Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan logaritma merupakan materi pelajaran yang diajarkan di SMA. Berkaitan dengan logaritma, pembelajaran ini dibagi menjadi dua bagian, yaitu dasar-dasar logaritma yang meliputi sifat dan operasi hitung logaritma, dan yang kedua adalah persamaan dan pertidaksamaan, serta fungsi logaritma.

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang persamaan dan pertidaksamaan logaritma beserta cara menyelesaikannya.

Persamaan Logaritma

Sebelumnya, perhatikan sifat-sifat logaritma berikut.

Misalkan diketahui ^alog b, ^alog c dengan a>0, b>0, c > 0.

^alog b = log b/log a

^alog a = 1

^alog b + ^blog c = ^alog bc

^alog b - ^blog c = ^alog b/c

^alog b . ^blog c = ^alog c

^alog bⁿ = n ^alog b

Beberapa bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya sebagai berikut.
1. Bentuk ^alog f(x) = ^alog g(x)

^alog f(x) = ^alog g(x), dengan syarat a > 0,

Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0 dan g(x) > 0

g(x) boleh berupa konstanta

2. Bentuk ^alog f(x) = ^blog f(x)

^alog f(x) = ^blog f(x), dengan syarat a, b > 0,

Maka penyelesaiannya adalah f(x)= 1

3. Bentuk ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)

^h(x)log f(x) = ^h(X)log g(x), dengan syarat h(x) > 0,

Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) tidak sama dengan 1.

Lebih jelasnya perhatikan  beberapa contoh berikut.

Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut

1.  ⁵log 2x = ⁵log 20

2.  ³log (3x + 1) = ³log 25

3.  ^xlog (2x + 3) = ^xlog (x + 9)

4.  ⁴log (5x + 4) = 3

5.  ²log (2x² + 15) = ²log (x² + 8x)

Jawaban:

1.  ⁵log 2x = ⁵log 20

       2x = 20

         x = 10

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 10.

2.  ³log (3x + 1) = ³log 25

3x + 1 = 25

      3x = 24

        x =  8

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 8.

3.  ^xlog (2x + 3) = ^xlog (x + 9), syaratnya x>0.

2x + 3 = x + 9

2x – x = 9 – 3

       x = 6

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 6.

4.  ⁴log (5x + 4) = 3

⁴log (5x + 4) = ⁴log 4³

⁴log (5x + 4) = ⁴log 64

          5x + 4 = 64

                5x = 60

                  x = 12

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 12.

5.  ²log (2x² + 15) = ²log (x² + 8x)

2x² + 15 = x² + 8x

2x² – x² –  8x + 15 = 0

         x² –  8x + 15 = 0

         (x – 3)(x – 5) = 0

         x = 3 atau x = 5

     Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 atau x = 5.

 

Pertidaksamaan Logaritma
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, langkah-langkah penyelesaiannya hampir sama dengan cara penyelesaian padapersamaan logaritma. Hanya saja lebih memperhatikan tanda ketidaksamaanya.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut

1.  ⁵log 3x + 5 < ⁵log 35

2.  ³log (2x + 3) > ³log 15

3.  ²log (6x + 2) < ²log (x + 27)

4.  ²log (5x – 14) < 6

5.  ⁴log (2x² + 24) > ⁴log (x² + 10x) 
6.  ^x+1log (2x – 3) < ^x+1log (x + 5)
7.  ^2x-5log (x² + 5x) > ^2x-5log (4x + 12)

Jawaban:

1.  ⁵log 3x + 5 < ⁵log 35

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)

3x + 5 < 35

      3x < 30

        x < 10  ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

2.  ³log (2x + 3) > ³log 15

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15

      2x > 12

        x > 6  ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

3.  ²log (6x + 2) < ²log (x + 27)

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)

x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

6x + 2 < x + 27

 6x – x < 27 – 2

      5x < 25

        x < 5   ..... (3)

Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5

4.  ²log (5x – 16) < 6

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

²log (5x – 16) < ²log 26

²log (5x – 16) < ²log 64

         5x – 16 <  64

                5x < 80

                  x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

5.  ⁴log (2x² + 24) > ⁴log (x² + 10x)

Syarat nilai pada logaritma.

2x² + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x  . . . (1)

x² + 10x > 0, maka x < -10  atau x > 0 . . . . (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x² + 24) >  (x² + 10x)

2x² - x² - 10x + 24 > 0

        x² - 10x + 24 > 0

        (x – 4)(x – 6) >

       x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

6.  ^x+1log (2x – 3) < ^x+1log (x + 5)

Syarat nilai pada bilangan x+1>0  
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<x+1<1 dan x+1>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk  0<x+1<1 atau -1 < x <0. . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.

2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x – 3) >  (x + 5)

   2x - x > 5 + 3

          x >  8         ...(4)

    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.

 
Untuk  x+1>1 atau x > 0 . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.

2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x – 3) <  (x + 5)

   2x - x < 5 + 3

          x <  8         ...(4)

    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 <x < 8.
Jadi, penyelesaiannya adalah 3/2 <x< 8.

7.  ^2x-5log (x² + 5x) > ^2x-5log (4x + 12)

Syarat nilai pada bilangan 2x-5 > 0  
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 dan 2x-5>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk  0< 2x-5 <1 atau 5/2 < x < 3        . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.

x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)

4x + 12 > 0, maka x > -3                       . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(x² + 5x) < (4x + 12)
x² + 5x - 4x - 12 < 0

        x² + x - 12 < 0

    (x + 4)(x - 3) < 0 

       -4 < x < 3              . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.

     

     Untuk  2x-5 > 1 atau  x > 3       . . . (1)
     Syarat nilai pada logaritma.

x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)

4x - 12 > 0, maka x > 3            . . . (3)

    

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) > (4x + 12)
x² + 5x - 4x - 12 > 0

         x² + x - 12 > 0

(x + 4)(x - 3) > 0 

x <-4 atau  x > 3        . . . . . (4)

  

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.

Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x =/ 3.

Demikian sedikit contoh cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma yang dapat saya berikan. 
Semoga bermanfaat bagi Anda.