4 March 2018

Menentukan Interval x pada Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan Fungsi



Kali ini kita akan membahas tentang materi aplikasi atau penerapan turunan dalam menentukan interval suatu grafik fungsi dalam keadaan naik atau turun. Sebut saja ketika grafik/kurva itu naik kita namakan fungsi naik dan ketika kurva itu turun kita namakan fungsi turun. Adapun ketika berada di titik puncak, kita namakan kurva dalam keadaan stasioner. Titik yang berada dalam keadaan ini dinamakan titik stasioner.

Suatu grafik fungsi y = f(x) akan mengalami naik pada saat f’(x) > 0.
Grafik fungsi y = f(x) akan mengalami turun pada saat f’(x) < 0.
Grafik fungsi y = f(x) memiliki titik stasioner pada saat f’(x) = 0.

Dengan menggunakan konsep turunan fungsi ini, tanpa menggambar suatu grafik fungsi kita dapat menentukan interval/selang dimana kurva akan turun maupun kurva akan naik.
Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Misalkan grafik fungsi y = x2 + 2x – 8 digambarkan sebagai berikut.







Tampak  bahwa grafik/kurva di atas memiliki keadaan turun-stasioner-naik.
Fungsi turun pada interval x < -1
Fungsi naik pada interval x > -1
Stasioner pada saat x = -1.
Penentuan fungsi naik atau fungsi turun tersebut berdasarkan pengamatan.
Bagaimana jika menggunakan turunan fungsi dalam menentukan fungsi naik atau fungsi turun?
Perhatikan caranya seperti berikut.
Diketahui persamaan fungsi di y = f(x) = x2 + 2x – 8
maka
f’(x) = 2x + 2
Fungsi naik pada saat f’(x) > 0
                               2x + 2 > 0
                                     2x > -2
                                       x > -1
Fungsi turun pada saat f’(x) < 0
                               2x + 2 < 0
                                     2x < -2
                                       x < -1
Stasioner pada saat f’(x) = 0
                               2x + 2 = 0
                                     2x = -2
                                       x = -1

Lebih jelasnya mari perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh
Tentukan interval nilai x yang menjadikan fungsi berikut dalam keadaan naik (fungsi naik), keadaan turun (fungsi turun), dan staioner menggunakan turunan fungsi.
1.  y = x2 - 6x – 5
2.  y = x2 + 8x + 10
3.  y = x3 + 6x2 + 9x - 8
4.  y = x3 - 3x2 – 24 x + 20
5.  y = 2x3 + 3x2 – 12x + 15
Jawaban :
1.  y = x2 - 6x – 5
      y’ = 2x – 6
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          2x – 6 > 0
               2x > 6
                 x > 3
          Jadi, fungsi naik pada saat x > 3.

      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          2x – 6 < 0
               2x < 6
                 x < 3
          Jadi, fungsi turun pada saat x < 3.

      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
          2x – 6 = 0
               2x = 6
                 x = 3
          Jadi, fungsi tersebut stasioner pada saat x = 3.

2.  y = x2 + 8x + 10
      y’ = 2x + 8
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          2x + 8 > 0
               2x > -8
                 x > -4
          Jadi, fungsi naik pada saat x > -4.

      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          2x + 8 < 0
               2x < -8
                 x < -4
          Jadi, fungsi turun pada saat x < -4.
     
      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
          2x + 8 = 0
               2x = -8
                 x = -4
          Jadi, fungsi tersebut stasioner pada saat x = -4.

3.  y = x3 + 6x2 + 9x - 8
      y’ = 3x2 + 12x – 9
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          3x2 + 12x + 9 > 0
              x2 + 4x + 3 > 0
          (x + 1)(x + 3) > 0
          x < -3  atau x > -1
          Jadi, fungsi naik pada saat x < -3  atau x > -1.

      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          3x2 + 12x + 9 < 0
              x2 + 4x + 3 < 0
          (x + 1)(x + 3) < 0
                  -3 < x < -1
          Jadi, fungsi turun pada saat -3 < x < -1.
     
      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
              3x2 + 12x + 9 = 0
                 x2 + 4x + 3 = 0
             (x + 1)(x + 3) = 0
              x = -3 atau  x = -1
          Jadi, fungsi tersebut stasioner pada saat x = -3 atau  x = -1.

4.  y = x3 - 3x2 – 24 x + 20
      y’ = 3x2 – 6x - 24
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          3x2 - 6x - 24 > 0
              x2 - 2x - 8 > 0
          (x + 2)(x - 4) > 0
          x < -2  atau x > 4
          Jadi, fungsi naik pada saat x < -2  atau x > 4.

      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          3x2 - 6x - 24 < 0
              x2 - 2x - 8 < 0
          (x + 2)(x - 4) < 0
                  -2 < x < 4
          Jadi, fungsi turun pada saat -2 < x < 4.
     
      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
          3x2 - 6x - 24  = 0
              x2 - 2x - 8 = 0
          (x + 2)(x - 4) = 0
          x = -2  atau x = 4
          Jadi, fungsi tersebut stasioner pada saat x = -2 atau  x = 4.

5.  y = 2x3 + 3x2 – 12x + 15
      y’ = 6x2 + 6x - 12
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          6x2 + 6x - 12 > 0
              x2 + x - 2 > 0
          (x + 1)(x - 2) > 0
          x < -1  atau x > 2
          Jadi, fungsi naik pada saat x < -1  atau x > 2.

      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          6x2 + 6x - 12 < 0
              x2 + x - 2 < 0
          (x + 1)(x - 2) < 0
                  -1 < x < 2
          Jadi, fungsi turun pada saat -1 < x < 2.
     
      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
          6x2 + 6x - 12 = 0
               x2 + x - 2 = 0
          (x + 1)(x - 2) = 0
          x = -1  atau x = 2
          Jadi, fungsi tersebut stasioner pada saat x = -1 atau  x = 2.

Demikianlah sekilas materi cara menentukan interval nilai x pada fungsi naik, fungsi turun, dan stasioner menggunakan turunan fungsi.
Semoga bermanfaat.

ARTIKEL TERKAIT
Nilai Maksimum dan Minimum suatu Kurva pada Interval Tertutup

Menentukan Gradien dan Persamaan Garis Singgung Kurva  Menggunakan Turunan Fungsi

No comments:

Post a Comment