Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

 Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang dua variabelnya memiliki eksponen (berpangkat) 1. Sistem persamaan dengan dua variabel memiliki solusi tunggal, tidak ada solusi, atau solusi tak terhingga banyaknya. Sistem persamaan linear mungkin memiliki jumlah variabel 'n'. Hal penting yang perlu diingat saat menyelesaikan persamaan linear dengan jumlah variabel n adalah harus ada n persamaan untuk menyelesaikan dan menentukan nilai variabel.

 

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan aljabar yang berbentuk (atau dapat diubah menjadi bentuk) y = mx + b, di mana m adalah gradien dan b adalah intersep (perpotongan terhadap sumbu) Y. Persamaan tersebut adalah persamaan linear (orde pertama).

Contoh persamaan linear dua variable antara lain: y = 2x + 3, 2y = 4x + 9, 2x – 5y = 12.

 

Apa itu Persamaan Linear Dua Variabel?

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang masing-masing dari dua variabelnya memiliki orde tertinggi (eksponen) 1 dan mungkin memiliki satu, tidak ada, atau solusi tak terhingga banyaknya. Bentuk baku persamaan linear dua variabel adalah ax + by + c = 0 dengan x dan y adalah dua variabel. Solusinya juga dapat ditulis dalam pasangan berurutan seperti (x, y). Representasi grafis dari pasangan persamaan linear dua variabel mencakup dua garis lurus yang dapat berupa: garis berpotongan, garis sejajar atau garis berimpit.

 

Bentuk Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel dapat berada dalam berbagai bentuk seperti bentuk baku, bentuk perpotongan, dan bentuk titik-kemiringan. Misalnya, persamaan yang sama 2x + 3y = 9 dapat direpresentasikan dalam setiap bentuk seperti 2x + 3y – 9 = 0 (bentuk standar), y = (-2/3)x + 3 (bentuk kemiringan-intersep), dan y - 5/3 = -2/3(x + (-2)) (bentuk titik-kemiringan). Perhatikan gambar di bawah ini yang menunjukkan ketiga bentuk representasi persamaan linear dua variabel dengan contoh.

Sistem persamaan berarti kumpulan persamaan dan persamaan tersebut juga disebut sebagai persamaan linear simultan. Kita akan mempelajari cara menyelesaikan pasangan persamaan linear dalam dua variabel menggunakan metode yang berbeda.

 

Menyelesaikan Persamaan Linear Dua Variabel

Ada lima metode/cara untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Metode Grafik

Metode Substitusi

Metode Perkalian Silang

Metode Eliminasi

Metode Determinan

 

Metode Grafik untuk Menyelesaikan Persamaan Linear Dua Variabel

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel secara grafis diberikan di bawah ini:

Langkah 1: Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dua variabel secara grafis, kita buat grafik setiap persamaan. Untuk mengetahui caranya, klik di sini atau ikuti langkah 2 dan 3 di bawah ini.

Langkah 2: Untuk membuat grafik persamaan secara manual, pertama-tama ubah persamaan tersebut ke bentuk y = mx+b dengan menyelesaikan persamaan untuk y.

Langkah 3: Mulailah memasukkan nilai x sebagai 0, 1, 2, dan seterusnya dan temukan nilai y yang sesuai, atau sebaliknya.

Langkah 4: Identifikasi titik pertemuan kedua garis.

Langkah 5: Titik potong adalah solusi dari sistem yang diberikan.

Contoh: Temukan solusi dari sistem persamaan berikut secara grafis.

 

-x + 2y - 3 = 0

3x + 4y – 11 =0

 

Solusi: Kita akan menggambar grafiknya dan melihat apakah keduanya berpotongan di suatu titik. Seperti yang dapat Anda lihat di bawah, kedua garis bertemu di (1, 2). Jadi, solusi dari sistem persamaan linear yang diberikan adalah x = 1 dan y = 2.

 

Namun, kedua garis tersebut mungkin tidak selalu berpotongan. Terkadang keduanya mungkin sejajar. Dalam kasus tersebut, pasangan persamaan linear dalam dua variabel tidak memiliki solusi. Dalam beberapa kasus lain, kedua garis tersebut berimpit satu sama lain. Dalam kasus tersebut, setiap titik pada garis tersebut merupakan solusi dari sistem yang diberikan dan karenanya sistem yang diberikan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

 

Sistem Persamaan Linear Konsisten, Tidak Konsisten, Independen, dan Dependen.

Jika sistem tersebut memiliki solusi, maka dikatakan konsisten. jika tidak memiliki solusi, dikatakan tidak konsisten.

Jika sistem tersebut memiliki satu solusi tunggal, maka sistem tersebut independen.

Jika sistem tersebut memiliki jumlah solusi tak terbatas, maka sistem tersebut dependen. Artinya, satu variabel bergantung pada variabel lainnya.

 

Perhatikan sistem persamaan linear: a₁x + b₁y + c₁ = 0 dan a₂x + b₂y + c₂ = 0. Di sini kita dapat memahami kapan sistem linear dua variabel konsisten/tidak konsisten dan independen/dependen.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode eliminasi, kita akan menggunakan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Susun persamaan dalam bentuk standar: ax + by + c = 0 atau ax + by = c.

Langkah 2: Periksa apakah dengan penambahan atau pengurangan persamaan akan mengakibatkan penghapusan variabel.

Langkah 3: Jika tidak, kalikan satu atau kedua persamaan dengan koefisien x atau y sehingga penambahan atau pengurangannya akan mengakibatkan penghapusan salah satu variabel.

Langkah 4: Selesaikan persamaan variabel tunggal yang dihasilkan.

Langkah 5: Substitusikan ke salah satu persamaan yang diberikan untuk mendapatkan nilai variabel lain.

 

Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi.

 

2x + 3y – 11 = 0

3x + 2y – 9 = 0

 

Penambahan atau pengurangan kedua persamaan ini tidak akan mengakibatkan penghapusan variabel apa pun. Mari kita coba menghilangkan variabel x. Koefisien x dalam kedua persamaan adalah 2 dan 3. KPK-nya adalah 6. Kita akan membuat koefisien x dalam kedua persamaan menjadi 6 sehingga suku-suku x saling meniadakan ketika kita mengurangkan persamaan tersebut.

 

2x + 3y – 11 = 0  (x3)  6x + 9y – 33 = 0 

3x + 2y – 9 = 0    (x2)  6x + 4y – 18 = 0   

 

Sekarang kita akan mengurangkan kedua persamaan ini:

⇒ 5y – 15 = 0

⇒ 5y = 15

⇒ y = 3

 

Substitusikan y = 3 ke salah satu dari dua persamaan yang diberikan dan menentukan nilai  variabel x.

2x + 3y - 11=0

⇒ 2x + 3(3) – 11 = 0

⇒ 2x + 9 – 11 = 0

⇒              2x = 2

⇒                x = 1

 

Oleh karena itu, solusi dari sistem persamaan di atas adalah x = 1 dan y = 3.

Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Metode Substitusi

Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode substitusi, kita harus menggunakan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Selesaikan salah satu persamaan untuk satu variabel.

Langkah 2: Substitusikan persamaan ini ke persamaan lain untuk mendapatkan persamaan dalam satu variabel.

Langkah 3: Selesaikan persamaan untuk variabel tersebut.

Langkah 4: Substitusikan persamaan ini ke persamaan mana pun untuk mendapatkan nilai variabel lain.

 

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode substitusi.

x + 2y – 7 = 0

2x - 5y + 13 = 0

 

Solusi: Mari kita selesaikan persamaan, x + 2y – 7 = 0 untuk y:

x + 2y – 7 = 0

⇒ x = 7 – 2y

Substitusikan x = 7 – 2y ke persamaan, 2x – 5y + 13 = 0.

2x - 5y + 13 = 0

⇒ 2(7 – 2y) - 5y + 13 = 0

⇒ 14 – 4y – 5y + 13 = 0

⇒                   -9y + 27 = 0

⇒                       9y = 27

⇒                         y = 3

 

Substitusikan y = 3 ini ke persamaan x = 7 – 2y

x = 7 – 2(3) = 7 – 6 = 1

Oleh karena itu, solusi dari sistem yang diberikan adalah x = 1 dan y = 3.