IMATH: Persamaan Garis Lurus

Persamaan Garis Lurus

Persamaan umum garis lurus adalah y = mx + c, di mana m adalah kemiringan garis dan c adalah titik potong sumbu Y. Persamaan ini merupakan bentuk persamaan garis lurus yang paling umum digunakan dalam geometri. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam berbagai bentuk seperti bentuk titik-kemiringan, bentuk kemiringan-titik potong, bentuk titik potong, bentuk baku, dan lain-lain. Garis lurus merupakan entitas geometri dua dimensi yang memanjang pada kedua ujungnya hingga tak terhingga.

Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk. Cobalah memecahkan beberapa contoh dan pertanyaan menarik untuk lebih memahami konsep tersebut.

Apa Persamaan Garis Lurus?

Persamaan garis lurus merupakan persamaan linier dalam dua variabel (biasanya x dan y) dan dipenuhi oleh setiap titik pada garis tersebut. Yaitu, persamaan matematika yang memberikan hubungan antara titik-titik koordinat yang terletak pada garis lurus tersebut. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam berbagai bentuk dan menunjukkan kemiringan, titik potong sumbu-X, dan titik potong sumbu-Y. Persamaan garis lurus juga dapat digunakan untuk mencari titik-titik pada garis tersebut. Umumnya, persamaan garis lurus ditemukan dengan menggunakan bentuk titik-kemiringan, bentuk kemiringan-titik potong, bentuk dua titik, bentuk standar, dsb. Mari kita bahas rumus persamaan garis lurus.

Rumus yang paling umum untuk mencari persamaan garis lurus disebutkan di bawah ini.

Bentuk standar : ax + by = c

Bentuk kemiringan-titik potong : y = mx + c

Bentuk titik-kemiringan : y – y₁ = m(x – x₁)

Rumus persamaan garis lurus bervariasi tergantung pada informasi yang tersedia tentang garis tersebut seperti kemiringan, titik potong, dsb. Perhatikan bahwa kemiringan garis dengan dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) dihitung dengan rumus m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Berikut adalah berbagai rumus garis lurus.

Bentuk Dua Titik

(Diberikan dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) pada garis)

(y - y₁)/(x - x₁)= (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

Bentuk Titik-Kemiringan

(Diberikan kemiringan m dan titik (x₁, y₁))

y - y₁ = m (x - x₁)

Bentuk Kemiringan - Intersep

(Diberikan kemiringan m dan intersep y (0, c))

y = mx + c

Bentuk Intersep

(Diberikan intersep a dan b)

x/a + y/b = 1

Kita akan mempelajari masing-masing secara terperinci di bagian di bawah ini.

Bentuk Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus biasanya melibatkan kemiringan. Misalkan garis l membentuk sudut θ dengan arah sumbu x positif, sudut θ disebut kemiringan garis dan tan θ disebut kemiringan garis. Perhatikan bahwa sumbu-x memiliki kemiringan 0. Faktanya, semua garis yang sejajar dengan sumbu-x memiliki kemiringan 0. Selain itu, kemiringan semua garis yang sejajar dengan sumbu-y termasuk sumbu-y tidak didefinisikan.

Sekarang, mari kita bahas berbagai bentuk persamaan garis lurus.

Bentuk Titik-Kemiringan

Persamaan garis lurus yang kemiringannya m dan melalui titik (x1, y1) ditemukan menggunakan bentuk titik-kemiringan. Persamaan bentuk titik-kemiringan adalah:

y - y₁ = m (x - x₁), di mana (x, y) adalah titik sembarang pada garis.

Mari kita lihat cara menemukan bentuk titik-kemiringan. Kita akan memperoleh rumus ini menggunakan persamaan untuk kemiringan garis. Mari kita perhatikan garis yang kemiringannya m. Mari kita asumsikan bahwa (x1, y1) adalah titik yang diketahui pada garis tersebut. Misalkan (x, y) adalah titik acak lainnya pada garis yang koordinatnya tidak diketahui. Kita tahu bahwa persamaan untuk kemiringan garis adalah:

Kemiringan = Selisih koordinat y/Selisih koordinat x

⇒ m = (y - y₁)/(x - x₁)

Kalikan kedua ruas dengan (x - x₁),

m (x - x₁) = (y - y₁)

Hal ini dapat ditulis sebagai,

(y - y₁) = m (x - x₁)

Oleh karena itu bentuk titik-kemiringan persamaan garis lurus terbukti.

Bentuk Dua Titik

Pertimbangkan sebuah garis dengan dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) di atasnya. Maka kemiringannya dapat dihitung dengan rumus m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Dengan mensubstitusikan ini ke dalam bentuk titik-kemiringan di atas, kita memperoleh bentuk dua titik sebagai y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) (x - x₁).

Bentuk Kemiringan-Intersep

Sekarang, misalkan Anda diberi sebuah garis dengan kemiringan m dan intersep y. Katakanlah, sebuah garis memotong sumbu y di titik (0, c). Dengan menggunakan bentuk titik-kemiringan, kita memperoleh y - c = m (x - 0) ⇒ y = mx + c, di mana c adalah intersep y. Ini disebut bentuk kemiringan-intersep garis.

Catatan: Jika d adalah intersep x, maka bentuk kemiringan-intersep persamaan garis adalah y = m(x - d).

Bentuk Intersep

Jika (a, 0) dan (0, b) masing-masing adalah intersep x dan y dari sebuah garis. Maka kemiringannya adalah, m = (b - 0)/(0 - a) = -b /a. Maka persamaannya menggunakan bentuk titik-kemiringan adalah:

y - 0 = -b/a (x - a)

Mengalikan kedua ruas dengan a

ay = -bx + ab

bx + ay = ab

Membagi kedua ruas dengan ab,

x/a + y/b = 1

Bentuk Standar

Bentuk standar garis lurus diberikan oleh ax + by = c, di mana a, b, c adalah bilangan riil. Kita dapat mempertimbangkan bentuk garis apa pun ke dalam bentuk standar. Mari kita pertimbangkan contoh untuk mengubah persamaan y = 2x - 1 dalam bentuk standar. Kurangi 2x dari kedua ruas persamaan, kita peroleh

y - 2x = 2x - 1 - 2x

⇒ y - 2x = -1

⇒ 2x - y = 1

Jadi, kita peroleh bentuk baku persamaan garis sebagai 2x - y = 1.

Persamaan Garis Lurus pada Grafik

Grafik persamaan linear satu variabel x membentuk garis vertikal yang sejajar dengan sumbu Y dan grafik persamaan garis lurus satu variabel y merupakan garis horizontal yang sejajar dengan sumbu X. Grafik persamaan linear dua variabel x dan y membentuk garis lurus dengan beberapa kemiringan.