Kali
ini kita akan membahas tentang materi aplikasi atau penerapan turunan dalam
menentukan interval suatu grafik fungsi dalam keadaan naik atau turun. Sebut
saja ketika grafik/kurva itu naik kita namakan fungsi naik dan ketika kurva itu
turun kita namakan fungsi turun. Adapun ketika berada di titik puncak, kita
namakan kurva dalam keadaan stasioner. Titik yang berada dalam keadaan ini
dinamakan titik stasioner.
Suatu
grafik fungsi y = f(x) akan mengalami naik pada saat f’(x) > 0.
Grafik
fungsi y = f(x) akan mengalami turun pada saat f’(x) < 0.
Grafik
fungsi y = f(x) memiliki titik stasioner pada saat f’(x) = 0.
Dengan
menggunakan konsep turunan fungsi ini, tanpa menggambar suatu grafik fungsi
kita dapat menentukan interval/selang dimana kurva akan turun maupun kurva akan
naik.
Lebih
jelasnya perhatikan contoh berikut.
Misalkan
grafik fungsi y = x2 + 2x – 8 digambarkan sebagai berikut.
Tampak bahwa grafik/kurva di atas memiliki keadaan
turun-stasioner-naik.
Fungsi
turun pada interval x < -1
Fungsi
naik pada interval x > -1
Stasioner
pada saat x = -1.
Penentuan
fungsi naik atau fungsi turun tersebut berdasarkan pengamatan.
Bagaimana
jika menggunakan turunan fungsi dalam menentukan fungsi naik atau fungsi turun?
Perhatikan
caranya seperti berikut.
Diketahui
persamaan fungsi di y = f(x) = x2 + 2x – 8
maka
f’(x)
= 2x + 2
Fungsi
naik pada saat f’(x) > 0
2x + 2 > 0
2x > -2
x > -1
Fungsi
turun pada saat f’(x) < 0
2x + 2 < 0
2x < -2
x <
-1
Stasioner
pada saat f’(x) = 0
2x + 2 = 0
2x = -2
x = -1
Lebih
jelasnya mari perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh
Tentukan
interval nilai x yang menjadikan fungsi berikut dalam keadaan naik (fungsi
naik), keadaan turun (fungsi turun), dan staioner menggunakan turunan fungsi.
1. y = x2 - 6x – 5
2. y = x2 + 8x + 10
3. y = x3 + 6x2 + 9x - 8
4. y = x3 - 3x2 – 24 x + 20
5. y = 2x3 + 3x2 – 12x + 15
Jawaban :
1. y = x2 - 6x – 5
y’ = 2x – 6
a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
2x
– 6 > 0
2x > 6
x > 3
Jadi, fungsi naik pada saat x > 3.
b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
2x
– 6 < 0
2x < 6
x
< 3
Jadi, fungsi turun pada saat x < 3.
c. Stasioner (y’ = 0), maka :
2x
– 6 = 0
2x = 6
x
= 3
Jadi, fungsi tersebut stasioner pada saat x = 3.
2. y = x2 + 8x + 10
y’ = 2x + 8
a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
2x
+ 8 > 0
2x > -8
x > -4
Jadi, fungsi naik pada saat x > -4.
b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
2x
+ 8 < 0
2x < -8
x
< -4
Jadi, fungsi turun pada saat x < -4.
c. Stasioner (y’ = 0), maka :
2x
+ 8 = 0
2x = -8
x
= -4
Jadi, fungsi tersebut stasioner pada saat x = -4.
3. y = x3 + 6x2 + 9x - 8
y’ = 3x2 + 12x – 9
a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
3x2
+ 12x + 9 > 0
x2 + 4x + 3 > 0
(x
+ 1)(x + 3) > 0
x < -3 atau x > -1
Jadi, fungsi naik pada saat x < -3
atau x > -1.
b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
3x2
+ 12x + 9 < 0
x2 + 4x + 3 < 0
(x
+ 1)(x + 3) < 0
-3 < x < -1
Jadi, fungsi turun pada saat -3 < x < -1.
c. Stasioner (y’ = 0), maka :
3x2 + 12x + 9 = 0
x2
+ 4x + 3 = 0
(x +
1)(x + 3) = 0
x = -3 atau x = -1
Jadi,
fungsi tersebut stasioner pada saat x = -3 atau x = -1.
4. y = x3 - 3x2 – 24 x + 20
y’ = 3x2 – 6x - 24
a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
3x2
- 6x - 24 > 0
x2 - 2x - 8 > 0
(x
+ 2)(x - 4) > 0
x < -2 atau x > 4
Jadi, fungsi naik pada saat x < -2
atau x > 4.
b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
3x2
- 6x - 24 < 0
x2 - 2x - 8 < 0
(x
+ 2)(x - 4) < 0
-2 < x < 4
Jadi, fungsi turun pada saat -2 < x < 4.
c. Stasioner (y’ = 0), maka :
3x2
- 6x - 24 = 0
x2 - 2x - 8 = 0
(x
+ 2)(x - 4) = 0
x = -2 atau x = 4
Jadi,
fungsi tersebut stasioner pada saat x = -2 atau x = 4.
5. y = 2x3 + 3x2 – 12x + 15
y’ = 6x2 + 6x - 12
a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
6x2
+ 6x - 12 > 0
x2 + x - 2 > 0
(x
+ 1)(x - 2) > 0
x < -1 atau x > 2
Jadi, fungsi naik pada saat x < -1
atau x > 2.
b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
6x2
+ 6x - 12 < 0
x2 + x - 2 < 0
(x
+ 1)(x - 2) < 0
-1 < x < 2
Jadi, fungsi turun pada saat -1 < x < 2.
c. Stasioner (y’ = 0), maka :
6x2
+ 6x - 12 = 0
x2
+ x - 2 = 0
(x
+ 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2
Jadi,
fungsi tersebut stasioner pada saat x = -1 atau x = 2.
Demikianlah
sekilas materi cara menentukan interval nilai x pada fungsi naik, fungsi turun,
dan stasioner menggunakan turunan fungsi.
Semoga
bermanfaat.
Nilai Maksimum dan Minimum suatu Kurva pada Interval Tertutup
Menentukan Gradien dan Persamaan Garis Singgung Kurva Menggunakan Turunan Fungsi
No comments:
Post a Comment