Cara Menyelesaikan Permasalahan Sisipan pada Barisan dan Deret Aritmetika

Dalam kesempatan ini akan membahas tentang sisipan pada barisan bilangan aritmetika. Materi ini merupakan materi lanjutan dari barisan dan deret aritmetika.

Perhatikan maksud sisipan dalam deret aritmetika berikut.

1. Diketahui dua bilangan 12 dan 100. Diantara kedua bilangan tersebut disisipkan 10 bilangan sehingga diperoleh barisan aritmetika. Tentukan bilangan-bilangan itu.

2.  Diketahui 10 bilangan membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama 2 dan beda 12. Jika diantara dua bilangan berdekatan disisipkan 5 bilangan, tentukan jumlah deret aritmetika yang baru.

Permasalahan-permasalahan tentang sisipan bentuk di atas sering kita jumpai dalam materi barisan aritmetika.

Untuk membahas permasalahan di atas, mari simak materi berikut.

Jika terdapat dua bilangan p dan q, kemudian disisipi m bilangan maka tampak seperti di bawah ini.

p     ....   .....   .....    ......    .....    .....    q

              disisipi m bilangan

Dengan demikian barisan bilangan aritmetika yang baru seperti berikut.

Dengan ketiga unsur di atas maka dapat menyelesaikan permasalahan tentang barisan dan deret aritmetika yang baru.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal dan pembahasan berikut.

1. Coba simak permasalahan di atas.

Diketahui dua bilangan 12 dan 100. Diantara kedua bilangan tersebut disisipkan 13 bilangan sehingga diperoleh barisan aritmetika. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Jawaban:

Sehingga barisan tersebut dapat dibuat sebagai berikut.

12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92, 100

2. Diketahui tiga bilangan membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama 10 dan beda 12. Di antara kedua bilangan yang berdekatan disisipkan 3 bilangan sehingga membentuk barisan bilangan aritmetika baru.

Tentukan jumlah deret aritmetika yang baru.

Jawaban:

Barisan aritmetika dengan suku pertama 10 dan beda 12, yaitu 10, 22, 34.

Sehingga tampak seperti berikut

10 ,   (sisipan 3 bilangan)    ,  22  ,    (sisipan 3 bilangan)   , 34

Menentukan sisipan dua bilangan berdekatan.

Misalkan: p = 10 dan q = 22

3.   Diketahui 10 bilangan membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama 2 dan beda 12. Jika diantara dua bilangan berdekatan disisipkan 5 bilangan, tentukan jumlah deret aritmetika yang baru.

Jawaban:

Barisan aritmetika dengan suku pertama 2 dan beda 12, yaitu 2, 14, 26, . . . , 110.

Setelah disisipi bilangan sehingga tampak seperti berikut

2 ,   (sisipan 5 bilangan)    ,  14  ,    (sisipan 5 bilangan)   , 26,  . . . ., 110

Menentukan sisipan dua bilangan berdekatan.

4. Perhatikan barisan bilangan berikut.

5, 25, 45, 65, . . . ,205

Jika setiap suku berdekatan disisipi 4 bilangan, tentukan:

a.  Jumlah deret barisan mula-mula

b.  Jumlah deret barisan setelah disisipi bilangan

c.  Jumlah bilangan yang disisipkan

Jawaban:

a. Menentukan jumlah deret barisan mula-mula

Barisan aritmetika 5, 25, 45, 65, . . . ,205 memiliki  suku pertama (a) = 5, beda (b) = 20 dan banyak suku (n) = (205 – 5) : 20 + 1 = 10 + 1 = 11.

b. Menentukan jumlah deret barisan setelah disisipi bilangan.

Barisan aritmetika 5, 25, 45, 65, . . . ,205

Setelah disisipi bilangan sehingga tampak seperti berikut

5 ,   (sisipan 4 bilangan)    ,  25  ,    (sisipan 4 bilangan)   , 45,  . . . ., 205

Menentukan sisipan dua bilangan berdekatan.

c. Menentukan jumlah deret barisan yang disisipkan.

Perlu diketahui bahwa jumlah bilangan yang disisipkam adalah jumlah seluruh deret setelah adanya sisipan dikurangi jumlah deret mula-mula.

Atau ditulis

Jumlah yang disisipkan = jumlah setelah sisipan – jumlah mula-mula

                                   = 6.215 – 1.155

                                   = 5.060

Jadi, jumlah bilangan yang disisipkan adalah 5.060.

Demikianlah materi tentang menyelesaikan masalah sisipan bilangan pada barisan atau deret aritmetika.

Semoga Bermanfaat.