12 October 2015

Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan logaritma merupakan materi pelajaran yang diajarkan di SMA. Berkaitan dengan logaritma, pembelajaran ini dibagi menjadi dua bagian, yaitu dasar-dasar logaritma yang meliputi sifat dan operasi hitung logaritma, dan yang kedua adalah persamaan dan pertidaksamaan, serta fungsi logaritma.

http://mathtutorial99.blogspot.com/2018/10/tutorial-cara-mudah-menyelesaikan.html

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang persamaan dan pertidaksamaan logaritma beserta cara menyelesaikannya.

Persamaan Logaritma
Sebelumnya, perhatikan sifat-sifat logaritma berikut.
Misalkan diketahui alog b, alog c dengan a>0, b>0, c > 0.

alog b = log b/log a

alog a = 1

alog b + blog c = alog bc

alog b - blog c = alog b/c

alog b . blog c = alog c

alog bn = n alog b

Beberapa bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya sebagai berikut.

1. Bentuk alog f(x) = alog g(x)
alog f(x) = alog g(x), dengan syarat a > 0,


Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0 dan g(x) > 0


g(x) boleh berupa konstanta





2. Bentuk alog f(x) = blog f(x)

alog f(x) = blog f(x), dengan syarat a, b > 0,
Maka penyelesaiannya adalah f(x)= 1



3. Bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)

h(x)log f(x) = h(X)log g(x), dengan syarat h(x) > 0,

Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) tidak sama dengan 1.

Lebih jelasnya perhatikan  beberapa contoh berikut.



Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut
1.  5log 2x = 5log 20
2.  3log (3x + 1) = 3log 25
3.  xlog (2x + 3) = xlog (x + 9)
4.  4log (5x + 4) = 3
5.  2log (2x2 + 15) = 2log (x2 + 8x)



Jawaban:
1.  5log 2x = 5log 20
       2x = 20
         x = 10
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 10.

2.  3log (3x + 1) = 3log 25
3x + 1 = 25
      3x = 24
        x =  8
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 8.

3.  xlog (2x + 3) = xlog (x + 9), syaratnya x>0.
2x + 3 = x + 9
2x – x = 9 – 3
       x = 6
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 6.

4.  4log (5x + 4) = 3
4log (5x + 4) = 4log 43
4log (5x + 4) = 4log 64
          5x + 4 = 64
                5x = 60
                  x = 12
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 12.

5.  2log (2x2 + 15) = 2log (x2 + 8x)
2x2 + 15 = x2 + 8x
2x2 – x2 8x + 15 = 0
         x2 8x + 15 = 0
         (x – 3)(x – 5) = 0
         x = 3 atau x = 5
     Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 atau x = 5.

 



Pertidaksamaan Logaritma
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, langkah-langkah penyelesaiannya hampir sama dengan cara penyelesaian padapersamaan logaritma. Hanya saja lebih memperhatikan tanda ketidaksamaanya.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.



Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut
1.  5log 3x + 5 < 5log 35
2.  3log (2x + 3) > 3log 15
3.  2log (6x + 2) < 2log (x + 27)
4.  2log (5x – 14) < 6
5.  4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x) 
6.  x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
7.  2x-5log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)




Jawaban:
1.  5log 3x + 5 < 5log 35
Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)
3x + 5 < 35
      3x < 30
        x < 10  ....(2)
Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

2.  3log (2x + 3) > 3log 15
Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2x + 3 > 15
      2x > 12
        x > 6  ....(2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

3.  2log (6x + 2) < 2log (x + 27)
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)
x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
6x + 2 < x + 27
 6x – x < 27 – 2
      5x < 25
        x < 5   ..... (3)
Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5

4.  2log (5x – 16) < 6
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2log (5x – 16) < 2log 26
2log (5x – 16) < 2log 64
         5x – 16 <  64
                5x < 80
                  x < 16 . . . . (2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

5.  4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x)
Syarat nilai pada logaritma.
2x2 + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x  . . . (1)
x2 + 10x > 0, maka x < -10  atau x > 0 . . . . (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x2 + 24) >  (x2 + 10x)
2x2 - x2 - 10x + 24 > 0
        x2 - 10x + 24 > 0
        (x – 4)(x – 6) >
       x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

6.  x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
Syarat nilai pada bilangan x+1>0  
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<x+1<1 dan x+1>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk  0<x+1<1 atau -1 < x <0. . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) >  (x + 5)
   2x - x > 5 + 3
          x >  8         ...(4)
    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.

 
Untuk  x+1>1 atau x > 0 . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) <  (x + 5)
   2x - x < 5 + 3
          x <  8         ...(4)
    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 <x < 8.
Jadi, penyelesaiannya adalah 3/2 <x< 8.


7.  2x-5log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)
Syarat nilai pada bilangan 2x-5 > 0  
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 dan 2x-5>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk  0< 2x-5 <1 atau 5/2 < x < 3        . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)
4x + 12 > 0, maka x > -3                       . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) < (4x + 12)
x2 + 5x - 4x - 12 < 0
        x2 + x - 12 < 0
    (x + 4)(x - 3) < 0 
       -4 < x < 3              . . . . . (4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.
     
     Untuk  2x-5 > 1 atau  x > 3       . . . (1)
     Syarat nilai pada logaritma.
x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)
4x - 12 > 0, maka x > 3            . . . (3)
    
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) > (4x + 12)
x2 + 5x - 4x - 12 > 0
         x2 + x - 12 > 0
(x + 4)(x - 3) > 0 
x <-4 atau  x > 3        . . . . . (4)
  
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.
Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x =/ 3.

Demikian sedikit contoh cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma yang dapat saya berikan. 
Semoga bermanfaat bagi Anda.

14 comments:

  1. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  2. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  3. terlalu mudah bang , nyarinya soal yg lebih kompleks dikit dong

    ReplyDelete
  4. Replies
    1. This comment has been removed by the author.

      Delete
  5. Bagaimana jika terdapat dua sistem persamaan yg bentuknya 2logx + 2logy(pangkat tiga)=13
    2logx - 2logy=5

    ReplyDelete
  6. Dirumus dasar logarima diatas Ada Yang salah tu,,, diperbaiki. Cuk

    ReplyDelete