berapa banyak luas yang harus dicat pada satu sisi permukaan papan kayu berbentuk persegi panjang. Jika kita perlu mengecat kedua sisi papan persegi panjang, maka akan ada dua permukaan yang dicat sehingga akan menjadi dua bidang papan yang akan dicat.

 

Mari kita lihat cara menghitung luas dan keliling berbagai jenis segi empat.

 

1.      Jajaran Genjang

Keliling Jajaran Genjang

Jajaran genjang dengan dua sisi sejajar a, b, dan tinggi t

Keliling jajaran genjang dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya.

Jajaran genjang pada gambar di atas memiliki dua sisi sejajar a, b, dan tinggi h. Kita dapat menuliskannya sebagai:

Keliling = a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a + b)

 

Rumus

Keliling jajaran genjang = 2(a + b)

 

Luas jajaran genjang

Luas jajaran genjang dihitung dengan mengalikan panjang alas dan tingginya h.

Jadi, luas jajaran genjang = alas × tinggi = b × t

 

Rumus

Luas jajaran genjang = b × t

 

 

2.           Persegi Panjang

Keliling persegi panjang

Persegi panjang dengan panjang p dan lebar l

Keliling persegi panjang dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya. Persegi panjang pada gambar di atas memiliki panjang p dan lebar l. Oleh karena itu, keliling akan menjadi jumlah panjang keempat sisinya.

 

Kita dapat menuliskannya sebagai:

 

Keliling = p + l + p + l = 2p + 2l = 2(p + l)

 

Rumus

Keliling persegi panjang = 2(p + l)

 

Luas persegi panjang

Luas persegi panjang dihitung dengan mengalikan panjang dan lebarnya.

 

Jadi, luas persegi panjang = panjang × lebar

                                      = p × l

 

Rumus

Luas persegi panjang= p × l

 

 

3.           Persegi

Keliling persegi

Persegi dengan panjang s dari keempat sisinya

Keliling persegi dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya.

 

Persegi pada gambar di atas memiliki panjang l dari keempat sisinya. Oleh karena itu, keliling akan menjadi jumlah panjang keempat sisinya. Kita dapat menuliskannya sebagai:

Keliling = s + s + s + s = 4s

Keliling persegi juga dapat dihitung dengan mengalikan 4 dengan panjang l persegi. Jadi, keliling juga dapat dihitung sebagai:

Keliling = 4 × s = 4s

 

Rumus

Keliling persegi = 4s

 

Luas persegi

Luas persegi dihitung dengan mengalikan panjang dan lebarnya.

Jadi, luas persegi = panjang × lebar = s × s = s²

 

Rumus

Luas persegi = s²

 

4.           Trapesium

Keliling trapesium

Trapesium dengan sisi a, b, c, d dan tinggi t

Keliling trapesium dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya.

Trapesium pada gambar di atas memiliki sisi a, b, c, d dan tinggi h. Kita dapat menuliskannya sebagai:

Keliling = a + b + c + d

 

Rumus

Keliling trapesium = a + b + c + d

 

Luas trapesium

Luas trapesium = 1/2 (jumlah sisi sejajar) × tinggi

                       = 1/2 (a + b) × t

 

Rumus

Luas trapesium = 1/2 (a + b) × t

 

 

5.           Belah Ketupat

Keliling belah ketupat

Belah ketupat dengan panjang l dan lebar b

Keliling belah ketupat dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya. Belah ketupat pada gambar di atas memiliki panjang semua sisinya a karena panjang semua sisi belah ketupat selalu sama. Oleh karena itu, keliling adalah jumlah panjang keempat sisinya. Kita dapat menuliskannya sebagai:

Keliling = s + s + s+ s = 4s

Keliling belah ketupat juga dapat dihitung dengan mengalikan 4 dengan panjang a. Jadi, keliling juga dapat dihitung sebagai:

Keliling = 4 × s = 4s

 

Luas belah ketupat

Luas belah ketupat dihitung dengan mengalikan panjang alas dan tingginya t.

Jadi, luas belah ketupat = alas × tinggi = a × t

Luas belah ketupat juga dihitung menggunakan panjang dua diagonalnya.

 

Luas belah ketupat = 1/2 × d₁ × d₂

 

Rumus

Luas belah ketupat = 1/2 × d₁ × d₂

 

 Semoga Bermanfaat.

Persamaan Garis Lurus _ Matematika SMP

 Persamaan Garis Lurus

Persamaan umum garis lurus adalah y = mx + c, di mana m adalah kemiringan garis dan c adalah titik potong sumbu Y. Persamaan ini merupakan bentuk persamaan garis lurus yang paling umum digunakan dalam geometri. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam berbagai bentuk seperti bentuk titik-kemiringan, bentuk kemiringan-titik potong, bentuk titik potong, bentuk baku, dan lain-lain. Garis lurus merupakan entitas geometri dua dimensi yang memanjang pada kedua ujungnya hingga tak terhingga.

 

Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk. Cobalah memecahkan beberapa contoh dan pertanyaan menarik untuk lebih memahami konsep tersebut.

 

Apa Persamaan Garis Lurus?

Persamaan garis lurus merupakan persamaan linier dalam dua variabel (biasanya x dan y) dan dipenuhi oleh setiap titik pada garis tersebut. Yaitu, persamaan matematika yang memberikan hubungan antara titik-titik koordinat yang terletak pada garis lurus tersebut. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam berbagai bentuk dan menunjukkan kemiringan, titik potong sumbu-X, dan titik potong sumbu-Y. Persamaan garis lurus juga dapat digunakan untuk mencari titik-titik pada garis tersebut. Umumnya, persamaan garis lurus ditemukan dengan menggunakan bentuk titik-kemiringan, bentuk kemiringan-titik potong, bentuk dua titik, bentuk standar, dsb. Mari kita bahas rumus persamaan garis lurus.

 

Rumus yang paling umum untuk mencari persamaan garis lurus disebutkan di bawah ini.

Bentuk standar : ax + by = c

Bentuk kemiringan-titik potong : y = mx + c

Bentuk titik-kemiringan : y – y₁ = m(x – x₁)

Rumus persamaan garis lurus bervariasi tergantung pada informasi yang tersedia tentang garis tersebut seperti kemiringan, titik potong, dsb. Perhatikan bahwa kemiringan garis dengan dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) dihitung dengan rumus m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Berikut adalah berbagai rumus garis lurus.

 

Bentuk Dua Titik

(Diberikan dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) pada garis)

(y - y₁)/(x - x₁)= (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

 

Bentuk Titik-Kemiringan

(Diberikan kemiringan m dan titik (x₁, y₁))

y - y₁ = m (x - x₁)

 

Bentuk Kemiringan - Intersep

(Diberikan kemiringan m dan intersep y (0, c))

y = mx + c

 

Bentuk Intersep

(Diberikan intersep a dan b)

x/a + y/b = 1

 

Kita akan mempelajari masing-masing secara terperinci di bagian di bawah ini.

 

Bentuk Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus biasanya melibatkan kemiringan. Misalkan garis l membentuk sudut θ dengan arah sumbu x positif, sudut θ disebut kemiringan garis dan tan θ disebut kemiringan garis. Perhatikan bahwa sumbu-x memiliki kemiringan 0. Faktanya, semua garis yang sejajar dengan sumbu-x memiliki kemiringan 0. Selain itu, kemiringan semua garis yang sejajar dengan sumbu-y termasuk sumbu-y tidak didefinisikan.

 

Sekarang, mari kita bahas berbagai bentuk persamaan garis lurus.

 

Bentuk Titik-Kemiringan

Persamaan garis lurus yang kemiringannya m dan melalui titik (x1, y1) ditemukan menggunakan bentuk titik-kemiringan. Persamaan bentuk titik-kemiringan adalah:

 

y - y₁ = m (x - x₁), di mana (x, y) adalah titik sembarang pada garis.

 

Mari kita lihat cara menemukan bentuk titik-kemiringan. Kita akan memperoleh rumus ini menggunakan persamaan untuk kemiringan garis. Mari kita perhatikan garis yang kemiringannya m. Mari kita asumsikan bahwa (x1, y1) adalah titik yang diketahui pada garis tersebut. Misalkan (x, y) adalah titik acak lainnya pada garis yang koordinatnya tidak diketahui. Kita tahu bahwa persamaan untuk kemiringan garis adalah:

 Kemiringan = Selisih koordinat y/Selisih koordinat x

 ⇒ m = (y - y₁)/(x - x₁)

 Kalikan kedua ruas dengan (x - x₁),

 m (x - x₁) = (y - y₁)

 Hal ini dapat ditulis sebagai,

 (y - y₁) = m (x - x₁)

 Oleh karena itu bentuk titik-kemiringan persamaan garis lurus terbukti.

 

Bentuk Dua Titik

Pertimbangkan sebuah garis dengan dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) di atasnya. Maka kemiringannya dapat dihitung dengan rumus m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Dengan mensubstitusikan ini ke dalam bentuk titik-kemiringan di atas, kita memperoleh bentuk dua titik sebagai y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) (x - x₁).

 

Bentuk Kemiringan-Intersep

Sekarang, misalkan Anda diberi sebuah garis dengan kemiringan m dan intersep y. Katakanlah, sebuah garis memotong sumbu y di titik (0, c). Dengan menggunakan bentuk titik-kemiringan, kita memperoleh y - c = m (x - 0) ⇒ y = mx + c, di mana c adalah intersep y. Ini disebut bentuk kemiringan-intersep garis.

 

Catatan: Jika d adalah intersep x, maka bentuk kemiringan-intersep persamaan garis adalah y = m(x - d).

 

Bentuk Intersep

Jika (a, 0) dan (0, b) masing-masing adalah intersep x dan y dari sebuah garis. Maka kemiringannya adalah, m = (b - 0)/(0 - a) = -b /a. Maka persamaannya menggunakan bentuk titik-kemiringan adalah:

y - 0 = -b/a (x - a)

 

Mengalikan kedua ruas dengan a

ay = -bx + ab

bx + ay = ab

 Membagi kedua ruas dengan ab,

x/a + y/b = 1

 

Bentuk Standar

Bentuk standar garis lurus diberikan oleh ax + by = c, di mana a, b, c adalah bilangan riil. Kita dapat mempertimbangkan bentuk garis apa pun ke dalam bentuk standar. Mari kita pertimbangkan contoh untuk mengubah persamaan y = 2x - 1 dalam bentuk standar. Kurangi 2x dari kedua ruas persamaan, kita peroleh

y - 2x = 2x - 1 - 2x

⇒ y - 2x = -1

⇒ 2x - y = 1

Jadi, kita peroleh bentuk baku persamaan garis sebagai 2x - y = 1.

 

Persamaan Garis Lurus pada Grafik

Grafik persamaan linear satu variabel x membentuk garis vertikal yang sejajar dengan sumbu Y dan grafik persamaan garis lurus satu variabel y merupakan garis horizontal yang sejajar dengan sumbu X. Grafik persamaan linear dua variabel x dan y membentuk garis lurus dengan beberapa kemiringan.

 

 

Jika garis lurus naik dari kiri ke kanan, kemiringannya positif. Jika menurun, kemiringannya negatif.

 

Catatan Penting tentang Persamaan Garis Lurus:

Persamaan garis lurus juga disebut persamaan linear dua variabel.

Jika hasil kali kemiringan dua garis lurus adalah -1, maka garis-garis tersebut saling tegak lurus.

Jika dua garis lurus sejajar satu sama lain, maka keduanya memiliki kemiringan yang sama.

Bentuk Titik Kemiringan: (y - y₁) = m (x - x1)

Bentuk Kemiringan-Intersep: y = mx + c

Bentuk Standar = ax + by = c

 

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

 Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang dua variabelnya memiliki eksponen (berpangkat) 1. Sistem persamaan dengan dua variabel memiliki solusi tunggal, tidak ada solusi, atau solusi tak terhingga banyaknya. Sistem persamaan linear mungkin memiliki jumlah variabel 'n'. Hal penting yang perlu diingat saat menyelesaikan persamaan linear dengan jumlah variabel n adalah harus ada n persamaan untuk menyelesaikan dan menentukan nilai variabel.

 

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan aljabar yang berbentuk (atau dapat diubah menjadi bentuk) y = mx + b, di mana m adalah gradien dan b adalah intersep (perpotongan terhadap sumbu) Y. Persamaan tersebut adalah persamaan linear (orde pertama).

Contoh persamaan linear dua variable antara lain: y = 2x + 3, 2y = 4x + 9, 2x – 5y = 12.

 

Apa itu Persamaan Linear Dua Variabel?

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang masing-masing dari dua variabelnya memiliki orde tertinggi (eksponen) 1 dan mungkin memiliki satu, tidak ada, atau solusi tak terhingga banyaknya. Bentuk baku persamaan linear dua variabel adalah ax + by + c = 0 dengan x dan y adalah dua variabel. Solusinya juga dapat ditulis dalam pasangan berurutan seperti (x, y). Representasi grafis dari pasangan persamaan linear dua variabel mencakup dua garis lurus yang dapat berupa: garis berpotongan, garis sejajar atau garis berimpit.

 

Bentuk Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel dapat berada dalam berbagai bentuk seperti bentuk baku, bentuk perpotongan, dan bentuk titik-kemiringan. Misalnya, persamaan yang sama 2x + 3y = 9 dapat direpresentasikan dalam setiap bentuk seperti 2x + 3y – 9 = 0 (bentuk standar), y = (-2/3)x + 3 (bentuk kemiringan-intersep), dan y - 5/3 = -2/3(x + (-2)) (bentuk titik-kemiringan). Perhatikan gambar di bawah ini yang menunjukkan ketiga bentuk representasi persamaan linear dua variabel dengan contoh.

Sistem persamaan berarti kumpulan persamaan dan persamaan tersebut juga disebut sebagai persamaan linear simultan. Kita akan mempelajari cara menyelesaikan pasangan persamaan linear dalam dua variabel menggunakan metode yang berbeda.

 

Menyelesaikan Persamaan Linear Dua Variabel

Ada lima metode/cara untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Metode Grafik

Metode Substitusi

Metode Perkalian Silang

Metode Eliminasi

Metode Determinan

 

Metode Grafik untuk Menyelesaikan Persamaan Linear Dua Variabel

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel secara grafis diberikan di bawah ini:

Langkah 1: Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dua variabel secara grafis, kita buat grafik setiap persamaan. Untuk mengetahui caranya, klik di sini atau ikuti langkah 2 dan 3 di bawah ini.

Langkah 2: Untuk membuat grafik persamaan secara manual, pertama-tama ubah persamaan tersebut ke bentuk y = mx+b dengan menyelesaikan persamaan untuk y.

Langkah 3: Mulailah memasukkan nilai x sebagai 0, 1, 2, dan seterusnya dan temukan nilai y yang sesuai, atau sebaliknya.

Langkah 4: Identifikasi titik pertemuan kedua garis.

Langkah 5: Titik potong adalah solusi dari sistem yang diberikan.

Contoh: Temukan solusi dari sistem persamaan berikut secara grafis.

 

-x + 2y - 3 = 0

3x + 4y – 11 =0

 

Solusi: Kita akan menggambar grafiknya dan melihat apakah keduanya berpotongan di suatu titik. Seperti yang dapat Anda lihat di bawah, kedua garis bertemu di (1, 2). Jadi, solusi dari sistem persamaan linear yang diberikan adalah x = 1 dan y = 2.

 

Namun, kedua garis tersebut mungkin tidak selalu berpotongan. Terkadang keduanya mungkin sejajar. Dalam kasus tersebut, pasangan persamaan linear dalam dua variabel tidak memiliki solusi. Dalam beberapa kasus lain, kedua garis tersebut berimpit satu sama lain. Dalam kasus tersebut, setiap titik pada garis tersebut merupakan solusi dari sistem yang diberikan dan karenanya sistem yang diberikan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

 

Sistem Persamaan Linear Konsisten, Tidak Konsisten, Independen, dan Dependen.

Jika sistem tersebut memiliki solusi, maka dikatakan konsisten. jika tidak memiliki solusi, dikatakan tidak konsisten.

Jika sistem tersebut memiliki satu solusi tunggal, maka sistem tersebut independen.

Jika sistem tersebut memiliki jumlah solusi tak terbatas, maka sistem tersebut dependen. Artinya, satu variabel bergantung pada variabel lainnya.

 

Perhatikan sistem persamaan linear: a₁x + b₁y + c₁ = 0 dan a₂x + b₂y + c₂ = 0. Di sini kita dapat memahami kapan sistem linear dua variabel konsisten/tidak konsisten dan independen/dependen.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode eliminasi, kita akan menggunakan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Susun persamaan dalam bentuk standar: ax + by + c = 0 atau ax + by = c.

Langkah 2: Periksa apakah dengan penambahan atau pengurangan persamaan akan mengakibatkan penghapusan variabel.

Langkah 3: Jika tidak, kalikan satu atau kedua persamaan dengan koefisien x atau y sehingga penambahan atau pengurangannya akan mengakibatkan penghapusan salah satu variabel.

Langkah 4: Selesaikan persamaan variabel tunggal yang dihasilkan.

Langkah 5: Substitusikan ke salah satu persamaan yang diberikan untuk mendapatkan nilai variabel lain.

 

Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi.

 

2x + 3y – 11 = 0

3x + 2y – 9 = 0

 

Penambahan atau pengurangan kedua persamaan ini tidak akan mengakibatkan penghapusan variabel apa pun. Mari kita coba menghilangkan variabel x. Koefisien x dalam kedua persamaan adalah 2 dan 3. KPK-nya adalah 6. Kita akan membuat koefisien x dalam kedua persamaan menjadi 6 sehingga suku-suku x saling meniadakan ketika kita mengurangkan persamaan tersebut.

 

2x + 3y – 11 = 0  (x3)  6x + 9y – 33 = 0 

3x + 2y – 9 = 0    (x2)  6x + 4y – 18 = 0   

 

Sekarang kita akan mengurangkan kedua persamaan ini:

⇒ 5y – 15 = 0

⇒ 5y = 15

⇒ y = 3

 

Substitusikan y = 3 ke salah satu dari dua persamaan yang diberikan dan menentukan nilai  variabel x.

2x + 3y - 11=0

⇒ 2x + 3(3) – 11 = 0

⇒ 2x + 9 – 11 = 0

⇒              2x = 2

⇒                x = 1

 

Oleh karena itu, solusi dari sistem persamaan di atas adalah x = 1 dan y = 3.

Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Metode Substitusi

Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode substitusi, kita harus menggunakan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Selesaikan salah satu persamaan untuk satu variabel.

Langkah 2: Substitusikan persamaan ini ke persamaan lain untuk mendapatkan persamaan dalam satu variabel.

Langkah 3: Selesaikan persamaan untuk variabel tersebut.

Langkah 4: Substitusikan persamaan ini ke persamaan mana pun untuk mendapatkan nilai variabel lain.

 

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode substitusi.

x + 2y – 7 = 0

2x - 5y + 13 = 0

 

Solusi: Mari kita selesaikan persamaan, x + 2y – 7 = 0 untuk y:

x + 2y – 7 = 0

⇒ x = 7 – 2y

Substitusikan x = 7 – 2y ke persamaan, 2x – 5y + 13 = 0.

2x - 5y + 13 = 0

⇒ 2(7 – 2y) - 5y + 13 = 0

⇒ 14 – 4y – 5y + 13 = 0

⇒                   -9y + 27 = 0

⇒                       9y = 27

⇒                         y = 3

 

Substitusikan y = 3 ini ke persamaan x = 7 – 2y

x = 7 – 2(3) = 7 – 6 = 1

Oleh karena itu, solusi dari sistem yang diberikan adalah x = 1 dan y = 3.